$Id: kurven.tex,v /11/30 12:41:04 hk Exp $ 3.5 Divergenz, Rotation und der Satz von Green. f(x, y) dx + g(x, y) dy = A

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1 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. $Id: kuven.tex,v. 25//3 2:4:4 hk Exp $ 3 Kuven 3.5 Divegenz, Rotation und de Satz von Geen Die Hauptaufgabe dieses bschnitts ist es die sogenannte Geensche Integalfomel zu begünden. Diese Fomel elaubt es vektoielle Kuvenintegale im R 2 in Integale übe Teilmengen des R 2 umzuscheiben. Die Integalfomel hat die Gestalt fx, y) dx + gx, y) dy = g x f ) dx, y). Dabei ist eine Kuve in de Ebene R 2, die den Rand de Menge einmal im Gegenuhzeigesinn duchläuft. Insbesondee ist die Geensche Integalfomel nicht auf jedes Kuvenintegal anwendba, sonden nu auf solche bei de die Kuve übehaupt den Rand igendeine Menge umläuft. Späte weden wi eine etwas detaillietee Fomulieung de Voaussetzungen angeben, abe fü den Moment eicht uns die hie gegebene Bescheibung. Dies wid alles klae wenn wi uns ein kleines Beispiel anschauen. Wi betachten die echts gezeigte Menge, also die Veeinigung des Quadats [, ] 2 mit dem Keis mit Radius /2 und Mittelpunkt in /2, ). De Rand von im Gegenuhzeigesinn duchlaufen ist eine Kuve. Diese Kuve können wi als eine Summe von vie Teilkuven scheiben = mit t) = t, ) fü t, 2 t) =, t) fü t, 3 t) = t, + /4 t /2) 2 ) fü t und 4 t) =, t) fü t. Wi wollen das Kuvenintegal x 2 dx + xy dy,) /2,),),) beechnen. Dies könnten wi duchaus diekt duchfühen, die Rechnung ist abe etwas mühsam da vie Teilintegale ausgeechnet und dann addiet weden müssen. Wi -

2 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. beechnen das Kuvenintegal hie übe die Geensche Fomel als = 2 x 2 dx + xy dy = + y dx, y) = 4 x ) q 4 x 2) 2 dx = 2 y dy dx + x x x ) 2 dx 2 = π 8 da /4 x /2)2 dx geade die Fläche eines Halbkeises mit Radius /2 ist, also gleich π/8. Wi weden im folgenden begünden waum die Geensche Fomel eigentlich wah ist und uns insbesondee klamachen welche Bedeutung de Integand g/x f/ in diese Fomel hat. Hiezu weden wi die Begiffe de Divegenz und de Rotation eines Vektofeldes im R 2 einfühen. Beide Begiffe weden uns dann auch im Deidimensionalen wiede begegnen. Dot weden sie uns dann keine goßen Pobleme meh machen, alles wesentliche kann man schon in Dimension 2 sehen. Wi wählen hie einen ehe geometischen Zugang, diese vemittelt diekt die anschauliche Bedeutung von Divegenz und Rotation und läßt auch die Integalsätze nahezu selbstveständlich escheinen. Fü einen exakten ufbau de Theoie ist diese Zugang zwa nicht besondes geeignet, fü unsee Zwecke ist e abe angemessen. ls ein Beispiel fü Vektofelde hatten wi beeits fühe die Geschwindigkeitsvektoen eine Flüssigkeit angegeben, und dies ist fü alles Folgende auch die geeigneste Veanschaulichung. Bevo wi igendetwas tun können müssen wi abe etwas genaue sagen welche Mengen im Geenschen Satz eigentlich zugelassen sind. Die Minimalfodeung ist das beschänkt und abgeschlossen, also kompakt, ist. ußedem wollen wi übe übehaupt integieen können, die Menge sollte also Jodan-meßba sein. Das alleine eicht abe noch nicht aus, die Menge soll de bschluß de Menge ihe inneen Punkte sein, also aus eine offenen Menge duch Hinzufügen des Randes entstehen. Daduch wid ausgeschlossen das übeflüssige niededimensionale Teile enthält, daf beispielsweise kein Keis mit angehängten Stacheln sein. Mengen wie B := {x, y) R 2 x 2 + y 2 } {x, ) x 2} sind also nicht fü zugelassen. ußedem soll das Innee von nicht aus meheen Teilen bestehen. Dahe definieen wi: Definition 3.8 Flächenstücke in de Ebene) Ein Flächenstück im R 2 ist eine nicht leee, kompakte und Jodan-meßbae Menge R 2, deen Innees V := zusammenhängend mit = V ist. Das Innee eine Menge hatten wi dabei in II. 9. im letzten Semeste als die Menge de inneen Punkte von eingefüht, und eine offene Menge hatten wi weite in II

3 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. im letzten Semeste zusammenhängend genannt, wenn sich je zwei ihe Punkte duch einen Steckenzug vebinden liessen. Diese Minimalfodeungen eichen fü den Satz von Geen abe noch nicht aus. Wi bauchen weite das de Rand sich übehaupt als eine Kuve duchlaufen läßt. Dies ist nicht imme wah, beispielsweise könnte de Rand von in mehee Teile zefallen. Die Flächenstücke deen Rand eine Kuve ist, nennen wi jetzt einfach glatt beandet. Definition 3.9 Einfach glatt beandete Flächenstücke) Ein Flächenstück R 2 heißt einfach glatt beandet, wenn es eine geschlossene Kuve : [a, b] R 2 gibt, die den Rand von duchläuft, also = {t) a t b} mit t) s) fü a t < s < b. Dabei müssen wi s < b scheiben da ja a) = b) ist. ußedem foden wi das es nu endlich viele t [a, b] gibt so, dass die Kuve in t den Tangentenvekto t) = hat. Waum wi keine Nulltangenten wollen weden wi bald sehen. Wi können die Randkuve stets so wählen das sie die Menge im Gegenuhzeigesinn duchläuft, und scheiben dann f ds := f ds fü jede stetige Funktion f und F ds := F ds fü jedes stetige Vektofeld F. Dabei kommt es nicht auf die speziell gewählte Kuve an, denn wi haben die Richtung von festgelegt und die duchlaufenen Punkte sind duch = {t) a t b} vogeschieben. lle möglichen solchen Kuven sind also Umpaametisieungen voneinande, und ihe Kuvenintegale untescheiden sich damit nach Satz 3 nicht voneinande. Fü einige unsee Übelegungen ist es einfache nu Randkuven zu betachten, die übeall diffeenzieba sind und stets eine bleitung ungleich Null haben. Diese besondes guten Flächenstücke nennen wi jetzt Standadflächenstücke. Definition 3. Standadflächenstücke) Ein einfach glatt beandetes Flächenstück R 2 heißt ein Standadflächenstück, wenn sich sein Rand duch eine stetig diffeenziebae Kuve : [a, b] R mit t) fü alle a t b im Gegenuhzeigesinn umlaufen läßt. Damit haben wi die geometischen Bedingungen an unsee Flächenstücke eingefüht. Wi betachten jetzt ein stetig diffeenziebaes Vektofeld F auf eine offenen Menge U R 2, das wi uns wie schon gesagt am besten als eine Stömung vostellen. In de Menge U sei weite ein Standadflächenstück U gegeben. Wi denken uns als stationä in U und schauen wie das Vektofeld F die Menge duchstömt. Hiezu -3

4 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. scheiben wi den Rand von als eine nach Bogenlänge paametisiete Kuve : [, l] R 2, die die Menge im Gegenuhzeigesinn umläuft. Wi inteessieen uns vo allem fü zwei Gößen. Die Rotation ot F von F um das Flächenstück bescheibt wie das Vektofeld F um die Menge heumstömt. Dabei messen wi die Umstömung im Gegenuhzeigesinn. Wi betachten zunächst den Beitag eines einzelnen Randpunktes p = t) zu Rotation. De Tangentenvekto an im Punkt p ist dann t), und da nach Bogenlänge paametisiet ist und im Gegenuhzeigesinn um läuft, ist t) de bei p an tangential anliegende Einheitsvekto in Richtung des Umlaufs im Gegenuhzeigesinn. De Beitag zu ot F im Punkt p ist dejenige nteil des Vektos F p) tangential zu, also in Richtung t). Diese nteil ist gleich dem Skalapodukt F p) t) = F t)) t). Da de Einheitsvekto t) in Richtung des Umlaufs im Gegenuhzeigesinn zeigt, weden dabei Vektoen F p) in diese Richtung positiv gezählt und Vektoen in die Gegenichtung weden negativ gezählt. Integation diese Einzelbeitäge übe den gesamten Rand egibt dann die Rotation des Vektofeldes F um das Flächenstück l ot F = F t)) t) dt = F ds = F ds. Die zweite fü uns wichtige Göße ist de Fluß von F duch das Flächenstück. In diesem Zusammenhang spicht man dann auch gene vom Quellfluß von F duch. ls Symbol fü den Quellfluß scheiben wi div F := us ausstömende Fluß Nach einstömende Fluß. Um diesen Fluß zu beechnen, und ihn übehaupt exakt zu definieen, betachten wi fü jeden Randpunkt p den Nomalenvekto von in p. Dies ist de Einheitsvekto np) = n p) R 2 de senkecht auf dem Tangentenvekto von in p steht und dessen Richtung aus heaus zeigt. Dies ist übigens die Stelle an de wi benötigen das die Tangentenvektoen nicht Null sind, nu dann haben wi einen sinnvollen Nomalenvekto auf dem Rand von. De Fluß des Vektofelds F duch im t) Fp) np) p = t) Punkt p ist dann de nteil des Vektos F p) in Richtung des Nomalenvektos np), also das Skalapodukt F p) np). Da de Vekto np) aus heaus zeigt wid de Fluß aus heaus dabei positiv gezählt und de nach hinein wid negativ gezählt. Den Quellfluß von F duch das Flächenstück können wi damit als das skalae Kuvenintegal l div F = F t)) nt)) dt = F s) ns) ds = F s) ns) ds definieen. Damit haben wi den Fluß des Vektofelds F um das Flächenstück heum und duch das Flächenstück hinduch definiet. Setzen wi diese in Relation zu -4

5 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. Fläche von, so egeben sich die elative Wibeldichte von F um und die elative Quellflußdichte von F duch, also vol) ot F und vol) div F. Betachten wi dann imme kleine wedende Flächenstücke, die sich auf einen Punkt p U zusammenziehen, so egeben sich im Genzwet die Wibeldichte ode Rotation ot F )p) := lim p vol) ot F von F in p und die Quellflußdichte ode Divegenz div F )p) := lim p vol) div F von F in p. Diese Definitionen von Divegenz und Rotation sind zwa nicht ganz exakt da wi nicht genau sagen was mit diesen Genzwet gemeint ist, und ob e übehaupt existiet, sie haben abe den Voteil die anschauliche Bedeutung diese beiden Begiffe heauszustellen und sie sind zugleich koodinatenunabhängig definiet. Zum konketen Rechnen sind sie dagegen wenige geeignet, abe wi weden bald sehen wie sich Divegenz und Rotation explizit beechnen lassen. Die Rotation eines Vektofelds F um ein Flächenstück mißt die Bewegung des Vektofeldes im Gegenuhzeigesinn um heum. Denken wi uns als dehba, so wid de Fluß von F das Stück im Gegenuhzeigesinn dehen lassen wenn die Rotation ot F > positiv ist, und im Uhzeigesinn wenn sie negativ ist. Die Dehung ist dabei umso schnelle je göße de Betag de Rotation ist. ot F > ot F < Die Divegenz div F mißt dagegen den Fluß des Vektofelds duch hinduch. Ist die Divegenz positiv, so fließt meh aus heaus als heein kommt, und zumindest bei kleinen bedeutet dies das die Feldstäke von F in Flußichtung zunimmt. Fü div F < nimmt die Feldstäke dagegen in Flußichtung ab. -5

6 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. div F > div F < Wi wollen jetzt die Divegenz eines auf eine offenen Menge U R 2 definieten, stetig diffeenziebaen Vektofeldes explizit in catesischen Koodinaten beechnen. Hiezu setzen wi das Vektofeld F in catesischen Koodinaten als F x, y) = fx, y)e + gx, y)e 2 mit stetig diffeenziebaen Funktionen f, g : U R an. Sei dann ein Punkt p = a, b) U gegeben. Da U offen ist, enthält die Menge U auch einen ganzen Keis mit Mittelpunkt p, und insbesondee ist de Keis B p) mit Radius > und Mittelpunkt in p fü alle auseichend kleinen ganz in U enthalten. Die Divegenz von F in p können wi damit als div F )p) = lim π 2 B p) F s) ns) ds beechnen. Betachte zunächst einen festen Radius >. Den Rand B p) können wi dann im Gegenuhzeigesinn duch die Kuve : [, 2π] U; t a + cos t, b + sin t) duchlaufen. De Nomalenvekto im Punkt q = t) ist fü t 2π als nq) = cos t, sin t) gegeben, und damit ist auch F q) nq) = fa + cos t, b + sin t) cos t + ga + cos t, b + sin t) sin t. ußedem ist Es folgt t) = sin t, cos t), also t) =. F s) ns) ds π 2 B p) = 2π [fa + cos t, b + sin t) cos t + ga + cos t, b + sin t) sin t] dt. π Hie müssen wi jetzt den Genzübegang duchfühen, und wi wollen hiezu gemäß II. 4.Satz aus dem letzten Semeste den Genzübegang mit dem Integal vetauschen. Da alledings duch geteilt wid konvegiet de Integand übehaupt -6

7 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. nicht, und wi können die Vetauschung nicht unmittelba duchfühen. Mit patielle Integation haben wi jetzt 2π = fa + cos t, b + sin t) cos t dt = fa + cos t, b + sin t) sin t 2π 2π [ = 2π 2π f f a + cos t, b + sin t) sin t x [ f x und analog egibt sich auch 2π = 2π [ ] d fa + cos t, b + sin t) sin t dt dt ] a + cos t, b + sin t) cos t sin t dt f a + cos t, b + sin t) sin t a + cos t, b + sin t) cos t ] sin t dt, ga + cos t, b + sin t) sin t dt [ g ] g a + cos t, b + sin t) sin t + a + cos t, b + sin t) cos t cos t dt. x ddieen wi diese beiden Fomeln, so folgt F s) ns) ds π 2 = π B p) 2π π f x a + cos t, b + sin t) sin2 t dt + π 2π [ f 2π g a + cos t, b + sin t) cos2 t dt ] sin t cos t dt. g a + cos t, b + sin t) + a + cos t, b + sin t) x Da wi die Stetigkeit de patiellen bleitungen von f und g voausgesetzt haben, ist im Genzwet lim f x f a + cos t, b + sin t) = p), lim x f f a + cos t, b + sin t) = p), lim lim g g a + cos t, b + sin t) = p), g g a + cos t, b + sin t) = x x p) und vetauschen wi jetzt Integation und Genzübegang, so folgt lim F s) ns) ds π 2 = π f x p) B p) 2π sin 2 t dt + π g 2π p) cos 2 t dt [ ] f g 2π p) + π x p) sin t cos t dt = f g p) + x p). -7

8 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. Damit scheibt sich die Divegenz eines Vektofeldes in catesischen Koodinaten als div f x + g ) = f x + g. Integieen wi jetzt die Quellflußdichte übe ein Flächenstück, so egibt sich de Fluß duch dieses Flächenstück, dies ist die zweidimensionale Vesion des sogenannten Divegenzsatzes von Gauß. Die Begündung diese Tatsache veläuft genauso wie wi fü die Masse eines Köpes mit gegebene Dichte in.4 agumentiet haben. Wi zelegen das Flächenstück in eine goße Zahl,..., kleine Teilstücke. Da die Divegenz aufgund de Fomel div F = f/x + g/ wiede stetig ist, ist sie bei auseichend kleinen Stücken auf jedem de i näheungsweise konstant. ndeeseits ist die Divegenz de Genzwet de elativen Flußdichte, und damit ist div F p i ) in einem, und jedem, Punkt p i i näheungsweise gleich div i F )/ vol i ). Fü die zu Zelegung in,..., von gehöige Riemansumme des Integals div F x) dx ist somit div F p i ) vol i ) i= div i F = div F. i= Fü die letztee Identität muss man sich dabei nu an die Definition de Quellflußdichte auf als ausstömende minus einstömende Flüssigkeit einnen. Liegt dann ein Punkt p i i nicht auf dem Rand von, so liegt e auf p j dem Rand eines weiteen Flächenstücks j. Dann wid de aus i in p ausstömende Fluß zugleich de bei p nach j ein einstömende Fluß, und ebenso ist nach i einstömende zugleich aus j ausstömende Fluß. Die Beitäge all diese Randpunkte p in div i F heben sich also weg, und es bleiben nu Beitäge von Punkten p. Dot ist ein- und ausstömende Fluß fü i abe dasselbe wie fü. Damit ist die Fomel zumindest heuistisch kla. Lassen wi die Zelegung von jetzt imme feine weden, so konvegieen die Riemansummen gegen das Integal div F x) dx und zugleich wid auch die ppoximation de Riemansummen duch div imme besse. Im Genzwet egibt sich dann de sogenannte Divegenzsatz. Satz 3.4 Gaußsche Divegenzsatz in de Ebene) Seien U R 2 offen und F : U R 2 ein stetig diffeenziebaes Vektofeld in U. Sei U ein einfach glatt beandetes Flächenstück und weite bezeichne np) fü p den nach außen geichteten Nomalenvekto auf. Dann gilt div F = F s) ns) ds = divf )x, y) dx, y). Das este Gleichheitszeichen ist dabei nu die Definition von div F, und das zweite ist die eigentliche ussage des Satzes. Beachte das unsee Übelegung zu Heleitung des Divegenzsatzes völlig analog zu Begündung de Fomel M = ϱx) dx fü die K -8

9 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. Masse eines Köpes K mit Massedichte ϱ wa, es handelt sich sozusagen um die Standadübelegung in fast allen diesen Situationen. Wid die Dichte von igendetwas als Genzwet elative Dichten definiet, so egibt sich de Gesamtwet de betachteten Göße auf duch Integation diese Dichte übe. Eigentlich ist das Integal im Divegenzsatz nu fü Standadflächenstücke sinnvoll, da wi nu dann übeall einen Nomalenvekto haben. Im allgemeinen Fall kann man die Randkuve abe in endlich viele Stücke zelegen auf denen es jeweils einen Nomalenvekto gibt, dann bildet man die Integale übe diese einzelnen Teilstücke und addiet sie anschließend. Dies ist völlig analog zum vektoiellen Kuvenintegal, dot musste die Kuve in Teile zelegt weden auf denen es jeweils einen Tangentenvekto gibt, und anschließend wuden die Integale übe diese Teilstücke aufsummiet. uch in diese Situation gilt dann de Divegenzsatz. Im zweidimensionalen Fall besteht zwischen Divegenz und Rotation kein goße Unteschied. Nehmen wi wiede einmal an wi hätten ein glatt beandetes Flächenstück U. Wi bescheiben den Rand dann duch eine nach Bogenlänge paametisiete Kuve : [, l] R 2, die im Gegenuhzeigesinn umläuft. Fü jedes t l ist t) dann de in Duchlaufichtung zeigende tangentiale Einheitsvekto an im Punkt p = t). Den Nomalenvekto an im Punkt p t) np) p = t) ehalten wi dann indem wi t) um neunzig Gad im Uhzeigesinn dehen, also ) np) = nt)) = J t) mit J =. Nun ist J eine othogonale Matix mit J 2 =, und somit ist F p) np) = J 2 F p)) J t)) = JF p)) t). Wiede da nach Bogenlänge paametisiet ist, folgt weite l l div F = F s) ns) ds = F t)) nt)) dt = JF )t)) t) dt = JF ) ds = ot JF ). Diese Gleichheit übetägt sich dann auch auf die elativen Fluß- und Wibeldichten, und schließlich egibt sich fü jeden Punkt p U ebenfalls div F )p) = lim p vol) div F = lim p vol) ot JF ) = otjf ))p). Rotation und Divegenz gehen im zweidimensionalen Fall also duch Dehung um neunzig Gad auseinande hevo. Wenden wi diese Fomel auf JF statt F an, so folgt wegen J 2 = auch ot F )p) = divjf ))p). -9

10 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. Insbesondee egibt sich in catesischen Koodinaten die Fomel ot f x + g ) = div J f x + g )) = div g x f ) = g x f. Weite können wi den Gaußschen Divegenzsatz auf JF anwenden und ehalten den Integalsatz von Geen. Satz 3.5 Integalsatz von Geen) Seien U R 2 offen und U ein ein einfach glatt beandetes Flächenstück. Fü alle stetig diffeenziebaen Funktionen f, g : U R gilt dann die Geensche Integalfomel fx, y) dx + gx, y) dy = g x f ) dx, y). Beweis: Wi betachten das stetig diffeenziebae Vektofeld und wenden Satz 4 an F := fx, y) x + gx, y) g x f ) dx, y) = otf ) dx, y) = divjf ) dx, y) = div JF ) = ot J 2 F ) = ot F = F ds = fx, y) dx + gx, y) dy. Damit ist die Geensche Fomel auf den Divegenzsatz zuückgefüht. ls ein nwendungsbeispiel des Satzes von Geen wollen wi jetzt die sogenannte Leibnizsche Flächenfomel heleiten. Dies ist eine Fomel fü die Fläche eines einfach glatt beandeten Flächenstücks R 2. Betachten wi die Funktionen fx, y) := y und gx, y) := x, so ist g x f = 2, also wid de Satz von Geen zu vol) = dx, y) = x dy y dx = 2 2 wobei die letztee Dastellung nu eine symbolische Scheibweise ist. - x dx y dy,

11 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. Man kann den Satz von Geen auch auf etwas allgemeinee Flächenstücke anwenden. Dies wollen wi hie nicht systematisch duchfühen, sonden nu ein Beispiel bespechen. Man nennt ein Flächenstück glatt beandet, wenn sein Rand sich als Veeinigung endliche viele disjunkte Teile C,..., C scheiben läßt, die jeweils von eine Kuve einfach duchlaufen weden können. Im nebenstehend abgebildeten Flächenstück zefällt de Rand beispielsweise in = 3 Kuven. Dabei lassen wi die äußee Randkuve im Gegenuhzeigesinn um laufen, und die beiden innen gelegenen Randkuven α und β sollen um Uhzeigesinn duchlaufen weden. In andeen Woten wid jede Randkomponente so duchlaufen, das die Menge in Bewegungsichtung imme zu linken Seite liegt. Wi nennen die beiden inneen Keise B und B, und dann ist D := B B die ganz ausgefüllte Ellipse. Sind f, g weite zwei stetig diffeenziebae Funktionen, so ehalten wi mit deifache nwendung de Geenschen Fomel g x f ) dx, y) = D g x f ) g dx, y) B x f ) g dx, y) B x f ) dx, y) = f dx + g dy + f dx + g dy + f dx + g dy wobei die Minuszeichen veschwunden sind da wi α und β im Uhzeigesinn duchlaufen. Mit solchen Übelegungen kann man dann ganz allgemein auch noch eine Geensche Fomel fü glatt beandete Flächstücke heleiten, abe dies wollen wi hie nicht meh duchfühen. Zum bschluß wollen wi jetzt noch die Divegenz und Rotation in Polakoodinaten beechnen. Gegeben sei also ein auf eine offenen Menge definietes, stetig diffeenziebaes in Polakoodinaten definietes Vektofeld F, φ) = f, φ) + g, φ) φ. Um die Divegenz zu beechnen, wollen wi dieses Vektofeld zunächst in catesische Koodinaten umscheiben. Hiezu vewenden wi die Fomeln x = x2 + y 2 x + y x2 + y 2 = cos φ x + sin φ, aus 2.. Damit wid φ = x y x = cos φ sin φ x F, φ) = f, φ) cos φ g, φ) sin φ) x + f, φ) sin φ + g, φ) cos φ). - α β

12 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. In diese Fom können wi jetzt die Fomel fü die Divegenz in catesischen Koodinaten anwenden. Hiezu beechnen wi die bleitungen de beiden Koeffizientenfunktionen nach den catesischen Koodinaten x, y, eneut mit Hilfe de Fomeln aus 2.. Wi ehalten f, φ) cos φ g, φ) sin φ) x = cos φ sin φ und = cos 2 φ f = cos 2 φ f f, φ) sin φ + g, φ) cos φ) = sin φ + cos φ = sin 2 φ f = sin 2 φ f φ ) f, φ) cos φ g, φ) sin φ) sin φ cos φg, φ) sin φ cos φg + sin2 φ f, φ) + sin 2 φ g + sin φ cos φg, φ) φ sin φ cos φ f sin φ cos φg φ + sin2 φ φ sin φ cos φ f φ ) f, φ) sin φ + g, φ) cos φ) + sin φ cos φg, φ) + sin φ cos φg + cos2 φ f, φ) + cos 2 φ g sin φ cos φg, φ) φ sin φ cos φ f + sin φ cos φg + φ + cos2 φ f, φ) + sin 2 φ g φ sin φ cos φ f + φ f, φ) + cos 2 φ g φ. ddition diese beiden Teme egibt dann die Divegenz unsees Vektofelds in Polakoodinaten div f, φ) ) + g, φ) = f φ + g φ + f, φ). Veglichen mit de catesischen Fomel haben wi also einen zusätzlichen Koektutem. Wie im letzten bschnitt ausgefüht benutzt man oft auch die punktabhängige Othogonalbasis e, e φ zu Bescheibung von Vektofelden in Polakoodinaten. Wegen e = und e φ = φ haben wi fü ein bezüglich e, e φ geschiebenes Vektofeld F, φ) = f, φ)e + g, φ)e φ = f, φ) + g, φ) φ -2

13 Mathematik fü Ingenieue III, WS 25/26 Montag 3. dann divf, φ)e + g, φ)e φ ) = f + g φ + f, φ) = ) g f, φ)) +. φ Die Fomeln fü die Rotation können wi übe die Beziehung otf ) = divjf ) auf die beeits hegeleiteten Fomeln zuückfühen. Da J die Dehung um π/2 im Uhzeigesinn ist gelten Je = e φ und Je φ = e, also wid otf, φ)e + g, φ)e φ ) = divg, φ)e f, φ)e φ ) = g f φ + g = In de Scheibweise mit patiellen bleitungen bedeutet diese Fomel ot f, φ) ) + g, φ) = g φ f + 2g, φ). φ ) f g, φ)). φ -3