LOOPING. Berechnung der Ablösung für den Übergang in den Schiefen Wurf. r F N

Transkript

1 De Looping one Reibung Ein Eiswüfel de Masse m, im olgenden kuz Köpe genannt, statet im Punkt S utsct die tangentiale Ebene inunte danac duc den etikalen Looping Reibung bleibt außen o, so dass nu konseatie Käfte oliegen etacten wi typisce agen a Zeicnen Sie im öcsten Punkt H im tiefsten Punkt des Loopings alle Käfte mit ien ezeicnungen ein, welce an dem Köpe angeifen enennen Sie diese geben Sie die jeweilige Usace diese Kaft an Einneung: Die Usacen de Käfte sind zum einen die Gaitation G zum andeen die Zwangskaft edingung de an Die Zentipetalkaft in H ist Z= + G b Geben Sie eine kuze egündung, wesalb de Köpe den Looping aus de Höe = selbst one igendwelce Reibungseluste nict ducollen kann Was gesciet in diesem all? Gemäß Enegiesatz wäe die kinetisce Enegie in H gleic goß wie in S, also J De Köpe wäe also in H nict me in ewegung, auc nict in eine Keisbewegung Es ist somit auc keine Zentipetalkaft oanden, jedoc wikt die Gewictskaft etikal nac unten Also fällt de Köpe on de Sciene nac unten Alledings fällt de Köpe o dem Eeicen des öcsten Punktes on de Sciene, da scon oe die omalkaft null wid c Wie goß muss die Gescwindigkeit im öcsten Punkt H mindestens sein, damit de Looping nict elassen wid? Aus Z G folgt g d De Statpunkt S wid so gewält, dass de Köpe die Looping-Sciene auc im öcsten Punkt H noc deutlic beüt > Aus welce Höe muss de Köpe aus de Rue folglic staten? ipp: Enegieealtung E + E = mg mg+ m = mg g + g< g 4+ < pot kin = > g c Die Statöe ist folglic mit 5 < anzunemen ü 5 = ist = in H e Geben Sie die Käfte in an, die auf den Scienen lasten, wenn die Masse des Köpes kg, de Radius des Loopings m die Höe = 3m betägt Die angentialgescwindigkeit in betägt fü = m nac de Enegieealtung g = g damit die Zentipetalkaft Z= m = m = 6mg Die omalkaft in betägt, = Z+ G= 6mg+ mg= 7mg, also m, = 7 kg 9,8 s= 68,67 S G G H G = mg z= m = + Z, G = Z, H G > H PD D e nat abil Get Hillebandt

2 eecnung de Ablösung fü den Übegang in den Sciefen Wuf Die Zelegung de lokalen Gaitationsbescleunigung g in die omal- angentialkomponente zeigt eine negatie escleunigung auf den Köpe, da e aufsteigt Die angente omale im Auflagepunkt des Köpes kann dae als bewegtes Koodinatensystem betactet weden Die omalkaft ist eine Zwangskaft, die duc die Untelage ausgeübt wid De Köpe state nun in eine Höe < 5 < E wid die Loopingban elassen, wenn = eecnen wi die zugeöige Höe Dazu wid die ditte Raumkoodinate null gesetzt Es seien Re s= + G= ma Z p Re s = = maz Dann sind also cos sin Z= m, < < π, G = mg cos = mg sin sin, m cos cos cos Z sin sin sin mg sin m g = = + = sin Die omalkaft ist folglic genau dann null, wenn Enegiesatz zeigt, dass = g olglic ist sin sin sin 3 sin sin 3 de Winkel mittels g sin g = = sin De = mit = + sin = = =, beecnet weden Die Genzfälle 3 5 = sin, = liefen 5 Somit kann = =,5 entspecend Allgemein finden wi die Ablöseöe die zugeöige Gescwindigkeit 3 = 3 = + g Dies ist die Anfangsgescwindigkeit eines sciefen Wufes in Rictung 3 5 = sin, S, also g H G = + sin 3 = = π sin cos, wobei Ein eale Looping muss natülic zwei Eigenscaften an den Übegangsstellen efüllen Die angente die Kümmung müssen übeeinstimmen, damit sic Gescwindigkeit escleunigung nict sclagatig änden, es sei denn, es ist ewünsct Die Anfodeungen an angente Kümmung sind efüllt, wenn die esten beiden Ableitungen übeeinstimmen Z Res G Gt PD D e nat abil Get Hillebandt

3 eecnung mit eine Rotation eine Kugel Rollt eine Kugel mit Radius K - one zu gleiten zu eiben - mit Looping, so ealten wi die Mindeststatöe,7<, denn duc den E + E + E = mg mg+ m + Jω = mg mg+ m + J = mg J= 5 m 7 mg+ m = mg g + 7 g< g,7 < = > g c pot kin ot K K = 7 Statet nun die Kugel aus de Höe <, 7, so eecnet sic de Winkel, die Höe die Gescwindigkeit fü = wie folgt ü das Quadat de Gescwindigkeit folgt g Mit g sin = = + sin folgt aus de Winkel die Höe sowie die Gescwindigkeit g sin= g sin 7 7 sin= 7 7 sin= 7 7 = sin, = + = = g 7 Solange keine Reibung angenommen wid, ist die Lösung imme mit dem Enegieealtungssatz möglic In diesem all weden nu konseatie Käfte betactet Mit Reibung Dissipation ist es scwee, da ein längee Weg auc me Entopie liefet Definition Eine Kaft eißt konseati, wenn die ewegung eines Köpes zwiscen zwei Punkten A unabängig on dem Weg zwiscen A ist Da die Kaft eine Pfaffsce om ψ ist, folgt auc, dass dies äquialent ist zu = ψ ode d ψ = auf einem einfac zusammenängenden Gebiet G In diesem all existiet eine unktion α mit geöige Potential dα=ψ α eißt das zu ψ PD D e nat abil Get Hillebandt 3

4 De Looping mit Reibung In diesem all soll eine Reibung des Eiswüfels, kuz Köpe, beücksictigt weden De Reibungskoeffizient sei µ In diesem seien alle weiteen Velustfaktoen wie Lufteibung, Scallabgabe etc beücksictigt Die Reibungsenegie ist auf dem Geadenstück de Länge l S einfac zu beecnen, da sic die Käfte nict änden ü die Höe im Looping wid de Zusammenang sin π δ = cosδ beücksictigt De Winkel = beginnt im iefpunkt Die escleunigung des Köpes ma egibt sic aus + R+ G= ma, wobei R= µ, mit µ µ = Aus diese Dastellung weden die angential- Zentalbescleunigung, also a entnommen Dazu bieten sic die otonomalen Eineitsektoen gebildet aus den Keiskoodinaten an De Enegieealtungssatz lautet wobei die Statöe ist Sciefe Ebene on S bis Zunäcst zu den Käften Es gilt sinδ = mg cosδ cosδ, somit S sinδ cosδ cosδ sinδ E + E + E = mg pot kin R sinδ cosδ R= µ = mg cosδ µ = µ mg cosδ cosδ sinδ sowie, G a Z = mg sinδ cosδ cosδ a= a= g cosδ + µ g cosδ + g = g µ cosδ sinδ cosδ sinδ sinδ Insbesondee ist m a = δ = tan µ De Köpe muss einen Impuls in S bekommen s R G G t δ R π δ Z H G t G Z G t G R G Z = + sin R Res G Gt 4 PD D e nat abil Get Hillebandt

5 Die Reibungskaft ist längs des Weges sciefe Ebene S konstant Die Reibungsenegie cosδ beecnet sic folglic mit s= l S sinδ zu cosδ cosδ E = i s= µ mg cosδ µ mg cosδ R R = sinδ il S sinδ l S Mit sinδ= S ER= mgµ cotδ Die Enegie damit die Gescwindigkeit in kann jetzt beecnet weden Sie betägt l folgt E + E + E = mg pot, kin, R, mg m mg mg + + µ cotδ= + g = g Duc Einsetzen on sin π δ = = cosδ folgt endlic die Eintittsgescwindig- keit in den Looping Insbesondee gilt nun sclagatig µ cotδ = g µ cotδ Z m Damit lautet die escleunigung in : a= a + a Z = g + cosδ µ cotδ = mit = g cosδ µ cotδ δ cosδ cosδ sin sinδ = + g cos g g δ + + µ + cosδ sinδ cosδ sinδ cosδ g cosδ µ cos cos sin cos g δ g δ = g δ δ sinδ cosδ sinδ sinδ sinδ cosδ cosδ = + g cosδ g cosδ + µ cos sin cos cos + g δ g δ δ δ sinδ sinδ µ g cosδ g sinδ sinδ cosδ = + cosδ + sinδ Looping zwiscen Die angentialbescleunigung a t lautet jetzt cos δ ξ at= µ + g cos δ ξ g sin δ ξ, ξ δ π < sin δ ξ Ab dem Punkt gilt beim Eintitt in den Looping mit = cosδ = g + cosδ µ cotδ de Enegieealtungssatz E pot+ Ekin+ ER= mg + m PD D e nat abil Get Hillebandt 5

6 Mit G mg = sin δ ξ, G cos n = mg δ ξ cos δ ξ wobei ξ δ folgt ma= + R+ G = Z G + µ n + G = + µ µ + Z Z Gn Gt cos δ ξ G = sin t G G = mg δ ξ n sin δ ξ, sin δ ξ cosδ ξ = m µ m sin cos cos g δ ξ g δ ξ δ ξ sin δ ξ Also gilt cosδ ξ R= µ = m + g cos δ ξ sin δ ξ olglic ist mit de Reibungsenegie E = b = µ b = µ m + g cos δ ξ ξ de Höe = cos δ ξ de R R ξ Enegieealtungssatz ü ξ Epot+ Ekin+ ER= mg+ m mg+ m + µ m cos + µ mg δ ξ ξ= mg + m g+ µξ + µ gξ cos δ ξ = g+ µξ + g cos δ ξ + µ gξ cos δ ξ = g cosδ = m ξ δ + g + cosδ µ cotδ µξ + g µξ cos δ ξ = gcosδ + g + cosδ µ cotδ ER= R bδ = µ = µ m + g δ die Enegiegleicung = folgt mit µδ + g µδ = g cosδ+ g + cosδ µ cotδ = g g cot g µδ µ δ µ δ µδ = g µ cotδ + µ g cotδ δ = g µ cotδ + µ cotδ δ µδ Aufg de Reibung muss die angentialbescleunigung a t spätestens jetzt in diesem Inteall o escwinden Aus de angentialbescleunigung cos δ ξ at= µ + g cos δ ξ g sin δ ξ, ξ δ π < sin δ ξ folgt µ + g cosδ ξ g sinδ ξ = µ = g sin δ ξ µ g cos δ ξ, ξ δ< π 6 PD D e nat abil Get Hillebandt

7 Mit de Zentipetalbescleunigung cos cot cos cos + δ µ δ δ µξ δ ξ = g µξ folgt endlic gµ cosδ µ cotδ cosδ µξ cos δ ξ = µξ gsin δ ξ µ g cos δ ξ µ cosδ µ cotδ cosδ = µξ sinδ ξ µ cosδ ξ + µµξ cos δ ξ µ µ cotδ µ sinδ = µξ sin δ ξ + µ µξ 3 cos δ ξ Diese letzte nictlineae Gleicung muss fü ξ gelöst weden Insbesondee bestätigen noc einmal die letzten Gleicungen fü µ= keine Reibung oanden, dass = g + cosδ µ cotδ 3 Looping zwiscen H De Köpe statet nun mit de Gescwindigkeit, um den Looping zu eklimmen Mit = g G= mg, folgt sin = mg cos cos ma= + R+ G = Z G + µ n + G = + µ µ + Z Z Gn Gt cos G = sin t G G = mg n sin, wobei π sin cos = m + µ m sin cos cos + g + g sin cos R= µ = + sin olglic ist mit de Reibungsenegie Also gilt m g cos cos ER= R b= µ b= µ m + g de Höe = cos de Enegieealtungssatz wobei cos mg m m g m + + µ + =, = g µ cotδ + µ cotδ δ µδ ac küzen de Masse g g cos + + µ + = un können folgende agen beantwotet weden PD D e nat abil Get Hillebandt 7

8 Aus welce Höe muss de Köpe staten, damit e den öcsten Punkt H one eunte zu fallen ducutsct? Im öcsten Punkt H muss natülic g gelten Außedem ist = π Einsetzen liefet cot cot µ δ + µ δ δ g+ + µ + g cos = g µδ µ cotδ + µ cotδ δ g + g+ µ g g π= g µδ,5 µδ µ cotδ δ = µ cotδ De Eiswüfel muss nun aus de Höe staten, damit e im Looping bleibt,5+ µ 6δ cotδ = µ cotδ,5+ µ 6δ cotδ = µ cotδ Auc die age: In welce Höe get de Eiswüfel in den Sciefen Wuf übe, wenn e untealb de geade eecneten Höe statet? kann nun beantwotet weden Wi bleiben allgemeine! sein Mit Hilfe des Enegieealtungssatz m g cos g cos, π atülic müssen = + = = < < = cos π µ cotδ + µ cotδ δ mg+ m + µ m + g cos = mg µδ folgt µ cotδ + µ cotδ δ g cos g cos= g µδ µ cotδ+ µ cotδ δ cos= 3 3 µδ damit de Winkel µ cotδ+ µ cotδ δ = cos 3 3 µδ Die Höe ist mit = cos folglic µ cotδ + µ cotδ δ µδ + µ δ cot 3 3 µδ 3 3 µδ = LE = LE leibt nu noc die Gescwindigkeit g cos = Sie betägt 8 PD D e nat abil Get Hillebandt

9 µ cotδ + µ cotδ δ = g 3 µδ cos Auc in diesem all beginnt ein sciefe Wuf in Rictung sin Rollende Kugel Im all eine Kugel beginnen Sie mit olgen Sie den Scitten des Eiswüfels R= mg m E mg Reale Looping Ein eale Looping sollte folgende Anfodeungen an den Übegängen efüllen Links- ectsseitige Ableitungen angenten die Kümmungen stimmen übeein De Kümmungsadius x wid duc x = + f x 3 f x bescieben, wobei f eine beliebige unktion ist Dies wid in de Analysisolesung ode in eine Übung dazu gezeigt Waum weden bei einem Paabelstück imme de Sceitelpunkt de ußpunkt unteste Punkt des Loopings als Übegang gewält? Abscließende emekung Zum besseen Veständnis wid neben dem Enegieealtungssatz gleiczeitig dessen Enegiestom Leistung betactet E + E + E = E Eɺ + Eɺ + Eɺ = pot kin R pot kin R Hiebei wid esictlic, dass gleiczeitig die Enegie on de potentiellen Enegie zu kinetiscen dissipatien Enegie stömt, denn in beiden esceint Desalb kann in diesem elati einfacen all auf ein Integal ezictet weden eim Aufstieg in dem Looping nimmt die potentielle Enegie zu die kinetisce Enegie ab Eɺ + Eɺ + Eɺ = pot kin R ttps://dewikipediaog/wiki/k%c3%cmmungskeis PD D e nat abil Get Hillebandt 9