Ankathete Hypothenuse

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1 Arbeitsauftrag: Trigonometrische Funktionen Bearbeitet folgendes Blatt und macht Euch mit den Trigonometrischen Funktionen und ihren Eigenschaften vertraut. 1.) Grundlagen - Wiederholung: Trigonometrische Funktionen sind die bekannten Winkelfunktionen. In der Schule spielen in der Mathematik vor allem die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion eine Rolle. Diese Funktionsklasse ergibt sich aus der Geometrie von Dreiecken, der Trigonometrie. Beziehungen zwischen den Seiten eines Dreiecks und den Winkeln: sin α= Gegenkathete Hypothenuse Es gilt: cosα= Ankathete Hypothenuse tan α= Gegenkathete Ankathete Zur Winkelmessung: Tipp: 360 =, d.h.: 1 = 360 b=α 180

2 Füllt folgende Tabelle aus: Grad Bogenmaß ) Sinus, Cosinus und Tangens als Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens lassen sich am Einheitskreis ablesen und dann als Werte in ein Koordinatensystem übertragen, so dass ein periodischer Funktionsgraph entsteht. Vervollständigt folgende Zeichnung mit Hilfe der im Internet hinterlegten Animation. ( y y (Naja im PC schwierig! :-) ) P y = sin(x) x = cos(x) x x Skizziert auch im Einheitskreis beim Punkt P, wo man den Wert des Sinus bzw. des Cosinus per Messung feststellen kann. ( P ( x = _cos(x) ; y =_sin(x) ) ) Wie könnte man zeichnerisch die Cosinus-Funktion aus dem Einheitskreis gewinnen? Koordinatensystem nach unten anlegen. Man erkennt aus den beiden Graphen der Sinus und Cosinus folgendes: 1.) Die Periode (die Werte wiederholen sich) ist.) Die Amplitude (max. y-auslenkung) ist 1 3.) Die Sinus-Funktion ist punkt-symmetrisch zum Punkt _Ursprung_. Es gilt: sin(-x) = -sin(x) 4.) Die Cosinus-Funktion ist achsen_-symmertisch zur _y-achse_. Es gilt: cos(-x) = cos(x)

3 Skizziert die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion in die Zeichnung und beschriftet die Fehlenden Angaben mit den im Kasten befindlichen Bezeichnungen. Die Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion erhält man also wie? Periode, Amplitude Amplitude Periode f (x)=sin x f (x)=cos x f ' ( x)=cos( x) f ' ( x)= sin (x) 3.) Allgemeine Sinus- und Cosinusfunktionen (Bsp.: Sinus) Allgemein sieht die Funktionsvorschrift der Sinus-Funktion folgendermaßen aus: f (x)=a sin(b (x c))+ d ; mit a;b ;c ;d R ; b> 0 ; Findet mit Hilfe von Geogebra folgendes heraus: a) Wofür sind die Parameter a, b, c, d bei einer Sinusfunktion verantwortlich? b) f hat in obiger welche Periode? c) f hat in obiger Form welche Amplitude?

4 Ergebnisse: Merksatz: Für die Sinusfunktion der Form f (x)=a sin (b (x c))+ d ; mit a; b ;c ;d R gilt: a) Die Parameter sind für folgendes verantwortlich: a: Amplitude maximale Auslenkung in y-richtung b: Für die Stauchung in x-richtung c: für die Verschiebung in x-richtung d: Für die Verschiebung in y-richtung b) f hat die Periode p= b c) f hat die Amplitude a. Schulbuch Aufgaben ab Seite 137: Nr.1: a) a = ; p= 3 ; b) a = 3; p=4 c) a = 0,1; p= ; d) a = -; p= ; e) a = 0,5; p= ; f) a = -1; p=4 ; Nr.: (a) f ( x)=sin ( x); k= (b) f ( x)=sin( 1 x); k=1 (c) f ( x)=sin( 3 x); k= 3 (d ) f (x)=sin( x); k= 1 (e) f ( x)=sin(x ); k=1 ( f ) f (x)= sin ( x); k= 1 4 Nr. 3: a) Siehe Geogebra... Nr. 4: a)

5 Nr. 6: (a ) f ( x)=sin ( x) (b) f (x)=sin ( 1 x)+ 1 (c) f (x)=sin(4 5 x) 1 (d ) f ( x)= 3sin ( x) (e) f (x)=,5 sin ( x)+ 1 ( f ) f (x)= 1 sin (1 5 x)+ 1 Nr. 8: (a) f ( x)= sin (3x)+ 10 ; (b) f ( x)= cos(3( x )); f ' ( x)= 6 cos(3x) f ' ( x)=3sin (3(x )) (c) f (x)=0,sin (5(x+ 1)) 4 ; f ' ( x)=cos(5( x+ 1)) (d ) f ( x)=+ cos( x 3 ) ; f ' (x)= 1 3 sin (x 3 ) (e) f (x)=1 cos(( x )) ; f ' (x)=sin((x )) ( f ) f (x)=x+ sin(x) 4; f ' (x)=1+ cos(x) Nr. 10: f (x)=9 sin (x ); I=[0 ; ] f ' ( x)=18 cos(x); f ' ' (x)= 36 sin(x); a) Nullstellen: f ( x)=0 sin(x)=0 x=0 x= Extrema : f ' (x)=0 cos(x)=0 x=(k 1) x=(k 1) 4 x= 4 x=3 4 Untersuchung an f ' ' (x): f ' ' ( 4 )= 36< 0 HP H ( 4 ;9) f ' ' ( 3 4 )=36> 0 TP T (3 4 ; 9)

6 b) f (x)= sin (x ); I =[ ;] f ' ( x)= cos( x ); f ' ' (x)= sin(x ); Nullstellen: f ( x)=0 sin (x )=0 x =k x = (k + 1) k =, 1,0; x= x=0 x= ; Extrema: f ' (x)=0 cos(x )=0 x= k 1 + k k k 1 3 k 1 k= 1 k=0 x= x= Untersuchung an f ' ' (x): f ' ' ( )< 0 HP f ' ' ( )< 0 TP c), d) mit GTR bestimmen und ablesen! Nr. 11: f (x)= 1 sin (x) 3 a) Skizze: b) Symmetrie: f ( x)= 1 sin ( x) 3 f ( x)= f (x) Achsen symmetrisch zur y-achse c) Bestimmung der Def.Lücken: sin ( x)=0 x=k ; k N D.h.: an allen Stellen k hat die Funktion senkrechte Asymtoten und muss daher periodisch verlaufen. Die Periode ist p = d) das geht leider noch nicht! erst mit dem Integral möglich. ;-)