Bei allen Aufgaben ist die richtige mathematische Schreibweise anzuwenden. Wichtige Zwischenschritte sind wie im Unterricht zu dokumentieren.

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Franziska Baumann
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1 LudwigWilhelmGymnasium 4. Klassenarbeit Jahresklassenarbeit Mathematik 3. Juni 7 Klasse c Vorname, Name Bei allen Aufgaben ist die richtige mathematische Schreibweise anzuwenden. Wichtige Zwischenschritte sind wie im Unterricht zu dokumentieren. Wahrscheinlichkeitsrechnung 8 Punkte Laut Medikamentenhersteller beträgt die Wahrscheinlichkeit 8%, dass ein Patient bei Einnahme eines neuen Medikaments unter Übelkeit leidet.. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 Patienten, die das neue Medikament einnehmen, a) genau 9 Patienten über Übelkeit klagen, b) mehr als 6 aber weniger als Patienten über Übelkeit klagen, c) mindestens 5 Patienten über Übelkeit klagen.. Wie viele Patienten müsste man mindestens fragen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 9% mindestens einen Patienten dabei zu haben, der unter Übelkeit leidet. Trigonometrie 7 Punkte Bestimme alle x R mit: a) cos x = 3 b) Für welche Winkel gilt cosα =, (Die Ergebnisse sind in Zehntel-Grad genau anzugeben)? c) Gib eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften an: Die Amplitude beträgt Einheiten, die Periode hat π Einheiten, sie ist um vier Einheiten phasenverschoben und hat keinen Gleichanteil. ( ) e) Zeichne mindestens eine Phase dieser Funktion (ersatzweise: f (x) = 3 cos x +π ) 4 Funktionsuntersuchung 5 Punkte Lippert Dienstag, 7. Juni 7 Gegeben ist die Funktion f (x) = 3 x 3 + x + 3x a) Berechne die Nullstellen von f. b) Untersuche die Funkon auf Extrempunkte. Begründe, wieso es sich um ein Maximum beziehungsweise um ein Minimum handeln muss. c) Gib an, ob das Schaubild von f eine Symmetrie aufweist. Wenn ja: Wo liegt der Spiegelpunkt.! /6

2 LudwigWilhelmGymnasium 5 Ableitungen 4 Punkte 5. Bilde die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = x 8 4 b) f (x) = 3 x 6 5. Bestimme eine Funktion f mit der folgenden Ableitung f. a) f (x) = 5x 4 7 b) f (x) = 3 x 6 Ableitungsfunktion 5 Punkte Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Die Funktion f sei die Ableitungsfunktion dieser Funktion f. a) Gib die Stellen x an, an denen f (x) = ist. b) Bestimme f (,6) zeichnerisch und gib den Wert an. c) Zeichne das Schaubild von f in das Koordinatensystem (rechts) ein Differentialrechnung 6 Punkte Lippert Dienstag, 7. Juni 7 7. Gegeben ist die Funktion f (x) = 3 x 3 7x. Berechne die Stellen x, an denen das Schaubild von f die Steigung hat. 7. Gegeben ist die ganzrationale Funktion f (x) = (x 3)(x + )(x 3 ). a) Begründe rechnerisch, dass es sich um eine ganzrationale Funktion der Form f (x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a handelt. b) Wie lauten die Nullstellen der Funktion? c) Welchen Grad hat die Funktion? d) Welchen Grad hat die Ableitung dieser Funktion? e) Begründe, wie sich die Funktion für sehr große x-werte und wie für sehr kleine x-werte verhält? 8 Trigonometrische Gleichung 7 Punkte Berechne alle Lösungen der Gleichung: x sin(x) sin(x) =.! /6

LudwigWilhelmGymnasium Wahrscheinlichkeitsrechnung 8 Punkte Laut Medikamentenhersteller beträgt die Wahrscheinlichkeit 8%, dass ein Patient bei Einnahme eines neuen Medikaments unter Übelkeit leidet.

3 LudwigWilhelmGymnasium Wahrscheinlichkeitsrechnung 8 Punkte Laut Medikamentenhersteller beträgt die Wahrscheinlichkeit 8%, dass ein Patient bei Einnahme eines neuen Medikaments unter Übelkeit leidet.. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 Patienten, die das neue Medikament einnehmen, a) genau 9 Patienten über Übelkeit klagen, B 5;,8;9 ( ), ,5% b) mehr als 6 aber weniger als Patienten über Übelkeit klagen, F( 5;,8;) F 5;,8;6 ( ), ,3% c) mindestens 5 Patienten über Übelkeit klagen. ( ),66433,7% F 5;,8;4. Wie viele Patienten müsste man mindestens fragen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 9% mindestens einen Patienten dabei zu haben, der unter Übelkeit leidet. Ansatz: B n;,8; ; durch Probieren erhält man n 88,79 % 9,758 % ( ),9 n! B( n;,8;) Man muss mindestens Patienten fragen. Trigonometrie 7 Punkte Bestimme alle x R mit: a) cos x = 3 x = 5 6 π + kπ x = 7 6 π + kπ L = { 5 6 π + kπ ; 7 6 π + kπ} k Z Lippert Dienstag, 7. Juni 7 b) Für welche Winkel gilt cosα =, α = arccos, ( ) α, α 36, , 4634 L = {, k 36 ; 58, k 36 } k Z! 3/6

4 LudwigWilhelmGymnasium c) Gib eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften an: Die Amplitude beträgt Einheiten, die Periode hat π Einheiten, sie ist um vier Einheiten phasenverschoben und hat keinen Gleichanteil. π f (x) = sin ( x 4) π = sin 4 x 4 ( ( ) = sin( 4x 6) e) Zeichne mindestens eine Phase dieser Funktion 3 y (4.79, ) (5.57, ) x 3 4 Funktionsuntersuchung 5 Punkte Lippert Dienstag, 7. Juni 7 Gegeben ist die Funktion f (x) = 3 x 3 + x + 3x a) Berechne die Nullstellen von f. 3 x 3 + x + 3x = x( 3 x + x + 3) = x = 3 x + x + 3 = x = 3 L = { ; 3} Die Nullstellen sind bei und 3. b) Untersuche die Funkon auf Extrempunkte. Begründe, wieso es sich um ein Maximum beziehungsweise um ein Minimum handeln muss. f (x) = x + 4x + 3 x + 4x + 3 = x = x = 3 f ( 4) = 3 > f ( ) = < f () = 3 > Minimum Maximum, weil gilt: 4 3! 4/6

5 LudwigWilhelmGymnasium c) Gib an, ob das Schaubild von f eine Symmetrie aufweist. Wenn ja: Wo liegt der Spiegelpunkt. f (x) = x + 4 x + 4 = x = ; f ( ) = 3 Die kubische Funktion ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt ( 3). 5 Ableitungen 4 Punkte 5. Bilde die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = x 8 4 ; f (x) = x7 b) f (x) = 3 x = 3 x 6 ; f (x) = 8x 7 = 8 6 x 7 5. Bestimme eine Funktion f mit der folgenden Ableitung f. a) f (x) = 5x 4 7 ; f (x) = x 5 = 7 x 5 b) f (x) = 3 x = 3 x ( ) 3 ; f (x) = x = 6 x 6 Ableitungsfunktion 5 Punkte Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Die Funktion f sei die Ableitungsfunktion dieser Funktion f. a) Gib die Stellen x an, an denen f (x) = ist. x min,7; x max =, 4; x min,7 b) Bestimme f (,6) zeichnerisch und gib den Wert an. f (,6) =,739 ±, c) Zeichne das Schaubild von f in das Koordinatensystem (rechts) ein. (-.6, ) Differentialrechnung 6 Punkte Lippert Dienstag, 7. Juni 7 7. Gegeben ist die Funktion f (x) = 3 x 3 7x. Berechne die Stellen x, an denen das Schaubild von f die Steigung hat. f (x) = x 7 x 7 = x = 9 x = ±3 x = 3; x = 3 Bei 3 und 3 hat diese Funktion die Steigung.! 5/6

6 LudwigWilhelmGymnasium 7. Gegeben ist die ganzrationale Funktion f (x) = (x 3)(x + )(x 3 ). a) Begründe rechnerisch, dass es sich um eine ganzrationale Funktion der Form f (x) = a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a handelt. Ausmultiplizieren ergibt das Polynom: f (x) = x 4 7 x 3 x + 5 x 9 b) Wie lauten die Nullstellen der Funktion? x = 3; x = 3 ; x 3 = c) Welchen Grad hat die Funktion? n = 4 d) Welchen Grad hat die Ableitung dieser Funktion? n = 3 e) Begründe, wie sich die Funktion für sehr große x-werte und wie für sehr kleine x-werte verhält? für x + : f (x) + Die Funktion hat einen geraden Grad und a>, daher geht sie für x : f (x) + beidesmal nach +unendlich (Das Minus geht durch den Exponenten 4 verloren). 8 Trigonometrische Gleichung 7 Punkte Berechne alle Lösungen der Gleichung: x sin(x) sin(x) = ( ) = sinx = x = sin(x) x. x = kπ x = k Z x = ; x = L = kπ ; ; { } k Z Lippert Dienstag, 7. Juni 7! 6/6

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