Unterrichtsprogramm 3. Semester

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1 Unterrichtsprogramm 3. Semester Die Seitenzahlen (fett gedruckt) beziehen sich auf die 6. Auflage des Lehrbuches Kusch Mathematik, Arithmetik und Algebra, Band mit der ISBN , bzw. auf die 3. Auflage des Lehrbuchs Mathematik II, Geometrie für die Berufsmaturität mit der ISBN Administratives. Aufgaben Geometrie vom. Sem. besprechen Zentrische Streckung mit Streckungszentrum Z und Streckungsfaktor k, es gilt s = s k, Eigenschaften (S68) Strahlensätze (S69, S7 B), Winkel- und Verhältnistreue nur für ähnliche Figuren! Teilung einer Strecke (S76), z.b. /3 von 5 Ähnliche Figuren, Strecken, Fläche und Volumen (S7) s = s k A = A k V = V k 3 Eisbär beliebig verkleinern, z.b. mit k =, ergibt Problem mit Wärmeverlust über Oberfläche. Elefant beliebig vergrössern, z.b. mit k =, ergibt Problem mit Tragkraft der Knochen. S79, 4 bis 7, 3, 5, S38 8b S79 3 S83 3 bis 7 Grad- und Bogenmass (S87, Repetition. Sem. B) S97 bis 3 Winkelfunktionen (S90, Repetition B) S98 4 bis 8 Spezielle Werte der Winkelfunktionen (S9, Repetition B) Beweis Höhe h = 3/ s im gleichseitigen Dreieck sowie Diagonale d = s im Quadrat (S33, Repetition. Sem.) S38 4, 6. Aufgaben von Block besprechen Arkusfunktionen als Umkehrf. der Winkelfunktionen (S9) geben immer einen Winkel (Bogen!) zurück (S93 Zeichnung) S99,, 4, 5 Arkusfunktionen, Schreibweise auf dem TR (S9 unten) sin (x) = arcsin(x) = asin (x) aber (sin(x)) = sin(x) cos (x) = arccos(x) = acos (x) aber (cos(x)) = cos(x) d.h. die Zahl - z.b. in sin (x) ist nur ein Symbol für die Umkehrfunktion und kein Exponent einer Potenz, kein Kehrwert wie bei (sin(x)) Arkustangens tan (x) = arctan(x) = atan (x) aber (tan(x)) = tan(x) = cot(x) für den Cotangens! S99 3. Steigungswinkel α und Steigung m = y/ x = tan(α) (S96) S00 6 bis Winkelfunktionen sind nicht linear! (S90 ganz unten) Winkelfunktionen in geometrischen Figuren (S94, B. sowie S95 B.3 und B.4) Winkelfunktionen und Gleichungssysteme S0 6 bis 8 S0 30ad DSt / Seite von 6 UP_Math_Sem3.pdf

2 3.. Test (Geometrie K. bis K.6) Winkelfunktionen im Einheitskreis r = H = (S05) 3. sin(α) = G, cos(α) = A mit P(cos(α) ; sin(α)) und α R Sinus- und Cosinuskurven aus dem Einheitskreis entwickeln, Intervalle, Periodizität (S07 und 6, FS 6.3.3) 4. Tangens am EK mit Tangensträger (S05 und 07) Symmetrien im Einheitskreis (S08, FS 6.3.4), Sinus mit α = π α (Sym. bez. y-achse) Cosinus mit α = α (Sym. bez. x-achse) sin und cos im EK und tan am EK (Repetition) Intervalle und Wertebereiche W (S08, 7) Periodizität und Definitionsbereiche D (S08, 7) S8 aedf S8 3acd, 4abc, 5acd S8 bc, 3b, 4d, 5b S8 S8 bis 5, 7, 8 S38,, 3 Bez. zwischen Winkelfunktionen (S06) S8, 7 Symmetrien im Einheitskreis (Repetition, S08, FS 6.3.4), Sinus mit α = π α und damit sin(α) = sin(π α) Cosinus mit α = α und damit cos(α) = cos( α) S8 S sin(α) = 0.5, Skizze am EK (S9, 07) sin(α) = und sin(α) = cos(α) = 0.5, Skizze am EK (S9, 07) cos(α) = 3 und cos(α) = sin(α) = 0.4 (S9, 07, FS 4.3.6, und 6.3.3) cos(α) = 0.4 (S9,07, FS 4.3.6, und 6.3.3). Test besprechen 5. sin(x) + = 0, Skizze am EK und D (S9, 07, FS 4.3.6) cos(x) = 0.4 und 0 sin(x) = 6 tan(x) = 0, Skizze am EK und D (S9, 07, FS 4.3.6) 0 tan(x) + 8 = 0 Überblick Transformationen (S30, FS 9..9) cos(x), d.h. f (x) cos ( x π ), d.h. f (x + a) (FS 9..) S38 7, 8, 9, 0 cos(x) +, d.h. f (x) + b (FS 9..) cos(x) d.h. d f (x) (FS 9..5) Eine sinnvolle Skalierung (auf einem A4-Blatt quer) ist H, ( ) f (x) = sin x π da = 6 = 3 4, d.h. man kann die Verschiebungen in 3 und x-richtung von π, π 3, π 4 und π f (x) = cos ( x + 6 sehr einfach einzeichnen π ) 6 f (x) = x, g(x) = 4, mit f (x) = g(x) die x-koordinaten der Schnittpunkte der Graphen G( f ) und G(g) berechnen f (x) = cos(x) und g(x) =, mit f (x) = g(x) Max(x n ; ) (Maxima oder Hochpunkte) f (x) = sin(x) und g(x) =, mit f (x) = g(x) Min(x n ; ) (Minima oder Tiefpunkte) f (x) = cos ( x + π ) 3 mit g(x) = 0 liefert NS f =, d.h. f hat keine Nullstellen, mit g(x) = 5 f (x) = cos findet man die Minima Min f = { π + n π ; 5 } g(x) = 3 wobei n Z Streckung bzw. Stauchung in x-richtung durch f (c x), eine Art mathematische Frequenz (S30, FS ( 9..4) ) sin(x), sin(x) (doppelte Freq.) und sin x (halbe Freq.) S39 b f (x) = cos(x) und g(x) = S38 f (x) = sin(x) und g(x) = S38 ( ) x + π 3 und ( ) cos(x), cos(x) und cos x DSt / Seite von 6 UP_Math_Sem3.pdf

3 6. Transformationen (S30, FS 9..9, Rep.) f (x) = cos ( x π ) + Spiegelung an x- oder y-achse (FS 9..7, 9..8) f (x) = cos ( x π ) +, g(x) =, mit f (x) = g(x) die x-koordinaten der Schnittpunkte der Graphen G( f ) und G(g) berechnen S38 7, 8, 9, 0, adg 6. Kongruenzsätze (S8), Sinussatz (S0, B. und B.) S9 0,, 0 Mehrdeutigkeit von Dreiecken (S8 Kommentar), Ssw vs. ssw (eine bzw. zwei Lösungen, Symmetrieformel) S9 0 Cosinussatz (S3) 7.. Test (Geometrie K.6, K.7 und Teile von K.8) Lin. Funk. f (x) = mx + b z.b. f (x) =.5x.5 (Rep.) 7. mit g(x) = 0 und g(x) = die NS bzw. Schnittp. berechnen Quad. Funk. (Rep.) f (x) = a x + b x + c allg. Form f (x) = a (x x ) (x x ) Produktform f (x) = a (x x s ) + y s Scheitelpunkform, quad. Ergänzung 8. Lin. Funk. (S4), umstellen nach y um Steigung m und Steigungswinkel α = tan (m) zu bestimmen f (x) = m x + b allg. Form, Interpolation mit P und P führt zu lin. Gleichungssystem mit Unbekannten f und g selber wählen, zeichnen, Schnittpunkte berechnen und mit App Photomath kontrollieren S9 5, 6, 8a AB vom. Sem. AB vom. Sem. S4 6. bis 6.6 AB vom. Sem. f (x) = m x + b allg. Form, Interpolation mit m und P S4 6.7, Geraden (m g = m f ) und (m g = /m f ) (S?) AB vom. Sem. f (x) = m f x + b f und g(x) = m g x + b g Interpolation mit P G(g) und g f bzw. g f AB vom. Sem.. Test besprechen 9. Interpolation lin. Funktionen (Rep.) f (x) = a x + b x + c allg. Form, Interpolation mit P, P und P 3 führt zu lin. Gleichungssystem mit 3 Unbekannten f (x) = a x + c Sonderform, Interpolation mit P und P, Graph symmetrisch zur y-achse f (x) = a x + b x Sonderform, Interpolation mit P und P, eine Nullstelle im Ursprung f (x) = a x Sonderform, Interpolation mit P, Scheitelpunkt im Ursprung, Graph symmetrisch zur y-achse f (x) = a (x x 9. s ) + y s Scheitelpunktform, Interpolation mit Scheitelpunkt S(x s ; y s ) und Punkt P f (x) = a (x x ) (x x ) Produktform, Interpolation mit Nullstellen x und x sowie Punkt P 0. Interpolation lin. und quad. Funktionen (Rep.) Schnittpunkte von zwei Graphen (S8, 6.7a) AB vom. Sem. AB vom. Sem. AB vom. Sem. S6 6.3, AB vom. Sem. S6 6.6, AB vom. Sem. AB vom. Sem. S8 6.7cde und 6.8acd Berührungspunkt von zwei Graphen (S8, 6.8b) S8 6.7b und 6.8e Was bedeutet f (x) g(x)? (S8, 6.9a) Lösungsmenge L in der aufzählenden Form (6.7, 6.8) oder in der Intervallschreibweise (6.9, 6.0) S8 6.9bcde 0. Was bedeutet f (x) > g(x)? (S8, 6.0a) S8 6.0bcde Anzahl Nullstellen von quad. Funk. (S8, 6.a) S8 6. und 6. DSt / Seite 3 von 6 UP_Math_Sem3.pdf

4 . Schnitt- und Berührungspunkte von Graphen (Rep.) Gebrochenlineare Funktionen (S30, FS 8.8) mit der Grundfunktion f (x) = x = /x (FS 8.3.) Zähler Z(x) = a x + b = 0 setzen liefert keine (6.3a) oder genau eine (6.3b) Nullstelle bei x n = b/a x = 0 setzen, d.h. f (0) bilden, liefert genau einen (6.3a) oder keinen (6.3b) Schnittpunkt mit der y-achse Nenner N(x) = c x + d = 0 setzen liefert immer genau eine Polstelle bei x p = d/c und damit den Definitionsbereich D = R \ { d/c} S30 6.3cde, 6.4 S30 6.3cde, 6.4 Polynomdivision liefert die konstante Asymptote a(x) = c S30 6.3cde, 6.4 Kostenfunktion K(x) = x und Kostenfunktion pro Stück K(x) x = 000 x + 0 als Anwendung. Was bedeutet f (x)? (S30, 6.5a) S30 6.5bcde Was bedeutet < f (x) <? (S30) S Schnittpunkte von Hyperbeln und Geraden (S30) S30 6.7, 6.8. Gebrochenlineare Funktionen (Rep.) Potenzfunktionen f (x) = x n (S3, FS 8.3), es gilt Nullstelle(n) mit f (x) = 0 und y-achsenabschnitt mit f (0) Polynomfunktionen f (x) = x n mit n {, 3, 4,...} und D = R (S3, FS 8.3.). f (x) = (x )3 f (x) = a(x x s ) n + y s mit Scheitelpunkt S(x s ; x s ) S3 6.9c f (x) = a(x x w ) n + y w mit Wendepunkt W(x w ; x w ) S3 6.9abde Transformationen (FS 9.) insbesondere Überblick (FS 9..9) Verschiebung in x-richtung (FS 9.., 9..4 und 9..6) f (x) = 6 ( x 3)5 = 6 ( 5 x 3 ) 5 ( ) = x 3 5 f (x) = 4 (0.5 x ) 3 Wurzelfunktionen f (x) = x n mit n {/, /3,...} und D = R + f (x) = o bzw. D = R (S3, FS 8.3.3) 3 x f (x) = a n x x s + y s mit Startpunkt S(x s ; x s ) S3 6.30ac f (x) = a n x x w + y w mit Wendepunkt W(x w ; x w ) S3 6.30bde Verschiebung in x-richtung (FS 9.., 9..4 und 9..6) f (x) = 4 6 x 4 = x 4 x = Polynom- und Wurzelfunktionen, Transformationen (Rep.) Einfachste Betragsfunktion f (x) = x (FS 8.) f (x) = x + 3 und f (x) = x 3 Betragsf. f (x) = g(x) mit innerer Funk. g(x) (S3) f (x) = x 4 und f (x) = 0.5 (x 3) f (x) = 3 8 x + 4 f (x) = 3 8 x 3. x + = 4 Betragsgl. rechn. und graph. lösen (FS 4.3.3) S3 6.34ab x + = x Betragsgl. graph. lösen S3 6.34c x + = x Betragsgl. graph. lösen S3 6.34d 0.5 x < Betragsungl. graph. lösen S3 6.34e f (x) = x f (x) = x + f (x) = 0.5 (x + 3) 8 f (x) = 0.5 (x + ) DSt / Seite 4 von 6 UP_Math_Sem3.pdf

5 4. Betragsfunktionen und -gleichungen (Rep.) x + = x mittels Fallunterscheidung lösen (S3) nicht prüfungsrelevant x + = x mit ± lösen (FS 4.3.3) nicht prüfungsrelevant x + = x graph. lösen S3 6.35abce Kubische Funktionen f (x) = ax 3 + bx + cx + d (FS 8.5) haben min. eine und max. drei Nullstellen und es gilt f (0) = d 4. f (x) = x 3 + x + 6 x = x(x + )(x 3) = 0 Gesucht ist eine Polynomfunktion vom Grad 3 mit den Nullstellen x, = ± und x 3 = und durch P(4 ; 5) verlaufend Polynomfunktionen f (x) = a n x n a x + a 0 (S34, FS 8.6) mit ungeradem Grad n haben min. eine und max. n Nullstellen AB 7. und 7.6 f (x) = 4 x 3 8 x 0 x + 4 = 4(x )(x + )(x 3) = 0 Polynomfunktionen f (x) = a n x n a x + a 0 mit geradem Grad n haben keine bis max. n Nullstelle(n) AB 7. und 7.6 f (x) = x 4 3x 4 = (x + )(x + )(x ) = 0 Polynomf. f (x) = a n x n a x + a 0 haben immer die Asymptote a(x) = a n x n AB 7.4 (FS 8.6.5) und es gilt f (0) = a 0 5. Anzahl Nullstellen von Polynomf. f (x) = a n x n a 0 AB 7. und S Art von Nullstellen, d.h. mit oder ohne VZW (FS 8.6.3,??) f (x) = (x + )(x 3) hat zwei NS mit VZW (einfache NS), f (x) = (x + ) hat eine NS ohne VZW (mehrfache NS), AB 7.3 und 7.6 f (x) = (x ) 3 hat eine NS mit VZW (mehrfache NS) 5. Nähere Umgebung von NS, f (x) = x(x + )(x 3) = 0 f (x) = ( )(x + )( 3) = 0(x + ) für x = f 0 (x) = x(0 + )(0 3) = 6 x für x = 0 AB 7.5 und 7.6, A bis A4 f 3 (x) = 3(3 + )(x 3) = 5(x 3) für x 3 = 3 Nähere Umgebung von NS, f (x) = (x )(x + 3) = 0 f (x) = (x )( + 3) = 6(x ) für x = AB 7.5 und 7.6, A5 und A6 f 3 (x) = ( 3 )(x + 3) = 4(x + 3) für x = 3 Gesucht ist eine Polynomfunktion vom Grad 6 mit den Nullstellen x = 0 und x =.5 (je mit VZW) sowie x 3 =.5 (ohne VZW) f (x) = a x (x.5) (x +.5) (Grad 4 Problem) Mögliche Lösungen sind: f (x) = a x 3 (x.5) (x +.5) mit x als dreifache NS f (x) = a x (x.5) 3 (x +.5) mit x als dreifache NS f (x) = a x (x.5) (x +.5) 4 mit x 3 als vierfache NS oder mit einem zusätzlichen Faktor grösser Null: f (x) = a x (x.5) (x +.5) (x + b) mit b R + S Repetition diverser Themen für den nächsten Test DSt / Seite 5 von 6 UP_Math_Sem3.pdf

6 6. Gebrochenlineare F. (S30, FS 8.8) als Spezialfall von gebrochenrationalen F. (S36, FS 8.7), f (x) = (x )/(x + ) S Polynomdivision liefert bei gebrochenrationalen F. wegen f (x) = a(x) + d(x) d(x) = f (x) a(x) den Abstand S d(x) zwischen der Funktion f und der Asymptote a (FS 8.8) f (x) = (0.5 x + 3 x + 4)/(x ) liefert a(x) = 0.5 x + 3.5, f (0) = 4, f (x) = 0.5 (x + 4)(x + )/(x ), D = R \ {} und x d( ) = 0 + sowie x d( ) = 0 f (x) = ( x + 8 x )/(x + ) liefert a(x) = x + 0, f (0) = 6, f (x) = (x 6)(x )/(x + ), D = R \ { } und x d( ) = 0 sowie x d( ) = 0 + f (x) = (0.5 x x 4)/(x ) liefert a(x) = 0.5 x, f (0) =, f (x) = 0.5 (x + )(x 4)/(x ), D = R \ {} und x d( ) = 0 sowie x d( ) = 0 + Andere Form des Graphen, da die PS zwischen den NS liegt! 6. Nullstellen mit/ohne VZW (FS und 8.6.4) g(x) = x 3, f (x) = (x + 3) Polstellen mit/ohne VZW (FS 8.7. und 8.7.3) g(x) = x 3, f (x) = (x+3) Beispielfunktion diskutieren (S37), (x + ) in Z(x) generiert keine NS, (x ) in N(x) generiert eine PS ohne VZW, Polynomdiv. liefert a(x) = /3 und (vereinfacht!) S36 und AB 9. d(x) /x, d.h. x d( ) = 0 sowie x d( ) = 0 + Repetition diverser Themen für den nächsten Test 7. Kurvendiskussion gebrochenrationaler F. (S37, FS 8.7) S36 und AB Trigonometrische Funk. (S46, FS 8.) S46 Exponentialfunktionen (S56, FS 8.9) S56 8. Kurvendiskussion gebrochenrationaler F. (S37, FS 8.7) S36 und AB Logarithmische Funktionen (S58, FS 8.9) S58 9. (S) S (S) 9. (S) S (S) S S DSt / Seite 6 von 6 UP_Math_Sem3.pdf