2.1) Aufgrund der geraden Symetrie verschwinden alle Sinuskoeffizienten, also U b 1s;n = 0 für

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1 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV Aufgabe : 0 Punkte.) Aufgrund der geraden Symetrie verchwinden alle Sinukoefienten, alo U b ;n 0 für alle n IN (0,5 P).) Der Gleichanteil berechnet ich nach Denition u: bu c;0 Z 4 0 Z u (t) dt 6 ß t +co t dt ß ß in + ß Z 4 6 ß jtj +co t ß t 4» t + ß in + ß 4 t 4 0 dt (,0 P).) Der Effektivwert ergibt ich er Denition u: U ;eff q Z [u (t)] dt 4 4 Z 4 4 dt (,5 P).4) Wegen der ungeraden Symmetrie verchwinden alle Coinukoefienten, alo b U c;n 0 für alle n IN. Der Sinukoefient b U ;0 it er Denition 0. Für die weiteren Sinukoefienten gilt Z 4 bu ;n () in 0 co n ß nß n ß t dt 4» ßn co n ß 4 t 0 Alternativ laen ich die Sinukoefienten mit Hilfe einer Falluntercheidung noch einfacher audrücken: >< n k + nß bu ;n 0 n 4k >: 4 nß n 4k + (,0 P)

2 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV ) Per Denition ergeben ich au den reellen Fourierkoefienten unmittelbar die komlexen Fourierkoefienten ^U >< c;n j ^U ;n j nß co n ß n > 0 c ;n ^U c;n + j ^U ;n j nß co n ß n < 0 >: ^U c;0 0 n 0 (,5 P).6) Die Funktion u 4 (t) it al Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ebenfall ungerade. Dehalb gilt U b 4c;0 0. Die Periodendauer von u (t) beträgt ein Viertel der von u (t). Der Nulldurchgang eine linearen Abchnitte von u (t) it ymmetrich um Mittelunkt eine kontanten Abchnitte von u (t), o daß ich jeder kontante Abchnitt von u (t) unter Einfluß von u (t) aufhebt. Dehalb gilt ebenfall U b 5c;0 0. (,5 P)

3 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV Aufgabe 4: 0 Punkte 4.) Eratchaltbilder ur Betimmung der Übertragungfunktion: R L u(t) C u (t) c Abbildung 4.: Eratchaltbild de Netwerke für i (t) 0 U c () U () i0 C L + R + C j + R L j mit ff> R L L i(t) R C u (t) c U c () I () u0 Abbildung 4.: Eratchaltbild de Netwerke für u (t) 0 R R Stromteiler } R R + L + C C R j R L + + j R R mit ff> 9 R L (,0 P) 4.) Lalace-ranformation: u (t) U 0 f (t) c U () U o für alle ff i (t) U 0 R f (t ) c I () U 0 R e für alle ff (,0 P)

4 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV ) Die Lalace-ranformierte U c () der Augangannung u c (t) lautet: U c () U () U e I () R + + mit ff> 9 4.4) Die Augangannung u c (t) lautet: (,5 P) U c () U e c u c (t) U 0 " " (t) e t in ψ t! ψ + " (t ) e!# (t ) in (t ) 4.5) Skie der Augangannung u c (t) im Bereich 0» t» : (,0 P), U ^ U^ u c(t) 0, U ^ -0,U ^ 0,45,45 t -U^ -,U ^ Abbildung 4.: Skie der Augangannung u c (t) In der Abbildung it die Kontante betimmt durch: ^U U 0 Die Kreifrequen dabei beträgt! 0. Die weite Quelle wird bei! 0 ß ß ugechaltet. Die angente der Exonentialfunktion it betimmt über ß 0; 450 bw. ; 44, die Augangannung fällt über eine Periode auf e e ;44 0; 045 und über wei Perioden auf e e 4;44 0; 076 ab. (,5 P)

5 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV Aufgabe 6: 0 Punkte 6.) Durch da Erweitern von F () ergibt ich: F () (a b) 4a b ( +)( 4) (a b) 4a+b ab ( +)( 4) mit den Poltellen ;, ; 4und der Nulltelle 0 4a+b ab (a+b) ab (,5 P) 6.) Für eine Polaufhebung muß die Nulltelle gleich einer der Poltellen ein. :) 0 (a+b) ab :) 0 (a+b) ab! ) a 0! 4 ) b 0 Diee Ergebnie tehen jedoch im Widerruch u der Forderung b>a>0. Daher kann e u keiner Polaufhebung kommen. (,5 P) 6.) Da Konvergengebiet muß ein einfach uammenhängende Gebiet ein, da keine Poltellen enthält. Die drei Bereiche ind: :) ff < ) f (t) it eine linkeitige Zeitfunktion :) <ff<4 ) f (t) it eine beideitige Zeitfunktion :) 4 <ff ) f (t) it eine rechteitige Zeitfunktion (,5 P) 6.4) E muß da Konvergengebiet < ff < 4 gewählt werden. Die Rücktranformierte it eine beideitige Zeitfunktion. F () a + b 4 c f (t) a"(t) e t + b"(t) e 4t (,0 P)

6 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV ) Skie der Funktion f (t): (,5 P) f(t) b b>a>0 a -/4 / t Abbildung 6.: Skie der Funktion f (t) 6.6) E ergibt ich unter der Annahme b a: 4a+4a aa F () a ( +)( 4) ( +)( 4) H () ( ++j)( + j) U () F () H () a + a ( +)( 4) ( +)( 4) Λ ( +) +4 + ( +) +4 Λ mit <ff<4 mit ff>0 mit ff>0 E entteht eine doelte Polaufhebung. (,0 P)

7 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV Aufgabe :.) Die Steilheit Y () I L() U e() berechnet ich.b. au: 0 Punkte () U e () +U () +U 4 () 0, U () U e () U 4 () () U e () +U () +I L () R L 0 ) U 4 () I L () R L () U () U () 0 ) U () U () (4) U() Z() (5) I L () U () Z() + U () Z() U4() ) U Z4() () U 4 () Z () U Z4() () Durch eineten von () und (4) in (5) ergibt ich: I L () Ue()U 4() Z() (): + U 4 () I L () U e () I L () R L Z () + I L () R L Z () Z () Z 4 () ) Ue() I Z() L () + R L Z R L Z () () Z () Z 4 () U e () ) I L () Z() Z() Z () +R L R L Z() Z4() ) Y () Z () +R L Z () Z() Z() Z4() Z() mit Z() Z4().) Damit der Lattrom i L (t) unabhängig vom Latwidertand R L it, muß gelten: Y () Z() (4,0 P) Dafür muß die Bedingung Z () Z () Z () Z 4 () erfüllt ein. E handelt ich dann um eine annunggeteuerte Kontanttromquelle. (,0 P).) Y () R L + mit R L C RC (,0 P) Y /R L 0 j -/ Abbildung.: Pol-Nulltellen-Diagramm von Y ()

8 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV ) Die Eingangimedan Z e () berechnet ich au: Z e () U e () I e () I e () C + I L () R L I e () mit I L () Y () U e () Y () Z e () I e () u Z e () I e () C + Y () Z e () I e () R L. Darau folgt mit Y () Z e () C + R L C + C R R R L C RC R L + R L C RC RR L R R L + I e () die Eingangimedan: R L C RC (,0 P).5) Der Lattrom i L (t) berechnet ich für b > 0 und R L R au: t u e (t) U 0 rect c Ue () U o e b e b b U I L () Y () U e () 0 e b e b R + RC U 0 e b e b R + RC c i L (t) R U 0 " t + b b t+ e " t b e t b mit RC (,0 P)

9 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV Aufgabe 0: 0 Punkte 0.) Die gechloene Form lautet: fh n g Φ " n (0; 5) nψ c H () +0; 5 +0; 5 (,0 P) 0.) Eine mögliche Imlementierung ergibt ich durch: H () G () S () +0; 5 ) G ()( +0; 5) S () ) G () S () 0; 5 G () c fg n g f n 0; 5 g ng { } n - + {g } n - -0,5 Abbildung 0.: Realiierung de Netwerke H (,0 P) 0.) Der Betraggang ergibt ich u: H e j! r e jß!! +0; 5 + co ß!! +0; 5 r co ß! +0; 5 +in ß!! r ; 5+co ß!!!

10 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV j H (e ) / -/ / / Abbildung 0.: Skie de Betraggange H e j! Da Maximum und da Minimum de Betraggange j! H e ind der Abb. 0. u entnehmen: max j! H e min j! H e (,0 P) 0.4) Eingangfolge: f n g f" n " ng c S () ( ) Darau ergibt ich durch G () S () H () am Augang: G () +0; 5 ( ) und mit Polynomdiviion ( ) ( +0; 5) G () + + ( +0; 5) G 0 jy j / -/ () x -j / Abbildung 0.: Pol-Nulltellen-Diagramm von G () (,0 P)

11 Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV ) Da Ergebni erhält man durch eine Umkehrung der Rechenrichtung: G() H () F () ) F () G () H () +0;5 ( +0; 5) ) F ()( ) +0; 5 c ff n Φ f ng f n+ + f n )ff n g Φ Ψ f n+ + f n + f n darau laen ich die Folgewerte ableen. Ψ Alternativer Löungweg: ) F () G () H () ) F () + +0;5 ( +0; 5) c ff n g Φ " n+ + " n darau laen ich ebenfall die Folgewerte ableen u: Ψ n f n 0,5,5,5 (,0 P) 0.6) Für die Übertragungfunktion F () gilt: a) linear ja b) eitinvariant ja c) kaual nein d) realiierbar nein, da nicht kaual (Punkt c) (,0 P)