Automation-Letter Nr Prof. Dr. S. Zacher. Formelsammlung
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- Richard Martin
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1 Automtion-Letter Nr Prof. Dr. S. Zcher Formelmmlung Eine weitere wichtige Größe de Regelkreie it Dämfung S. Zcher, M. Reuter: Regelungtechnik für Ingenieure, Seite 65, Sringer Vieweg Verlg, 4. Auflge, Coyright S. Zcher
2 Abtrct, Urheberrecht- und Hftunghinwei Der Dämfunggrd (kurz: die Dämfung) it ein Regelgüte-Kriterium eine Regelkreie. Die nderen Regelgütekriterien ind: Auregelzeit Anregelzeit Mximle Überchwingweite (kurz: Überchwingung) Bleibende Regeldifferenz bzw. tticher Fehler Nchfolgend wird gezeigt, wie die Dämfung u verchiedenen Formen der mthemichen Bechreibung eine dynmichen Sytem betimmt werden knn. E werden die Zummenhänge zwichen Dämfung und Srungntwort, zwichen Dämfung und Poltellen owie zwichen Dämfung und Koeffizienten de chrkteritichen Polynom de gechloenen Regelkreie gezeigt. Die Berechnung von Dämfung wird nhnd drei Beiielen verdeutlicht. Abchließend wird m Beiiel einer PC-Fetltte gezeigt, wie die Übertrgungfunktion, die Dämfung und die Srungntwort nch der gegebenen Differentilgleichung betimmt und mit MALAB imuliert werden. Die vorliegende Formelmmlung it l Hilfe beim Regelungtechnik-Studium konziiert. Dmit knn mn einfch und chnell die Dämfung direkt u einem chrkteritichen Polynom ermitteln. Die vorliegende Publiktion unterliegt der Urheberrecht. Alle Rechte ind bei Dr, S. Zcher vorbehlten. All right re by the uthor, Dr. S. Zcher, reerved. Die Weiterentwicklung oder Nutzung der Publiktion ohne Referenz uf Urheber it nicht zugelen. No ue of thi ubliction without reference on the uthor. Für die Anwendung der vorliegenden Publiktion in der Indutrie, im Lborbetrieb und in nderen rktichen Fällen owie für eventuelle Schäden, die u unvolltändigen oder fehlerhften Angben über d dynmiche Syteme ergeben können, übernimmt der Autor keine Hftung. For the rcticl ue of the reult of thi ubliction tke the uthor no reonibility. 5 Coyright S. Zcher
3 I N H A L. Logrithmiche Dekrement Seite 3. Logrithmiche Dekrement und Dämfung.Seite 4 3. Übertrgungfunktion..Seite 6 4. Eigenfrequenz und Dämfung..Seite 7 5. Poltellen, Eigenfrequenz und Dämfung..Seite 9 6. Übergngverhlten Seite 7. Poltellen, Übergngverhlten und Dämfung.Seite 8. Dämfung und chrkteritiche Polynom.Seite 9. Chrkteritiche Polynome Seite 3. Zummenfung: chrkteritiche Polynome, Dämfung und Poltellen Seite 4 6 Beiiel..Seite Beiiel..Seite Beiiel..Seite 7 Beiiel Fetltte.Seite Coyright S. Zcher 3
4 . Logrithmiche Dekrement Eine eriodiche Schwingung knn durch d logrithmiche Dekrement chrkteriiert werden, nämlich, durch d Verhlten zwichen zwei ncheinnder folgenden Amlituden X(t) und X(t+): X ( t) X ( t ) e e ln X ( t) X ( t ) e e e it die Abklingkontnte Wenn xk und xk+n die mximle und die minimle Amlituden einer Schwingung ind und n die Anzhl der Hlbwellen it, dnn gilt die folgende Formel für logrithmiche Dekrement: n x ln x k k n -4 Coyright S. Zcher 4
5 . Logrithmicher Dekrement und Dämfung Bei beknntem zeitlichen Verluf knn eine Schwingung durch eine ndere Größe chrkteriiert werden, nämlich, durch die Dämfung, die u dem logrithmichen Dekrement ermittelt werden knn: n x ln x k k n 4 Setzt mn in diee Formel den Wert de logrithmichen Dekrement ein dnn ergibt ich die Beziehung zwichen der Dämfung und der Anzhl der Hlbwellen n: X ( t) ln X ( t ) x ln x k k n -4 Coyright S. Zcher 5 n gilt nur für < <,5
6 3. Übertrgungfunktion Für Entwurf eine Regelkreie it die Betimmung der Dämfung u der Differentilgleichung oder Übertrgungfunktion beonder wichtig. Die Übertrgungfunktion eine nichtchwingungfähige Sytem. Ordnung knn wie folgt überchrieben werden: In llgemeiner Form gilt für nichtchwingungfähige owie für chwingungfähige Syteme. Ordnung: G S ( ) K P -4 Coyright S. Zcher 6
7 -4 Coyright S. Zcher 7 Beiiel: 4. Eigenfrequenz und Dämfung,, Eigenfrequenz: Dämfung: Chrkteritiche Gleichung:, j, e e j, e it Abklingkontnte e it Eigenfrequenz
8 4. Eigenfrequenz und Dämfung Beiiel: Abhängig von Dämfunggrd len ich folgende Fälle untercheiden: negtiv reell eriodich negtiv reell eriodicher Grenzfll Konjugiert mit negtiven Reellteilen bklingende Schwingung imginär ungedämfte Schwingung -4 Coyright S. Zcher 8
9 5. Poltellen, Eigenfrequenz und Dämfung Au dem Zummenhng zwichen Koeffizienten de chrkteritichen Polynom und Poltellen, j folgt:, j mit tg R ( ) ( ) tg Im 45 tg R Im 9 tg Im R Re Re Re -4 Coyright S. Zcher 9
10 6. Übergngverhlten D Übergngverhlten eine Sytem. Ordnung in llgemeiner Form G S ( ) K hängt entcheidend von einen Poltellen b: PS, 4 Die Poltellen können reell, imginär oder komlex konjugiert ein. Wichtig für d Übergngverhlten eine Sytem. Ordnung it uch, ob die Relteile von Polen oitiv oder negtiv ind: Bei oitiven reellen eilen Re > it d Sytem intbil, Bei negtiven reellen eilen Re< it d Sytem tbil Coyright S. Zcher
11 7. Poltellen, Übergngverhlten und Dämfung Die Dämfung zeigt, wie ich die Amlituden von zwei ncheinnder folgenden Hlbwellen untercheiden. ufklingende Schwingung ungedämfte Schwingung Gedämfte Schwingung Aeriodicher Grenzfll Aeriodicher Fll < = < = > x(t) x(t) x(t) x(t) x(t) t t t t t Im Im Im Im Im Re Re Re Re Re Zwei komlexe Pole mit Re> ufklingende Schwingung Zwei imginäre Pole mit Re= ungedämfte Schwingung Zwei komlexe Pole mit Re< Gedämfte Schwingung Zwei gleiche reelle Pole mit Re< Aeriodicher Grenzfll Zwei reelle Pole mit Re< Aeriodicher Fll -4 Coyright S. Zcher
12 -4 Coyright S. Zcher 8. Dämfung und chrkteritiche Polynom Für d chrkteritiche Polynom in llgemeiner Form, 4 mit Poltellen knn die Dämfung nch der folgenden Formel betimmt werden:
13 -4 Coyright S. Zcher 3 9. Chrkteritiche Polynome Beknnt ind verchiedene Formen de chrkteritichen Polynom:
14 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome Zummenfung: chrkteritiche Polynome, Dämfung und Poltellen c,, c,, ), c (,,, c, -4 Coyright S. Zcher 4
15 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome Beiiel: 6 c , c , 6 j, c,3,3 3 9, j, 6,, j c 3 9, 6 j, -4 Coyright S. Zcher 5
16 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome Beiiel: 8 9 c , 4 6 c 9, , c, 4 6 5, ( ), gilt für gilt für gilt für, 4 7, c j , ( ) 4 7,, Coyright S. Zcher 6
17 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome 8 4 Beiiel: 4 8 8, ( ) c 4 8 j,, ( ) c 4 8 j, -4 Coyright S. Zcher 7
18 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome Beiiel: Fetltte Eine PC-Fetltte wird mit der folgenden DGL bechrieben: x( t) x ( t) x( t) b y( t) Y wobei ind: =, =,4 = b =,5. ) Betimmen Sie die Übertrgungfunktion der Regeltrecke. b) Wie groß it der Dämfunggrd der Regeltrecke? c) Betimmen Sie die Srungntwort x(t) der Regeltrecke, wenn die Stellgröße y(t) runghft um yˆ geändert wird. X Simulieren Sie die Strecke mit MALAB und rüfen Sie die Löung! -4 Coyright S. Zcher 8
19 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome ) Übertrgungfunktion x( t) x ( t) x( t) b y( t ) Beiiel: Fetltte ( ) b x t ( ) ( ) x t x t y( t),,,4 b,5,4, 5, x( t),4 x ( t) x( t),5 y( t) G S ( ),,5, Coyright S. Zcher 9
20 -4 Coyright S. Zcher,4,,5 ) ( S G b) Dämfunggrd ) ( PS S K G,4,,4,,6 3,6 - Beiiel: Fetltte. Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome
21 . Dämfung-Formel für verchiedene chrkteritiche Polynome Beiiel: Fetltte c) Srungntwort MALAB-Skrit: G = tf (.5, [.,.4, ]); % b =,5; =,; % =,4; = ; t = :.:.; % von t = bi t = mit t =. = t'; x = te (G, ); lot (, x, k ); grid; - 3,6,6 d d d ec 3,4,ec 3,6,6 3, Coyright S. Zcher
Eine weitere wichtige Größe ist Dämpfung
Automtion-Letter Nr. Prof. Dr. S. Zcher Eine weitere wichtige Größe it Dämfung S. Zcher, M. Reuter: Regelungtechnik für Ingenieure, Seite 65, Sringer Vieweg Verlg, 4. Auflge, 4 www.zcher-utomtion.de -5
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