Wachstum und Entwicklung

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1 Wchstum und Entwicklung Sommersemester 28 Institut für Genossenschftswesen im Centrum für Angewndte Wirtschftsforschung Universität Münster 1 Gliederung.) Gliederung, Mthemtische Vorbemerkungen 1.) Wchstumstheoretische Grundbegriffe und Grundlgen 2.) Postkeynesinische Wchstumstheorie 3.) Neoklssische Wchstumstheorie 4.) Neue Wchstumtheorie Welche Rolle spielt der technische Fortschritt? Exkurs: Innovtionsökonomik 5.) Wchstum bei beschränkten Ressourcen 6.) Der Einfluss von Institutionen uf ds Wchstum 7.) Rentenversicherungssysteme und Wchstum 8.) Ungleichheit und Wchstum 2 1

2 Litertur Meyer, Müller-Siebers, Ströbele: Wchstumstheorie (2.Auflge) Frenkel, Hemmer: Grundlgen der Wchstumstheorie (mehr Text) Brro, Sl-i-Mrtin: Economic Growth (Stndrdwerk) Weitere Litertur wird bei Bedrf zu einzelnen Kpiteln bereitgestellt. Dten finden sich unter: pwt.econ.upenn.edu/ (Penn World Tbles) Folien werden eingestellt unter: 3 Dten Die Dtenquelle für Wchstumsnlysen sind die Penn World Tbles von Summers/Heston/ten: pwt.econ.upenn.edu/ 4 2

3 Ws ist Wchstum? Abgrenzung zur Konjunktur ) Lndläufiger Sprchgebruch: Wchstum = jährliche Zuwchsrte des Sozilproduktes Konjunktur = Phänomen zyklisch zu- bzw. bnehmender Zuwchsrten des Sozilproduktes lny b) Wissenschftlicher Sprchgebruch I: 5 Wchstum = trendmäßiger Zuwchs des Sozilproduktes Konjunktur = zyklische Schwnkungen des Sozilproduktes um einen mittelfristigen Trend c) Wissenschftlicher Sprchgebruch II: Wchstum = Zuwchs des gesmtwirtschftlichen Produktionspotentils (Produktionskpzität) Konjunktur = zyklische Schwnkungen im Auslstungsgrd des Produktionspotentils lny Trend t PP t Wrum Wchstum? Vollbeschäftigung Einkommensverteilung Höherer Wohlstnd Aber: Ist Wchstum uch immer wünschbr? Negtive Effekte (Umweltverschmutzung, ) Zentrle Frgen: Ist duerhftes, nchhltiges Wchstum möglich? Unter welchen Bedingungen ist duerhftes Wchstum möglich? Ws versteht mn nun unter einem Gleichgewicht? 6 3

4 Wchstumstheoretische Modelle I Rückkopplung K Y C L 7 Elemente, die Wchstum beeinflussen 1. Bevölkerungsentwicklung, Arbeitsngebot 2. Kpitlstock 3. Wissen, Humnkpitl 4. Technischer Fortschritt 5. Ntürliche Ressourcen us begrenzten Beständen 6. Regenerierbre ntürliche Ressourcen 7. Umweltqulität 8 4

5 Elemente, die Wchstum beeinflussen durchschnittliche Arbeitszeit Nettoinvestitionen Freizeit F Kpitl K Bevölkerung Arbeitseinstz L Produktionsfunktion Nutzenfunktion Sonnenenergie Y = F (K, L, R, Z) Konsum C U = U (C, F, V) &S= R ntürliche Ressource R &N regenerierbre ntürliche Ressource Z mx * Z N * N Umweltqulität V Umwelt Umweltqulität V 9 Selbstreinigung der Umwelt Modellierung von Dynmiken llgemein Diskret xt + 1 = 2 xt + 5 x t + 1 = f(x,t) t Kontinuierlich dx x & = = 2 x + 5 dt dx llgemein x & = = f(x(t),t) dt Lösung: x t = ϕ(t) Lösung: x(t) = ψ(t) Sehr nschulich, ber keine Lösungstheorie Weitere Nutzung in Excel oder nspruchsvollen Computer- Modellen möglich 1 Gute Lösungstheorie durch Integrtion Bedingt nschulich Computernutzung nur ls Approximtion oder nch Reformulierung möglich 5

6 Wchstum Diskret vs. kontinuierlich Anlge: 1., Zinsstz: i = 5 % p.. Nch einem Jhr: 1. (1+,5)=1.5 Bei montlicher Verzinsung: 1. (1+,5/12) 12 =1.51,16 Bei stündlicher Verzinsung: 1. (1+,5/876) 876 =1.51,27 Allgemein (m Teilperioden): 1. (1+,5/m) m Mn knn zeigen, dss gilt: m m 1 i i lim 1 + = e = 2, bzw. lim 1 + = e m m m m Dnn ergibt sich bei kontinuierlicher Verzinsung: 1. e,5 =1.51,27196 Also erhält mn eine effektive (kontinuierliche) Verzinsung von 5,127 % p.. 11 Wchstum: Diskret vs. kontinuierlich Umgekehrt knn mn frgen: Wie muss der kontinuierliche Zinsstz r ussehen, dmit er uf dieselbe Verzinsung wie bei per nnum Zins von i führt? Es ist: e r = (1+ i) r = ln(1+ i) Für eine Jhresverzinsung von 5 % bedeutet ds lso: r = ln(1+,5) = 4,879...% Geht mn lso von einer diskreten Verzinsung von 5 % uf eine Kontinuierliche Verzinsung über, so beträgt der Zinsstz etw 4,879 %. 12 6

7 Ws sind Differentilgleichungen? Bisher: x 2 4 = Ergebnis wren Punkte, reelle Zhlen. Jetzt: x &(t) = x(t) Ergebnis werden Funktionen sein. Frge: Wie knn mn diese Funktionen finden? 13 Ws sind Differentilgleichungen? n Definition: Sei D IR IR und f : D IRstetig dnn heißt n ( n 1) ( t, x, x&, x&&,&&& x,..., x ) d x ( n) = x = f n dt eine Differentilgleichung n-ter Ordnung. Die Lösung einer Differentilgleichung n-ter Ordnung ist eine Funktion ϕ : D IR, für die gilt ( n) ( n 1) ϕ = f t, ϕ, & ϕ, & ϕ,..., ϕ ( ) 14 7

8 Ws sind Differentilgleichungen? Beispiel: dx 1 x & = = t = f(t) dt 2 f(t) 2 1 t3r 2 = 1 Durch die Differentilgleichung wird immer nur eine Kurvenschr bestimmt. Erst durch eine Strtoder Endbedingung wird us dieser Schr eine Kurve Herusgegriffen t Allgemeine Lösungsmethoden Trennung der Vriblen Stz: Lässt sich die Differentilgleichung x & = f(x,t) uf die Form g (x) x& = h(t) g (x)dx = h(t) dt bringen, so ist die Lösung der Differentilgleichung g (x)dx = h(t) dt G (x) = H(t) + C Kurz: Alle x nch links, lle t nch rechts! 16 8

9 Aufgbe 1. Lösen Sie folgende Differentilgleichung dx x& = = x (1 2t) dt 2. Der Kpitlstock wchse mit der Rte w. Dieses ergibt folgende Differentilgleichung: K& = w K Wie lutet ihre Lösung? 17 Allgemeine Lösungsmethoden Trennung der Vriblen Mögliche Probleme des Verfhrens: die Vriblen lssen sich nicht trennen die getrennten Vriblen lssen sich nicht integrieren die integrierte Lösung lässt sich nicht geeignet nch x(t) uflösen 18 9

10 Linere Differentilgleichungen mit konstnten Koeffizienten Definition: Eine linere Differentilgleichung n-ter Ordnung mit konstnten Koeffizienten ht die Form: (n) x(t) + x(t) & 1 + & 2x(t) nx = g(t) Eine solche Differentilgleichung heißt homogen, wenn g(t) ist. Umgekehrt heißt sie für g(t) inhomogen. 19 Linere Differentilgleichungen Lösungsschem Gegeben sei eine Differentilgleichung 1.Ordnung mit konstnten Koeffizienten. x + 1x& = b x () = x Lösung mit dem 5-Schritte-Schem: 1.) Suche die Lösung der homogenen Lösung 2.) Suche (irgend-) eine spezielle Lösung 3.) Allgemeine Lösung 4.) Bestimmung der Konstnten 5.) Lösung 2 1

11 Linere Differentilgleichungen Lösungsschem Schritt 1 1. Schritt: Finde die Lösung der zugehörigen homogenen Differentilgleichung. Die zugehörige homogene Differentilgleichung ist x + x& 1 = Als Lösungsnstz wählt mn: x (t) = k e mit k IR, r IR Einsetzen in die homogene Dgl. ergibt rt rt k e + k re 1 = hom Kürzen und Auflösen nch r ergibt dnn: 1 = + r r = Also Lösung der homogenen Differentilgleichung: 1 r t x t hom 1 (t) = k e 21 Linere Differentilgleichungen Lösungsschem Schritt 2 2. Schritt: Finde irgendeine Lösung der ursprünglichen Differentilgleichung Anstz: x spez (t) = d = const. Einsetzen in die ursprüngliche Dgl. x + x& b ergibt: d + = b d = b spez Also ist die spezielle Lösung: x = 1 = Flls =, wähle ls Anstz der speziellen Lösung: x spez = d t mit d IR b 22 11

12 Linere Differentilgleichungen Lösungsschem Schritt 3 3. Schritt: Aufstellen der llgemeinen Lösung. Es ist: spez x (t) = x + x x(t) = b + k e hom t 1 23 Linere Differentilgleichungen Lösungsschem Schritt 4 4. Schritt: Ermitteln der Konstnten k us den Strtbedingungen Zum Zeitpunkt t = ist x() = x (oder jede ndere gegebene Bedingung). Einsetzen in die Lösung us Schritt 3: b x = + k e k = x b 24 12

13 Linere Differentilgleichungen Lösungsschem Schritt 5 5. Schritt: Lösung des Anfngswertproblems. Mit der in Schritt 4 ermittelten Konstnten ergibt sich: x(t) = b + x b e t 1 25 Linere Differentilgleichungen Interprettion x(t) = b + x b e t 1 1. Gleichgewichtsterm 2. Auslenkungsterm 3. Anpssungsterm 26 13

14 Aufgbe Ein Student verfüge zu Beginn seines Studiums über einen Humnkpitlbestnd von H. Der Student investiert regelmäßig I Einheiten (I = const.) in den Aufbu neuen Humnkpitls ist ber uch leider mit seiner Vergesslichkeit konfrontiert, die sein Wissen stetig um die konstnte Rte ρ verringert (ρ > ). ) Zeigen Sie, dss sich hierus folgende Differentilgleichung ergibt H & (t) = ρ H(t) + I b) Lösen Sie die Differentilgleichung für H(t). Erläutern Sie Ihr Vorgehen kurz. c) Konvergiert oder divergiert ds System nch einer Störung? Vergleichen Sie den Verluf eines besonders vergesslichen Studenten mit einem normlen, weniger vergesslichen Studenten. d) Wnn befindet sich ds System im Gleichgewicht? e) Unterstellen Sie nun, dss sich ds System im Gleichgewicht befindet. Zum Zeitpunkt t = werden die Investitionen in Humnkpitl um I erhöht, sie betrgen lso nun I + I. Berechnen Sie den Pfd für H(t) und skizzieren Sie diesen in einem H-t-Digrmm. Nutzen Sie die Ergebnisse der vorngegngenen Aufgben weitestgehend. 27 Rechnen mit Wchstumsrten Diskreter Fll: Wchstumsrte von x = Änderung x = bsolute Größe x Kontinuierlicher Fll: Wchstumsrte von x = xˆ = dx dt x Dnn ist: xˆ = dx 1 x& xˆ = = = dt x x Wie sieht der Pfd von x(t) us? 28 14

15 Rechnen mit Wchstumsrten Trennung der Vriblen: dx x& = = x dt dx = dt x Lösung: x(t) = x e t 29 Rechnen mit Wchstumsrten Regeln Logrithmisches Differenzieren: Durch Logrithmisches Differenzieren erhält mn die Wchstumsrte einer zeitbhängigen Vriblen: dlnx(t) 1 dx = = xˆ(t) = Wchstumsrte von x(t) dt x(t) dt 3 15

16 Rechnen mit Wchstumsrten Regeln (i) Die Wchstumsrte eines Produkts x(t) y(t) ist gleich der Summe der einzelnen Wchstumsrten, denn es gilt ln (x y) = ln x + ln y : Wchstumsrte [x y] = xˆ+ ŷ (ii)die Wchstumsrte eines Quotienten x(t) / y(t) ist gleich der Differenz der einzelnen Wchstumsrten, denn es gilt ln (x / y) = ln x - ln y : x Wchstumsrte [ ] = xˆ ŷ y (iii) Die Wchstumsrte einer Potenz x(t) ist gleich dem -fchen der Wchstumsrte xˆ, den es gilt ln (x ) = ln x : Wchstumsrte [ x ] = xˆ 31 Rechnen mit Wchstumrten Regeln Aufgbe: Mn berechne die Wchstumsrte von Y = e λt K L 1- < < 1 Lösung: Ŷ= λ+ Kˆ + (1 )Lˆ 32 16