Kapitel 8. Integration, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral Das bestimmte Integral

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1 Inhltsverzeichnis 8 Integrtion, gewöhnliche Differentilgleichungen 5 8. Bestimmtes und unbestimmtes Integrl Ds bestimmte Integrl Ds unbestimmte Integrl, Stmmfunktion Integrtionsregeln Grundintegrle Summenregel, Linerität Prtielle Integrtion Substitution Uneigentliche Integrle Definition Unendliche Grenzen Unendlichkeitsstellen (US) Cuchyscher Huptwert (CHW) Gewöhnliche Differentilgleichungen Definitionen Anfngswertproblem (AWP) n-ter Ordnung DGL. Ordnung Explizite DGL - Geometrische Bedeutung DGL mit getrennten Vriblen Linere DGL. Ordnung Wchstumsprozesse Ökonomische Anwendungen von DGLs. Ordnung Linere DGL n-ter Ordnung mit konstnten Koeffizienten Begriffe Huptstz llgemeine Lösung, homogen spezielle Lösung, inhomogen

2 Kpitel 8 Integrtion, gewöhnliche Differentilgleichungen 8. Bestimmtes und unbestimmtes Integrl 8.. Ds bestimmte Integrl () Definition von Riemnn Es sei f eine Funktion und I = [, b] ein Intervll mit I D(F ). Zerlegung von [, b]: Z n = (x 0, x,..., x n ) mit x 0 = < x < < x n = b dx k = x k x k und α k [x k, x k ] 5

3 Juni 207 Zwischensumme von Z n : R(Z n ) := n f(α k ) dx k Feinheit von Z n δ(z n ) = mx k n dx k k= Gibt es eine Zhl G R, so dß für jede Folge Z n von Zerlegungen des Intervlls [, b] mit δ(z n ) 0 gilt lim R(Z n) = G n so heißt G der Wert des bestimmten Integrls von f über [, b], kurz f(x)dx = lim dx k 0 n f(α k ) dx k k= Die Funktion f heißt dnn integrierbr über [, b]. Weiterhin ist f(x)dx := f(x)dx b (2) geometrische Deutung (Flächeninhlt) f(x)dx = A + A 2 B (3) Kriterium für Integrierbrkeit () Ist f stetig über [, b], so ist f integrierbr über [, b]. (b) Ist f uf [, b] beschränkt (d.h. K R : f(x) < k x [, b]) und f stückweise stetig uf [, b] (d.h. f stetig für lle x [, b] bis uf endlich viele Ausnhmen), so ist f integrierbr über [, b]

4 28. Juni Achtung: 0 dx?, d f(x) nicht beschränkt uf [0, ] x (4) Folgerung us der Definition Ist f integrierbr über [, b], so gilt () (b) f(x)dx = c f(x)dx = 0 f(x)dx + c f(x)dx c [, b] 8..2 Ds unbestimmte Integrl, Stmmfunktion () Definition Eine Funktion F heißt Stmmfunktion von f uf dem Intervll I, flls gilt F (x) = f(x) x I (2) Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ist die Funktion f stetig uf I = [, b], so gilt () Die Funktion F mit x F (x) = f(t)dt ist eine Stmmfunktion von f (b) Ist F irgendeine Stmmfunktion von f, so ist F (x) = F (x) + c x I mit c R (3) Definition f(x)dx = F (x) b := F (b) F () Die Menge ller Stmmfunktionen von f wird mit f(x)dx bezeichnet und unbestimmtes Integrl von f gennnt, kurz f(x)dx = F (x) + c F (x) = f(x)

5 Juni Integrtionsregeln 8.2. Grundintegrle x α dx = α+ xα+ + c (α ) dx = ln x + c (x 0) x cos xdx = sin x + c, sin xdx = cos x + c +x 2 dx = rctnx + c x 2 dx = rcsinx + c e x dx = e x + c Summenregel, Linerität (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx αf(x)dx = α f(x)dx Beispiel 8.: Prtielle Integrtion Für uf [, b] stetige Funktionen u = u(x) und v = v(x) gilt uv dx = uv u vdx uv dx = uv b u vdx Beweis: Die Produktregel ergibt (uv) = u v + uv und somit uv = (uv) dx = u vdx + uv dx. Also gilt uv u vdx = uv dx

6 28. Juni Beispiel 8.2: I = x cos xdx Beispiel 8.3: I = ln(x)dx (v = ) Beispiel 8.4: I = cos 2 xdx Substitution Substitution I Für x = g(t) mit g injektiv uf [, b] ist dx dt = g (t) lso dx = g (t)dt Beispiel 8.5: I = x2 dx x = sin t, π/2 t π/2... π/2 I = cos 2 t dt = π 2 π/2 Substitution II Für t = h(x) ist dt dx = h (x) dx = Beispiel 8.6: I = e 5x 7 dx (t = 5x 7) dt h (x) Beispiel 8.7: I = tn xdx = sin x dx (t = cos x) cos x Spezilfälle g(x + b)dx = g(t)dt t=x+b (h(x)) n h (x)dx = t n dt t=h(x) =... c h (x) h(x) dx = c t dt t=h(x) =...

7 Juni Uneigentliche Integrle Beispiel 8.8: 2 2 x 2 dx =... = 2 x 2 dx =... = 3 2!!! FALSCH!!!! Der Integrnd f(x) = x 2 ist in x = 0 nicht definiert. x Definition f(x)dx heißt uneigentliches Integrl, flls () = oder b = + ist oder (b) f eine Unendlichkeitsstelle c [, b] ht, d.h Unendliche Grenzen () Definition Ist f stetig uf dem Definitionsintervll, so definiert mn f(x)dx := lim f(x)dx b f(x)dx := f(x)dx := f(x)dx := lim lim b c lim f(x)dx f(x)dx bzw.. f(x)dx + lim b c f(x)dx lim f(x) = ± x c±0 Bemerkung Die Grenzwerte im 3. Fll sind unbhängig voneinnder zu bestimmen. Die Integrle heißen konvergent, flls die GW endlich sind.

8 28. Juni Beispiel 8.9: dx =... = x 2 Beispiel 8.0: 0 cos xdx... ex. nicht Beispiel 8.: Bemerkung: f heißt Dichtefunktion, flls f(x)dx = ist. (wird in der Whrscheinlichkeitsrechnung benutzt) dx =... = π (rctn) +x Unendlichkeitsstellen (US) () Definition () f stetig uf (, b], ist US, dnn f(x)dx := lim ɛ 0+0 +ɛ f(x)dx (b) f stetig uf [, b), b ist US, dnn f(x)dx := lim ɛ 0+0 b ɛ f(x)dx (c) f stetig uf (, b), und b sind US, dnn f(x)dx := lim b ɛ ɛ 0+0 +ɛ f(x)dx (d) f ht uf [, b] US x < x 2 < < x m, dnn f(x)dx := x x 2 f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx x x m

9 Juni 207 Beispiele () dx =... =, dx = x x (b) Sei α R, α { flls α > =... = α x α flls α < { flls α > =... = x α flls α < 0 α 0 4 x x 4 x Cuchyscher Huptwert (CHW) f hbe eine US c in [, b] x - 4 Beispiel 8.2: 3 0 dx x konvergiert nicht! Definition: ( c ɛ CHW( f(x)dx) := ɛ 0+0 f(x)dx + c+ɛ ) f(x)dx Bemerkung: Aus der Exitenz des CHW folgt nicht die Konvergenz des Integrls. 3 Noch einml Beispiel 8.2: CHW ( 0 dx ) x

10 28. Juni Gewöhnliche Differentilgleichungen 8.4. Definitionen () Eine Bestimmungsgleichung für y = y(x) der Form F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 ( ) heißt gewöhnliche Differentilgleichung n-ter Ordnung, wobei dnn die n te Ableitung y (n) in der Gleichung ( ) ttsächlich vorkommen muß. (b) Eine Funktion y : I R R heißt Lösung von ( ) uf dem Intervll I, flls y uf I n-ml differenzierbr ist und für lle x I gilt: F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 (c) llgemeine Lösung von ( ):= Menge ller Lösungen von ( ) Beispiel 8.3: () y y y x 2 = 0 (b) y = e x (c) y = e x Bezeichnungen: spezielle Lösung: y = y(x) ist konkrete Funktion ohne frei wählbre Konstnte llgemeine Lösung: y = y(x, c,..., c n ) ist Kurvenschr mit n frei wählbren Konstnten Anfngswertproblem (AWP) n-ter Ordnung Gesucht sind Funktionen y = y(x) mit F (x, y, y,..., y (n) ) = 0, und n Anfngsbedingungen für y(x) n der Stelle x 0 : y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y,..., y (n ) = y n. Beispiel 8.4: Linerer Feder-Msse-Schwinger Bemerkung: Im llgemeinen besitzt ein AWP genu eine Lösung

11 Juni DGL. Ordnung 8.5. Explizite DGL - Geometrische Bedeutung Betrchten explizite DGL. Ordnung der Form y = f(x, y) und eine Rechteckgebiet D R 2 der Form ( ) D = {(x, y) x I, y I } wobei I und I R bgeschlossene Intervlle sind. () Ds Richtungsfeld Mit einer expliziten DGL. Ordnung y = f(x, y), (x, y) D wird eine in D verlufende differenzierbre Kurve y = y(x) gesucht, deren Tngentennstieg tn ϕ = y (x) in jedem Kurvenpunkt gleich f(x, y) ist. Zeichne in jedem Punkt (x, y) D eine kurze Strecke mit Steigung tn ϕ = f(x, y) Richtungsfeld der DGL ( ) y = y(x) ist genu dnn eine Lösungskurve der DGL, wenn sie eine Feldlinie dieses Richtungsfeldes ist; d.h. wenn in jedem Kurvenpunkt ds dort zugeordnete Linienelement tngentil verläuft. Beispiel 8.5: ( ) (i) y = x + y (ii) y = y 2 y y x x

12 28. Juni (2) Die DGL der Feldlinien eines ebenen Vektorfeldes gegeben: Vektorfeld vv = Die zugehörige DGL ist: y = v 2(x,y) v (x,y), flls v 0 bzw. dx = v (x,y), flls v dy v 2 (x,y) 2 0 ( v (x, y) v 2 (x, y) ) Beispiel 8.6: treuer Hund Meyberg, Vchenuer: Höhere Mthemtik 2, Springer Verlg, 997 Ein treuer Hund steht im Punkt A(, ) n einem reißenden Fluss mit der Breite und der Wssergeschwindigkeit w = 2x( x). Er sieht sein Herrchen m nderen Ufer im Punkt O(0, 0), springt ins Wsser und pddelt druf los, die Schnuze stets uf sein Herrchen gerichtet. Im ruhigen Wsser erreicht der Hund die Geschwindigkeit v =. Richtungsfeld mit einigen Feldlinien zu Aufgbe 8.6:.0 y x

13 Juni DGL mit getrennten Vriblen () Normlform: (x, y) D y = g(x) h(y) (2) Lösungsmethode: Fll: h(y) = 0 Ist h(y 0 ) = 0, so ist die konstnte Funktion y(x) = y 0 x R eine spezielle Lösung der DGL Fll: h(y) 0 erhlten llgemeine Lösung, wie folgt: y = dy = g(x) h(y) dx dy = g(x)dx h(y) usrechnen und flls möglich nch y uflösen Beispiel 8.7: y = y, x 0, y R x Linere DGL. Ordnung () Normlform b(x) heißt Störfunktion. y + (x) y = b(x) ( ) Die DGL ( ) ist { homogen flls b(x) 0 inhomogen flls b(x) 0 (2) Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von ( ) Sei D = {(x, y) x I und y R} ein Rechteckgebiet. Sind die Funktionen (x) und b(x) für lle x I stetig, so verläuft durch jeden Punkt von D genu eine Lösungskurve der lin. DGL ( ). (3) Allgemeine Lösung y h der homogenen DGL y + (x)y = 0 ist DGL mit getrennten Vriblen. Die llgemeine Lösung y h ht die Form y hom = c y (x) = c e A(x) mit c R beliebig, wobei A(x) eine Stmmfunktion von (x) ist. Beispiel 8.8: Beweis von y hom = c e A(x)

14 28. Juni (4) Spezielle Lösung der inhomogenen DGL y + (x)y = b(x) durch Vrition der Konstnten: Anstz für spezielle Lösung y s : y s (x) = c(x) y (x) (y (x) ist Bsislösung der homogene DGL.) Ableitung: y s(x) = c (x)y (x) + c(x)y (x) Einsetzen: in DGL ergibt Bestimmungsgleichung für c (x); Berechnen: c(x) und erhlten y s (x) (5) Allgemeine Lösung y inh der inhomogenen DGL y + (x) = b(x) Für die llgemeine Lösung y inh der inhomogenen DGL gilt dnn llgemeine Lös. der inh. DGL y inh = y s + y hom = llgemeine Lös. der hom. DGL + eine spez. Lös. der inh. DGL Beispiel 8.9: y + x y = x3, D = {(x, y) x > 0, y R} Wchstumsprozesse Wchstumsprozeß: x(t), z.b. Anzhl von Individuen ẋ(t) = (t)x(t) ist DGL für freies Wchstum mit i.. zeitbhängiger Änderungsrte (t). Beispiel 8.20: (t) = = const ẋ(t) = x(t), x(t 0 ) = x 0 x(t) = x 0 e (t t 0) () < 0, z.b. Rdioktiver Zerfll, Newtonsches Abkühlungsgesetz (b) > 0, exponentielles Wchstum, unrelistisch Beispiel 8.2: Rostfrß, (Gompertz 825), (t) = e bt, b > 0 Homogene linere DGL: ẋ(t) = e bt x(t) x(t) = c exp( b e bt ), c R AWP: x(t) = x 0 exp( b (e bt 0 e bt ))

15 Juni 207 x x x 0 ex 0 x 0 t 0 2,, 0.5 t t 0 b t Abbildung 8.: x = x 0 e (t t 0) und x = x 0 e ( b (e bt 0 e bt )), t 0 = Ökonomische Anwendungen von DGLs. Ordnung Beispiel 8.22: Sttsverschuldung Bezeichnungen: D(t) - Sttsverschuldung zum Zeitpunkt t in GE Y (t) - Volkseinkommen zum Zeitpunkt t in GE Modell (Domr 944): Annhme: Der Zuwchs der Sttsverschuldung D(t) ht ein konstntes Verhältnis α zum Volkseinkommen Y (t), d.h. D (t) = αy (t), AWP : Y (0) = Y 0, D(0) = D 0 Bem.: In jeder Periode mchen die defizitären Ausgben einen konstnten Anteil α des Volkseinkommens us, z.b. Ausgben im Zeitrum t:.05 Y (t) Die Sttsverschuldung wächst jeweils um 5% des ktuellen Volkseinkommens, d.h. D (t) = 0.05 Y (t) () Annhme: Y (t) = =const D (t) = α D(t) = α t + D 0 D(t) = D 0 Y (t) + α t D.h. ds Verhältnis von Sttsverschuldung zu Volkseinkommen wächst liner mit Fktor α über lle Grenzen. z.b. Verdopplung nch der Zeit t = D 0 α Bem.: Ein ähnliches Ergebnis erhält mn bei linerem Wchstum des Volkseinkommens: Y (t) = + bt.

16 28. Juni (b) Annhme: Der Zuwchs von Y (t) steht in konstntem Verhältnis r zu Y (t) selbst. Y (t) = ry (t) Y = Y 0 e rt D(t) = D 0 Y (t) Y 0 + α e rt e rt r e rt D (t) = αy 0 e rt D = D 0 + α r Y 0(e rt ) D(t) lim = α, r > 0 t Y (t) r Konsequenz: Bei fortlufend unusgeglichenem Sttshushlt muss ds Volkseinkommen exponentiell wchsen, um ds Verhältnis von Verschuldung zu Volkseinkommen in Grenzen zu hlten. Beispiel 8.23: Serie 2, Aufgbe 6 Der Kpitlstock eines Unternehmens sei K(t) und hbe zur Zeit t = 0 den Wert K(0) = K 0. Angestrebt wird ein Kpitlstock K > K 0, wobei durch Investitionen eine schrittweise Anpssung relisiert wird. D die Investitionen um so dringender sind, je größer die Differenz K K(t) ist, gelte dk(t) dt = (K K(t)), > 0, wobei K(t) um so schneller wächst, je größer gewählt wird. () Bestimmen Sie K(t)! (b) Bestimmen Sie K(t), wenn beknnt ist, dss K 0 = e und K = e, für () = 3 und (b) = 3. (c) Nch welcher Zeit ht sich bei = 3 die Differenz K K(t) () hlbiert oder (b) gedrittelt? Abbildung 8.2: = 3 und = 3

17 Juni Linere DGL n-ter Ordnung mit konstnten Koeffizienten 8.6. Begriffe () Normlform y (n) + n y (n ) + + y + 0 y = b(x) n,..., 0 R: Koeffizienten b(x): Störfunktion Die DGL heißt homogen, flls b(x) 0 (Nullbb.) ist; ndernflls heißt sie inhomogen. Bemerkung: Im llgemeinen können die Koeffizienten i uch Funktionen i = i (x) sein. Beispiel 8.24: y 2y 3y = 2 3x y x 2 y + 3y = e x 5 (2) Anfngswertufgbe Ist die Störfunktion b(x) stetig uf dem Intervll I R, so besitzt die AWA y (n) + n y (n ) + + y + 0 y = b(x) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y,..., y (n ) (x 0 ) = y n mit x 0 I und y 0,..., y n R genu eine Lösung y : I R Huptstz über Lösung der inhomogenen lineren DGL Betrchte die inhomogene DGL y (n) + n y (n ) + + y + 0 y = b(x) 0

18 28. Juni sowie die zugehörige homogene DGL y (n) + n y (n ) + + y + 0 y = 0 Für die llgemeine Lösung y inh der inhomogenen DGL gilt dnn y inh = y s + y hom llgemeine Lös. der inh. DGL = llgemeine Lös. der hom. DGL + eine spez. Lös. der inh. DGL Bestimmung der llg. Lsg. der hom. DGL () Lösungsmenge y (n) + n y (n ) + + y + 0 y = 0 Die Lösungsmenge L := {y : I R R L(y) = 0} ist ein linerer Vektorrum und besitzt eine Bsis liner unbhängiger Funktionen : y,..., y n Dmit gilt für die llgemeine Lösung der homogenen DGL y h : y h = c y +..., c n y n, c,....c n R d.h., L besteht us llen Linerkombintionen der Bsislösungen. (2) Bestimmung einer Bsis y,..., y n von L Mit dem Anstz y = e λx erhlten wir λ n + n λ n }{{} P (λ) = 0 P (λ) heißt chrkteristisches Polynom der homogenen DGL und ist ein Polynom vom Grde n mit reellen Koeffizienten.

19 Juni 207 (3) Auswertung: Für jede Nullstelle λ von P (λ) erhlten wir eine Lsg. y = e λx der homogenen DGL P (λ) ht n verschiedene Nullstellen im Komplexen (gezählt mit Vielfchheit) Erhlten Bsislösungen wie folgt Ist λ = eine reelle Nullstelle mit Vielfchheit r, so erhlten wir r liner unbhängigge Lsgen y = e λx, y 2 = xe λx,..., y r = x r e λx Ist λ = + ib eine komplexe Nullstelle mit Vielfchheit r, so ist λ = ib ebenflls r-fche Nullstelle und es gilt: e λx = e (+ib)x = e x+ibx = e x e ibx = e x (cos bx + i sin bx) e λx = e ( ib)x = e x ibx = e x e ibx = e x (cos bx i sin bx) und wir erhlten 2r liner unbhängige Lösungen: y () = e x cos bx,..., y r () y (2) = e x sin bx,..., y r (2) = x r e x cos bx = x r e x sin bx Zusmmen erhält mn dnn n liner unbhängige Lösungen der homogenen DGL, lso eine Bsis Beispiel 8.25: () y 2y 3y = 0 (b) y + 4y = 0 (c) y 2y + y = Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen lineren DGL () Methode: Spezielle Ansätze y (n) + n y (n ) + + y + 0 y = b(x) Die Methode funktioniert nur bei konst. Koeffizienten und für spezielle Störfunktionen b(x). Beispiel 8.26: y 2y 3y = 6x +

20 28. Juni Störfunktion b(x) b(x) = Q(x) Polynom vom Grde m 0 b(x) = Q(x)e x b(x) = Q(x)e x cos bx oder b(x) = Q(x)e x sin bx Anstz für y s (ohne Resonnz) y s = A m x m + A m x m + + x + A 0 y s = (A m x m + + A 0 )e x y s = (A m x m + + A 0 )e x cos bx (B m x m + + B 0 )e x sin bx (2) Bemerkung: Ist b(x) = b (x) +... b r (x), so knn mn für jeden Summnden b i (x) einen entsprechenden Anstz mchen. Beispiel 8.27: b(x) = 4x 2 + xe 3x cos 4x (3) Resonnzfll: Teile (Summnden) der Störfunktion b(x) sind Lösungen der zugehörigen homogenen lineren DGL., die zugehörige Nullstelle von P (λ) besitze die Vielfchheit k. Neuer Anstz durch Multipliktion des entsprechenden obigen Anstzes mit x k. Beispiel 8.28: () y 2y 3y = 8e 3x (b) y y = x +