Der Kugelring. Verfasser: Praxelius. Beschreibung des Kugelrings und Herleitung der Formeln

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Björn Voss
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1 Der Kugelring Verfaer: Praxeliu Bechreibung de Kugelring und Herleitung der Formeln PDF-Dokument: Kugelring.pdf Da Dokument it urheberrechtlich gechützt. Alle Rechte vorbehalten. KR Dieen Beitrag hat der Verfaer in gekürzter Form der deutchen Wikipedia zur Verfügung getellt.

2 Inhaltübericht Geometriche Zuammenhänge... Definition de Kugelring... Bezeichnungen und Formeln... Herleitung der Formel für da Kugelring-Volumen... 5 Herleitung von al Rotationkörper... 5 Herleitung von au Kugelvolumen minu Bohrung... Herleitung von au Kugelchichtvolumen minu Bohrung... Lehratz für alle Kugelringe... Beipiel... 7 Verhältni der Volumina von Kugelring und Kugel... 7 Flankenwinkel der Ringkante... 8 Oberfläche O r de Kugelring... 8 Berechnung der Ringaußenfläche O a... 8 Berechnung der Ringinnenfläche O i... 8 Geamtoberfläche O r de Kugelring... 8

Geometriche Zuammenhänge Definition de Kugelring Der Kugelring it ein Teil einer Kugel. Ein Kugelring entteht, wenn man eine Kugel mittig zylindrich durchbohrt.

3 Geometriche Zuammenhänge Definition de Kugelring Der Kugelring it ein Teil einer Kugel. Ein Kugelring entteht, wenn man eine Kugel mittig zylindrich durchbohrt. Mathematich geehen it e eine Durchdringung von Kugel und Zylinder, wobei die Zylinderache durch den Kugelmittelpunkt geht und da vom Zylinder verdrängte Kugelvolumen (in der Zeichnung gelb dargetellt) ubtrahiert wird. Von der Kugel bleibt dann nur ein Ring übrig, deen Querchnitt (in der Zeichnung grün markiert) au zwei Kreiegmenten beteht. Bezeichnungen und Formeln Die geometrichen Zuammenhänge entnehme man der obigen Zeichnung. Bezeichnung, Formel M Bedeutung Kugelmittelpunkt, S Flächenchwerpunkt de Ringquerchnitt A, R Kugelradiu = Außenradiu de Kugelring,

4 4 D = R Kugeldurchmeer, r = R - h Bohrlochradiu = Zylinderradiu = Innenradiu de Kugelring, d = r Bohrlochdurchmeer = Zylinderdurchmeer, h = R - r = R - R - Höhe de Kreiegment = Dicke de Ring, - Ł ł = R r Ringbreite = Sehne de Kreiegment, h R - = Höhe de Kugelegment am Ende der Bohrung, p h V = - ( R h ) Volumen de Kugelegment am Ende der Bohrung, V z = p r Volumen de Zylinder mit Radiu r und Länge, 4 p V k = R = D p Volumen der zu durchbohrenden Kugel mit Radiu R, = p Volumen de Kugelring mit der Breite, V V a r k = Verhältni der Volumina von Kugelring und Kugel, D Zentriwinkel der Ringaußenfläche, r a ) = arcco Bogenmaß de Zentriwinkel a, Ł R ł a b = Flankenwinkel de Kugelring bezogen auf die Sehne, e = 1 A a ) A = R - r h Schwerpunktabtand de Kreiegment vom Kreimittelpunkt, Flächeninhalt de Kugelringquerchnitt, A = p R Gewölbte Oberfläche de Kugelegment = Kugelkappe 1, A k = 4 p R Oberfläche der (undurchbohrten) Kugel, 1 Die gewölbte Außenfläche de Kugelegment nennt man Kugelkappe.

5 5 O a = p R Ringaußenoberfläche = Mantelfläche der Kugelchicht, O i = p r Ringinnenoberfläche, ( R r) O r = p + Geamtoberfläche de Kugelring. Herleitung der Formel für da Kugelring-Volumen Die Formel für da Volumen de Kugelring kann man nach mehreren Methoden herleiten. E werden drei Möglichkeiten gezeigt. Herleitung von al Rotationkörper Der Kugelring it ein Rotationkörper, der au der Rotation de Kreiegment A um die Zylinderache entteht. Da Volumen de Kugelring berechnet ich au der Kreiegmentfläche A und dem Weg p e de Flächenchwerpunkt um die Zylinderache: = A p e Die Formel für den Schwerpunktabtand e der Kreiegmentfläche A vom Mittelpunkt M de Kreie (= Mittelpunkt der Kugel) entnimmt man einer Formelammlung oder man leitet ie elber her (au dem tatichen Flächenmoment und dem Flächeninhalt de Kreiegment; darauf wird aber hier verzichtet). e = 1 A Die Kreiegmentfläche A berechnet ich au dem Kreiektor abzüglich de inneren Dreieck: a ) A = R - r, a ) r wobei = arcco Ł R ł it. Die Kreiegmentfläche A it zur Berechnung de Volumen aber nicht nötig, denn ie kürzt ich herau: p = A p = 1 A = p Eine Kugelchicht (Kugelzone) entteht zwichen zwei parallelen Schnitten durch eine Kugel. iehe Praxeliu-Formelammlung Kreiformeln (Dokument Kreiformeln.pdf auf ).

6 Herleitung von au Kugelvolumen minu Bohrung Man kann da Volumen de Kugelring auch au dem Kugelvolumen V k berechnen, von dem da Bohrvolumen (zwei Kugelegmente + Zylinder) abgezogen wird. Kugelvolumen: V k = 4 p R / Da Kugelegment it durch die Höhe h = R - ( / ) und den Kugelradiu R eindeutig betimmt. Die Formel für da Volumen V de Kugelegment entnimmt man einer Formelammlung: V = p h ( R - h )/ Der auzubohrende Zylinder der Länge hat da Volumen V z = p r Al Volumen de Kugelring ergibt ich dann: = V k - V - V z = 4 p R / - p h ( R - h )/ - p r Nach mehreren Umformungen und Einetzen von h = R - (/) und R - r = (/) erhält man wieder die chon oben angegebene Formel für. Herleitung von au Kugelchichtvolumen minu Bohrung Am einfachten lät ich die Formel für da Volumen de Kugelring au der Kugelchicht mit der Dicke, die mittig zum Kugelmittelpunkt liegt, herleiten. Da Volumen der Kugelchicht minu Zylinder it: = p (r + r + )/ - p r = p (r + r + - r )/ = p / = p /. Wieder ergibt ich die chon oben hergeleitete Formel für. Lehratz für alle Kugelringe Au der Formel = p für da Volumen de Kugelring ergibt ich der Lehratz: Alle Kugelringe mit gleicher Breite haben da gleiche Volumen. Da Volumen eine beliebig großen Kugelring wird allein durch die Ringbreite betimmt. Praktiche Bedeutung. Gleiche Volumen bedeutet bei gleichem Material auch gleiche Gewicht und gleiche Mae. Kugelringe mit gleicher Breite und au gleichem Material ind alo alle gleich chwer. Probe: Zur Probe der Richtigkeit diee Satze nehme man eine Kugel mit einer Bohrung r = 0 (unechter Kugelring). Die Ringbreite it dann der Durchmeer der Kugel. ( R) 8 4 p p = = = p R = p R Die Probe mit der Kugelringformel ergibt alo da Kugelvolumen. Für den Kugelring gilt tillchweigend, da die Ringbreite den Kugeldurchmeer D nicht überchreiten kann.

7 7 Da alle Kugelringe mit der Ringbreite gleiche Volumen haben, kann man au für einen Kugelring mit betimmtem Innendurchmeer d (Bohrung) den Kugeldurchmeer D der dazu gehörigen Kugel berechnen. Beipiel Ein Kugelring wurde au der Kugel 1 mit D 1 = R 1 = 0 mm hergetellt, die eine Bohrung von d 1 = r 1 = 1 mm erhielt. Aufgabe: Wie groß mu der Durchmeer D = R einer Kugel ein, au der ein Kugelring mit einer Bohrung von d = r = 0 mm hergetellt wird, der da gleiche Volumen und die gleiche Ringbreite aufweit? Löung: Zuert mu die Ringbreite gefunden werden. Diee wird au R 1 = 10 mm der Kugel 1 und r 1 = mm berechnet. Da R - r = (/) gilt, ergibt ich au R 1 - r 1 = 10 - = 8 = (/). Darau folgt für Kugelring 1: = 1 mm h = R 1 - r 1 = 10 - = 4 mm. Wenn man die Ringbreite nicht wien will, kann man ofort rechnen: R 1 - r 1 = R - r, weil / und damit gleichbleiben oll. Außer R ind alle Werte bekannt. R = R 1 - r 1 + r = = = 89 = 17. R = 17 mm, folglich D = 4 mm. Darau folgt für Kugelring : = 1 mm h = R - r = = mm. Da Volumen beider Kugelringe it = p 1 / = mm =.1441 cm. Sind beide Ringe au Gold, o hat jeder von ihnen die Mae.1441 cm 19. g/cm = 41.9 g. Verhältni der Volumina von Kugelring und Kugel Da Verhältni der Volumina von Kugelring und Kugel wird nur durch die Ringbreite und den Kugeldurchmeer D betimmt: Kugelring: = p/ Kugel: V k = 4 p R / = D p / Darau ergibt ich: V V r k = D Diee Formel ermöglicht die Beantwortung z. B. der Frage, welche Maße ein Kugelring hat, wenn die Hälfte de Kugelvolumen augebohrt wird.

8 8 Flankenwinkel der Ringkante Je größer der Kugelring, deto kleiner it der Flankenwinkel b der Ringkante, der auf die Sehne bezogen it. b ) = arcco Ł r R ł Der Arcucoinu (arcco) kann bei Tachenrechnern nicht nur im Bogenmaß, ondern gleich in Altgrad umgerechnet augegeben werden (Tachenrechnereintellung). Für die Kugelringe au obiger Aufgabe ergibt ich: Kugelring 1: b = arcco (/10) = 5.1 Kugelring : b = arcco (15/17) = 8.07, Oberfläche O r de Kugelring Der Volltändigkeit halber werden noch die Oberflächen, alo Ringaußenfläche und Ringinnenfläche, angegeben. Berechnung der Ringaußenfläche O a Diee Fläche kann mit der Formel für die Kugelchicht (Kugelzone) berechnet werden (iehe Formelammlung). O a = p R Die zweite Möglichkeit it, die beiden Kugelkappen von der Kugeloberfläche zu ubtrahieren. O a = 4 p R - p R h = 4 p R - 4 p R h = 4 p R (R - h ) = 4 p R / = p R Berechnung der Ringinnenfläche O i O i = p r Geamtoberfläche O r de Kugelring O r = O a + O i = p (R + r)

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