F Winkelsätze. 1 Nebenwinkel und Scheitelwinkel

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1 F Winkelätze 1 Nebenwinkel und Scheitelwinkel Zwei nicht parallele Geraden bilden tet vier Schnittwinkel. Dabei untercheidet man zwichen Scheitel- und Nebenwinkeln. eipiel : γ δ Nebenwinkel Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen ich zu = = = = 180 Scheitelwinkel Scheitelwinkel liegen ich gegenüber und ind gleich gro. γ 1 = δ 1 γ 2 = δ 2 γ 3 = δ 3 γ 4 = δ 4 Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

2 2 Fundamentale Sätze über Winkel und Winkelummen Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden gechnitten, enttehen 8 Schnittwinkel. Die Winkel innerhalb der Parallelen heien innere Winkel, die Winkel auerhalb der Parallelen heien äuere Winkel. // γ δ // γ δ Innere Winkel :,, γ, δ Äuere Winkel :,, γ, δ Stufenwinkel Einen inneren und einen äueren Winkel auf derelben Seite der chneidenden Geraden nennt man Stufenwinkel. Sie ind gleich gro. =, =, γ = γ, δ = δ Wechelwinkel Zwei innere oder zwei äuere Winkel auf verchiedenen Seiten der chneidenden geraden heien Wechelwinkel. Sie ind gleich gro. = γ, = δ, γ =, δ = Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

3 Winkelumme im Dreieck C E gilt für jede Dreieck: b γ a + + γ = 180 c eondere Dreiecke - Ein gleicheitige Dreieck hat drei gleich lange Seiten und drei gleich groe Winkel (je 60 ). - Ein gleichchenklige Dreieck hat zwei gleich lange Seiten (Schenkel) und zwei gleich groe Winkel (aiwinkel). b - Ein rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von Ein rechtwinklig-gleichchenklige Dreieck hat einen rechten Winkel, zwei gleich lange Seiten und die aiwinkel ind je Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

4 3 Winkelummen von Vielecken (n-ecken) Um die Innenwinkelumme, abgekürzt Winkelumme, eine beliebigen n-ecke zu betimmen, greift man auf die Winkelumme de Dreieck zurück. E gilt: + + γ = 180 b C γ a c Durch die Unterteilung eine n-ecke in Teildreiecke lät ich deen Winkelumme auf einfache Weie betimmen. D eipiele: δ Innenwinkelumme im Viereck = ( 1 + γ 2 + δ ) + ( γ 1 ) = = 360 γ 2 γ C D Innenwinkelumme im Fünfeck = ( ε 1 + γ 3 + δ ) + ( 1 + γ 2 + ε 2 ) + ( γ 1 ) = E ε 2 ε 1 δ γ 3 γ 2 γ1 C = E gilt: Innenwinkelumme im n-eck = ( n 2 ) 180 Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

5 Regelmäige Vielecke (regelmäige n-ecke) ei regelmäigen Vielecken ind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich gro. eipiele: Regelmäige Secheck Regelmäige Dreieck Regelmäige Viereck ( gleicheitige Dreieck ) ( Quadrat ) Die Gröe de Innenwinkel im regelmäigen Vieleck lät ich au der Innenwinkelumme und der nzahl Eckpunkte berechnen. E gilt: Innenwinkel = ( n 2) 180 n eipiel: Im regelmäigen Secheck beträgt ein Innenwinkel omit: = ( 6 2) = = 120. Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

6 llen regelmäigen Vielecken it gemeinam, da deren Eckpunkte auf einer Kreilinie liegen. eipiele: M ε M ε M ε Verbindet man die Endpunkte einer Seite (z.. und ) de regelmäigen Vieleck mit dem Mittelpunkt M de Kreie, o entteht mit dieem al Scheitelpunkt ein ogenannter Mittelpunkt- oder Zentriwinkel ε. Die Gröe de Zentriwinkel ε im regelmäigen Vieleck lät ich au der Gröe de Vollwinkel (360 ) und der nzahl Eckpunkte berechnen. E gilt: Zentriwinkel ε = 360 n eipiel: Im regelmäigen Secheck beträgt ein Zentriwinkel omit: ε = = 60. Für Innenwinkel und Zentriwinkel eine regelmäigen Vielecke gilt folgende Geetzmäigkeit: + ε = 180 Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

7 4 Einige nwendungen uenwinkel Ein uenwinkel it der Winkel zwichen einer Seite und der Verlängerung der Nachbareite. γ* it ein uenwinkel von γ E gilt : Innenwinkel + uenwinkel = * = * = 180 γ + γ* = γ = * = γ = * owie: + = γ* + γ = * Mathematik -Theorie Klae ezirkchule

8 Der Satz de Thale Werden in einem Krei die beiden Endpunkte eine Durchmeer geradlinig mit einem beliebigen anderen Punkt der Peripherie verbunden, entteht ein rechter Winkel. ewei: = ( + ) = = 90 Mathematik -Theorie Klae ezirkchule