Zur Bestimmung der ungünstigsten Toleranz zusammengesetzter Systeme können die Einzeltoleranzen entsprechend ihres Zusammenwirkens addiert werden.

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Marie Heinrich
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1 Vorauetzung und verwandte Themen Für diee Bechreibungen ind Vorkenntnie der Statitik und der Verteilungen erforderlich. Weiterführende Thema it: Einführung In einer Toleranzrechnung geht e um die Berechnung eine Funktionmaße, da durch mehrere Einzeltoleranzen betimmt it. Ein einfache Beipiel für ein Funktionmaß it da Spaltmaß einer Tür, da ich durch Rahmen, Scharniere, etc. betimmt. Bekanntlich it die Addition der ungüntigten Toleranzen äußert unwahrcheinlich. Ziel und Nutzen Da Ziel it e für da Funktionmaß eine tatitich wahrcheinliche Toleranz zu chätzen. Dabei ollen auch nicht normalverteilte Prozee und nichtlineare Funktionzuammenhänge möglich ein. Grundlagen Zur Betimmung der ungüntigten Toleranz zuammengeetzter Steme können die Einzeltoleranzen entprechend ihre Zuammenwirken addiert werden. M1 M M M1 unt Tol M unttol Für ein additive Summenmaß gilt, da ich die unteren und oberen Toleranzen aufummieren, z.b: 10 M 0,1 0,1 0, 0, 50,3 150,5 Für eine Maßkette, bei der da zweite Maß in die entgegengeetzte Richtung zeigt, gilt die Minu-Operation: M1 M M 1 unt Tol M ( unt Tol) ( ) M M Bei der Minu-Operation werden die oberen und unteren Toleranzen de entgegengeetzt zeigenden Maße vertaucht und mit 1 multipliziert, z.b. gilt für die oben 0,1 0,1 gezeigten Toleranzen: 10 ; 0, 50,3 10 0,1 0,3 0,4 0, 50,1 50,3 CRGRAPH 017

2 10 3,5 37 1,9,75 3, Durchflu Diee Extremlagen werden in der Wirklichkeit jedoch elten erreicht (mit geringer Wahrcheinlichkeit). Sinnvoll it hier einzig und allein eine tatitiche Betrachtungweie. Da Gaußche Fehlerfortpflanzunggeetz Weil tatitiche Fehler mit gleicher Wahrcheinlichkeit einen Wert verkleinern oder vergrößern, d.h. verchiedene in da Ergebni eingehende tatitiche Fehler einander teilweie kompenieren, verwendet man eine Formel, die dieen Kompenationeffekt berückichtigt, da Gaußche Fehlerfortpflanzunggeetz: x1 x1 x x... Darin gehen die Varianzen der einzelnen Faktoren xi mit den quadrierten partiellen Ableitungen (Steigungen) ein. Durch da Quadrieren gehen negative Vorzeichen nicht mit ein. Für ein einfache lineare Modell Y = bo + b1 x1 + b x +... gilt dann vereinfacht: b b... 1 x1 x da die Koeffizienten au der multiplen Regreion bereit die Steigungen dartellen. Sind höherwertige Terme, z.b. quadratiche und Wechelwirkungen enthalten, o it die Steigung für den jeweiligen Eintellungpunkt explizit zu betimmen, z.b. für die Feuchte b = /x 5.0 Durchf lu = 3,16 +/- 1,65E10 0,3, x 1.5 Feuchte Länge_ zu_ B V erunrein CRGRAPH 017

3 Zu beachten it, da ich auch lineare Kurvenverläufe durch Wechelwirkungen ändern, ja ogar umkehren können. Die jeweiligen Steigungen gelten alo immer nur für eine betimmte Parametereintellung. It e möglich Größen mit hoher Streuung und nichtlinearem Verlauf in Bereiche flacherer Steigung zu etzen, o wirken ich diee Streuungen evtl. erheblich geringer au (Taguchi-Prinzip). Für den einfachten Fall einer geometrichen Maßaddition µ = µ1 + µ +..., bei der die Koeffizienten alle 1 ind, gilt: x1 x... Aufgrund der quadratichen Anteile dominieren große Streuungen. It z.b. eine Standardabweichung 5 und die andere 1, o it die Geamttandardabweichung 5,1. D.h. die kleinere Standardabweichung fällt nicht in Gewicht. Au dieen einfache Überlegungen ergeben ich entcheidende Konequenzen für da Deign von zuammengeetzten Stemen. Abchätzung der Einzeltreuungen au den Toleranzen Sind die jeweiligen Standardabweichungen nicht bekannt, o ind die Toleranzangaben au der Kontruktion zu verwenden. Dabei müen diee mmetrich ein, z.b.:,8 0, 0,1,85 0,15 µ wird Sollwert und T al die halbe gleiche Toleranzbreite bezeichnet (hier 0,15). µ T Um auf die Standardabweichung zu chließen, müen Annahmen über die Verteilung getroffen werden. Die häufigte verwendete Verteilung it die Normalverteilung, da die Abweichungen vom Sollwert meit zufällig verteilt ind. Häufig it auch in dieem Zuammenhang von einer Rechteckverteilung die Rede. Diee wäre z.b. durch den Verchleiß eine Werkzeuge gegeben, mit einer gleichmäßigen Drift der Mittellage. Beer it hier jedoch trotzdem mit einer Normalverteilung zu arbeiten und dafür einen chlechteren Prozefähigkeitwert Cp anzuetzen. Allgemein gilt alo c p = T/ 3 worau ich mit bekanntem, bzw. vorgegebenem Cp chätzen lät: = T/ 3 c p Abhängige Größen Die vereinfachte Formel für die Geamttreuung x 1 x... gilt nur für unabhängige Maßketten oder Größen. Bei einer tatitichen Abhängigkeit (Korrelation) verändert ich diee für den Fall von Komponenten: x1 x 1 x1 x r CRGRAPH 017

4 Für den Extremfall, da die Korrelation r = -1 it, ergibt ich: 1 = 1 und für r = 1: 1 = 1 + Bei tarker negativer Korrelation heben ich die Streuungen gegeneitig auf, bei tarker poitiver Korrelation addieren ich diee. Negativ korrelierende Größen haben alo einen entcheidenden Vorteil und ind zu uchen. Sie wirken wie negativ rückgekoppelte Steme temtabiliierend. Allgemein gilt für mehr al Größen: k k i ri, j i j i1 ji1, ik Die Korrelation der Größen kann nur durch konkrete Daten und Veruche betimmt werden. Da die immer nur Stichproben ein werden, ind diee Auagen mit entprechender Unicherheit behaftet. Für weitere Betrachtungen ei auf die Bechreibungen der verwieen. CRGRAPH 017

Anwendung in Viual-XSel 14.0 www.crgraph.de Eine Programmanwendung it am Ende von www.veruchmethoden.de/prozedaten_toleranzimulation.pdf zu finden.

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5 Anwendung in Viual-XSel Eine Programmanwendung it am Ende von zu finden. Literatur Tachenbuch der tatitichen Qualität- und Zuverläigkeitmethoden Die wichtigten Methoden und Verfahren für die Praxi. Beinhaltet tatitiche Methoden für Veruchplanung & Datenanale, owie Zuverläigkeit & Weibull. - Statitiche Verteilungen und Tet & Michverteilungen - Six Sigma Einführung und Zklen - Stemanalen Wirkdiagramm, FMEA, FTA, Matrizen-Methoden - Shainin- und Taguchi-Methoden - Veruchplanung DoE, D-Optimal - Korrelation- und Regreionverfahren - Multivariate Datenauwertungen - Prozefähigkeit Memittelfähigkeit MSA 4 und VDA 5 - Regelkarten - Toleranzrechnung und Monte-Carlo-Simulation - Statitiche Hpotheentet - Weibull und Lebendaueranalen - Stichprobengröße 190 Seiten, Ringbuch ISBN: CRGRAPH 017

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