Multivariate Verteilungen und Copulas

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1 Multivariate Verteilungen und Copulas Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1, X n,2,..., X n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig aber X n,i und X n±k,j sind unabhängig für k IN (k 0), 1 i, j d. Grundlegende Eigenschaften von Zufallsvektoren Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X = (X 1, X 2,..., X d ) T wird durch seine die gemeinsame Verteilungsfunktion F spezifiziert F(x) = F(x 1, x 2,..., x d ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X d x d ) = P(X x). Die i. Randverteilung F i von F ist die Verteilungsfunktion von X i und ist folgendermaßen gegeben: F i (x i ) = P(X i x i ) = F(,...,, x i,,..., ) Die Verteilungsfunktion F ist stetig wenn es eine nicht negative Funktion f 0 gibt, sodass F(x 1, x 2,..., x d ) = x1 x2... xd f ist ind diesem Fall die Dichte von F. f(u 1, u 2,..., u d )du 1 du 2... du d 1

2 Die Komponenten von X sind unabhängig dann und nur dann wenn F(x) = Π d i=1 F i(x i ) oder, wenn f ezistiert f(x) = Π d i=1 f i(x i ) Ein Zufallsvektor ist eindeutig durch seine charakteristische Funktion φ X (t) spezifiziert: φ X (t) = E(exp{it T X}), t IR d Beispiel 1 Für die multivariate Normalverteilung mit Mittelwert µ und Kovarianzmatrix Σ ist die Dichtefunktion f bzw. die charakteristische Funktion φ X folgendermaßen gegeben ( Σ = Det(Σ) ): 1 f(x) { (2π) d Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ), x IR d φ X (t) = exp { it T µ 1 2 tt Σt }, t IR d Wenn E(Xk 2 ) < für alle k, dann ist die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors folgendermaßen gegeben: Cov(X) = E((X E(X))(X E(X)) T ) Übung 1 Zeigen Sie das folgende Gleichungen gelten: E(BX + b) = BE(X) + b Cov(BX + b) = BCov(X)B T 2

3 Beispiel 2 (Portfolio Optimierung, Markowitzs Modell) Es wird in d (risikoreiche) Assets investiert. Der erwartete Portfolioertrag muss µ p betragen. Sei X = (X 1, X 2,..., X d ) T der Zufallsvektor der Asset-Returns mit E(X) = µ und Cov(X) = Σ. Die Gewichte des Minimum-Varianz Portfolios sind als Lösung des folgenden quadratischen Optimierungsproblems gegeben: min w sodass w T Σw w T µ = µ p d i=1 w i = 1 (siehe zb. Campbell et al. (1997)) Abhängigkeitsstrukturen Probleme der Modellierung der Abhängigkeitsstrukturen zwischen Finanzgrössen mit Hilfe der (multivariaten) Normalverteilung. Finanzgrössen haben i.a. heavier Tails als die Normalverteilung Die Zusammenhänge bei größeren Verlusten sind i.a. stärker als bei normalen Werten. Diese Art von Zusammenhängen kann mit der multivariaten Normalverteilung nicht modelliert werden. 3

4 Abhängigkeitsmaße Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Es gibt einige skalare Maße für die Abhängigkeit zwischen X 1 und X 2. Lineare Korrelation Annahme: var(x 1 ), var(x 2 ) (0, ). Der Koeffizient der linearen Korrelation ρ L (X 1, X 2 ) ist folgendermaßen gegeben: ρ L (X 1, X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) var(x1 )var(x 2 ) X 1 und X 2 sind unabhängig ρ L (X 1, X 2 ) = 0 ρ L (X 1, X 2 ) = 0 impliziert nicht, dass X 1 und X 2 unabhängig sind Beispiel 3 Sei X 1 N(0,1) und X 2 = X 2 1. Es gilt ρ L(X 1, X 2 ) = 0 aber X 1 und X 2 sind klarerweise abhängig. Weiters gilt: ρ L (X 1, X 2 ) = 1 α, β IR, β 0, sodass X 2 = α + βx 1 und signum(β) = signum(ρ L (X 1, X 2 )) Der lineare Korrelationskoeff. ist eine Invariante unter streng monoton steigende lineare Transformationen, ist jedoch keine Invariante unter streng monoton steigende nichtlineare Transformationen. 4

5 Übung 2 Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Seien α 1, α 2, β 1, β 2 IR, β 1 > 0 und β 2 > 0. Zeigen Sie, dass ρ L (α 1 + β 1 X 1, α 2 + β 2 X 2 ) = ρ L (X 1, X 2 ). Rang Korrelation Die Koeffizienten der Rang Korrelation (Spearmans rho und Kendalls tau) sind Maße für die Übereinstimmung von bivariaten Zufallsvektoren. Seien (x 1, x 2 ) und ( x 1, x 2 ) zwei Punkte in IR 2. Die zwei Punkte heißen übereinstimmend wenn (x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) > 0 und nicht übereinstimmend wenn (x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) < 0. Seien (X 1, X 2 ) und ( X 1, X 2 ) zwei unabhängige Zufallsvektoren mit gemeinsamer bivariate Verteilung. Die Kendall s Tau ρ τ ist definiert als ρ τ (X 1, X 2 ) = P ( (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0 ) P ( (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0 ) Sei ( ˆX 1, ˆX 2 ) ein dritter von (X 1, X 2 ) und ( X 1, X 2 ) unahängiger Zufallsvektor mit derselben Verteilung wie (X 1, X 2 ) und ( X 1, X 2 ). Die Spearman s Rho ρ S ist definiert als ρ S (X 1, X 2 ) = P ( (X 1 X 1 )(X 2 ˆX 2 ) > 0 ) P ( (X 1 X 1 )(X 2 ˆX 2 ) < 0 ) 5

6 Einige Eigenschaften von ρ τ und ρ S : ρ τ (X 1, X 2 ) [ 1,1] und ρ S (X 1, X 2 ) [ 1,1]. Wenn X 1 und X 2 unabhängig, dann ρ τ (X 1, X 2 ) = ρ S (X 1, X 2 ) = 0. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Sei T:IR IR eine streng monoton steigende Funktion. Dann gilt: ρ τ (T(X 1 ), T(X 2 )) = ρ τ (X 1, X 2 ) ρ S (T(X 1 ), T(X 2 )) = ρ S (X 1, X 2 ) 6