Kapitel 1. Einleitung. 1.1 Einführung in die Thematik und Motivation

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1 1 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Einführung in die Thematik und Motivation Im Zentrum des Interesses zahlreicher Fragestellungen der Finanzmarkttheorie sowie der angewandten Statistik stehen die Modellierung und Analyse der einem Zufallsvektor zugeordneten gemeinsamen Verteilung. Diese fasst sowohl das Randverhalten als auch die zwischen den Zufallsvariablen bestehenden Abhängigkeiten in einer Funktion in mehreren Variablen zusammen. Die übliche Herangehensweise für die Modellierung der gemeinsamen Verteilung eines Zufallsvektors bestand dabei klassischerweise darin, Verteilungsannahmen für die Ränder zu treffen, für die die gemeinsame Verteilung leicht analytisch bestimmt werden konnte. So fanden (und finden) insbesondere multivariate Normal-, Log-Normal-, Gamma- und Extremwertverteilungen häufig Anwendung in den Modellen der Finanz- und Versicherungsmathematik. Der größte Nachteil dieser Herangehensweise ist jedoch, dass die Annahme einer bestimmten, leicht modellierbaren gemeinsamen Verteilung die Verteilung der univariaten Ränder des Zufallsvektors vorgibt. Im Endeffekt können somit das univariate Randverhalten und die Abhängigkeitsstruktur eines Zufallsvektors nicht separat voneinander modelliert werden. Trotz dieser Einschränkung basieren zahlreiche Modelle der klassischen Kapitalmarkttheorie aber auch des zeitgenössischen quantitativen Risikomanagements auf diesem Ansatz und unterstellen bspw. für die gemeinsame Verteilung von Risikoportfeuilles eine multivariate Normalverteilung. Die Annahme normalverteilter Risiken und der damit verbundenen Gleichsetzung von stochastischer Abhängigkeit und linearer Korrelation kann jedoch in praxisrelevanten Fällen zur Fehlspezifikation statistischer Modelle führen. Embrechts et al. schlugen daher bereits 2002 einen alternativen Weg zur Modellierung multivariater Verteilungen vor, in dem die eigentliche Modellierung in zwei Teile aufgespaltet wird: die Modellierung der univariaten Randverteilungen und der separaten 1

2 1.1. EINFÜHRUNG IN DIE THEMATIK UND MOTIVATION 2 Modellierung der Abhängigkeitsstruktur zwischen den Randverteilungen. Während für die Modellierung der Randverteilungen klassische univariate parametrische und nichtparametrische Verteilungen herangezogen werden können, kann die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur durch spezielle Verteilungsfunktionen, den sogenannten Copulas, erfolgen. Copulas stellen vereinfacht gesprochen Verteilungsfunktionen dar, die die in einer gemeinsamen Verteilung inhärente Abhängigkeitsstruktur vollständig erfassen. Mit ihrer Hilfe kann die Modellierung einer multivariaten Verteilung so erfolgen, dass zunächst beliebige parametrische Verteilungen für die univariaten Ränder unterstellt und angepasst werden, bevor für die Abhängigkeitsstruktur des Zufallsvektors eine parametrische Copula ausgewählt wird. Der entscheidende Vorteil dieser Vorgehensweise besteht offensichtlich darin, dass die Randverteilungen auf Grund der Aufspaltung des Problems der Modellierung der gemeinsamen Verteilung nicht mehr aus der gleichen parametrischen Verteilungsfamilie kommen müssen wie die gemeinsame Verteilung. So können bspw. eine Normal- und eine Gamma-Verteilung mit einer beliebigen parametrischen Copula kombiniert werden, um so eine multivariate gemeinsame Verteilung zu generieren. Zugleich stellt der zentrale Satz von Sklar sicher, dass aus stetigen Randverteilungen und einer Copula stets eine eindeutig bestimmte multivariate Verteilung resultiert. Umgekehrt lässt sich somit aus multivariaten Verteilungen mit bekannten stetigen Rändern stets eine eindeutige Copula extrahieren, die ihrerseits auf andere Randverteilungen angewendet werden kann. Die überaus hohe Flexibilität dieses Modellierungsansatzes hat dazu geführt, dass Copula-Modelle gerade im Bereich der Finanz- und Versicherungsmathematik aber auch in anderen Bereichen der angewandten Mathematik sehr an Beliebtheit gewonnen haben. Während die mathematischen Grundlagen von Copulas vergleichsweise gut erforscht sind, existieren in der inferentiell-statistischen Analyse der Copulas noch zahlreiche ungelöste Probleme, die ebenfalls eine hohe Praxisrelevanz aufweisen. So erfordert die Anwendung eines Copula-Modells auf eine finanzwirtschaftliche Fragestellung grundsätzlich die Auswahl einer parametrischen Copula aus einer Menge an bekannten Copulas so-

3 1.1. EINFÜHRUNG IN DIE THEMATIK UND MOTIVATION 3 wie die anschließende Schätzung der Copula-Parameter auf der Basis historischer Daten. Die erste Aufgabe hinsichtlich der Auswahl einer geeigneten parametrischen Copula stellt zugleich das größte ungelöste Problem dieses Forschungszweiges dar. Ohne realistische Aussicht auf eine analytische Lösung dieser Frage sind in der Literatur zwei Ansätze beobachtbar, die auf empirischem Weg eine Lösung dieser Frage bezwecken: Zum einen kann die parametrische Copula allein auf Basis von Vermutungen hinsichtlich der einem Datensatz inhärenten Abhängigkeitsstruktur gewählt werden. Zum anderen kann die Auswahl der Copula auf inferentiell-statistischem Wege über die Verwendung von Anpassungstests erfolgen. Gerade zu dem letztgenannten Ansatz sind in den letzten Jahren vermehrt theoretische Abhandlungen und Simulationsstudien veröffentlicht worden, in denen spezielle Anpassungstests für Copulas vorgeschlagen und ihre Teststärke überprüft wurden. Eine empirische Überprüfung der Stärke verschiedener Anpassungstests für Copulas im Hinblick auf ihre Eignung für das quantitative Risikomanagement ist indes bislang noch nicht erfolgt.

4 4 Kapitel 2 Copula-Funktionen 2.1 Einleitung In vielen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften besteht ein Interesse an der Bestimmung einer gemeinsamen multivariaten Zufallsverteilung auf der Basis einer gegebenen Menge von eindimensionalen Randverteilungen. Ein Beispiel hierfür ist die Quantifizierung des Gesamtbankrisikos im Rahmen eines ganzheitlichen Risikomanagements einer Bank. Dieses Gesamtrisiko setzt sich zusammen aus den einzelnen Risikopositionen einer Bank unter Berücksichtigung von Abhängigkeiten zwischen den eingegangenen Positionen. Erst eine Quantifizierung der Einzelrisiken ermöglicht es, die Höhe des Gesamtbankrisikos (bspw. durch die Berechnung eines quantil-basierten Risikomaßes wie dem Value-at-Risk bzw. dem wegen seiner Kohärenz vorzuziehenden Conditional-Value-at- Risk) näherungsweise zu messen und somit zu steuern. Im Zusammenhang mit der Bestimmung der gemeinsamen Verteilung eines Zufallsvektors wird in der Literatur verstärkt der Einsatz sogenannter Copula-Funktionen diskutiert. Mithilfe dieser Funktionen kann die, einer multivariaten Verteilung inhärente, Abhängigkeitsstruktur getrennt von der Bestimmung der Randverteilungen modelliert werden. Daneben weisen Copula-Funktionen den Vorteil auf, dass mit ihnen die komplette Abhängigkeitsstruktur einer multivariaten Verteilung beschrieben werden kann. Somit erweitern sie die bisher im Risikomanagement vorherrschenden korrelationsbasierten Abhängigkeitsmodelle, die ausschließlich beim Vorliegen elliptischer Verteilungen (z.b. der Normalverteilung) adäquat sind (vgl. McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 201).

5 2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN Charakteristika von Copula-Funktionen Auf Grund der zuvor beschriebenen Möglichkeit zur Modellierung der gesamten stochastischen Abhängigkeitsstruktur zwischen Zufallsvariablen sind Copula-Funktionen (kurz: Copula bzw. Copulae) verstärkt in den Fokus der Wissenschaft geraten: Im Gegensatz zu klassischen Abhängigkeitsmaßen wie dem Bravais-Pearson schen Korrelationskoeffizienten, dem Spearman-Pearson schen Rangkorrelationskoeffizienten oder Kendalls Tau können mit einer Copula somit auch nichtlineare Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren Variablen erfasst werden. Im Folgenden werden Copulae definiert und wichtige Eigenschaften beschrieben. Der formal-mathematischen Einleitung folgt eine visuelle Veranschaulichung, die den Zugang zu den Formeln unterstützen soll. Eine d-dimensionale Copula ist definiert als eine d-variate Verteilungsfunktion mit gleichverteilten Randverteilungen. Die Bedeutung von Copula-Funktionen für die anwendungsorientierte Mathematik wird in dem Satz von Sklar deutlich, der die besondere Eignung von Copula-Funktionen für die Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen aufzeigt und gleichzeitig die Existenz einer eindeutigen Copula unter relativ schwachen Bedingungen sichert. Satz (Sklar): Sei F (x 1,x 2,...,x d ) die gemeinsame Verteilungsfunktion eines d-variaten Zufallsvektors (X 1,X 2,...,X d ) mit den Randverteilungen F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d ). Dann gibt es eine d-dimensionale Copula C, sodass für alle x R d gilt: F (x 1,x 2,...,x d )=C(F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d )). (2.1) Sind die Randverteilungen F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d ) zudem stetig, so ist die Copula C eindeutig. Copulae können als funktionale Vorschrift verstanden werden, die zwei oder mehrere eindimensionale Randverteilungen (also bspw. eine Normal- und eine Student-t-Verteilung) zu einer beliebigen gemeinsamen Verteilung miteinander verknüpfen. Sie beschreiben somit eine eindeutige Form der stochastischen (Un-)Abhängigkeit zwischen mehreren Zufallsvariablen. Aus der formalen Definition einer Copula als Verteilungsfunktion auf dem d-dimensionalen Einheitskubus ergeben sich sofort entsprechende analoge Eigenschaften. Neben diesen Eigenschaften als Verteilungsfunktion kann jede Copula durch die sogenannten Fréchet-Hoeffding-Schranken nach oben und nach unten abgeschätzt werden, wobei die untere (obere) Schranke als W -Copula (M-Copula) bezeichnet wird:

6 2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN 6 W (u 1,u 2,...,u d ) C (u 1,u 2,...,u d ) M (u 1,u 2,...,u d ) mit { W (u 1,u 2,...,u d ) := max 1 d + M (u 1,u 2,...,u d ) := min i {1;...;d} u i, } d u i ;0 i=1 und wobei i {i;...; d} : u i [0; 1] gilt. Diese Schranken stellen außerdem selber Copula- Funktionen dar (M ist grundsätzlich eine Copula, W nur für d<3). Die einfachste und bekannteste Copula ist die Produkt-Copula Π, mit der die stochastische Unabhängigkeit zwischen Zufallsvariablen modelliert werden kann. Sind die Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X d stochastisch unabhängig mit Verteilungsfunktionen F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ), so gilt für die gemeinsame Verteilung F (x 1,x 2,...,x d )=Π(F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d )) = F 1 (x 1 ) F 2 (x 2 )... F d (x d ). Zum besseren intuitiven Zugriff auf die formal-mathematische Charakterisierung soll an dieser Stelle die visuelle Darstellung der drei bisher vorgestellten Copula-Funktionen ermöglicht werden. Die folgende Abbildung 2.1 zeigt die Funktionsgraphen und die dazugehörigen Contour-Diagramme der W -Copula, der Produkt-Copula Π und der M-Copula. Hierbei sind in den Contour-Diagrammen die Höhenlinien des jeweiligen Funktionsgraphen eingezeichnet.

7 C(,) C(,) C(,) 2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN 7 W Copula Produkt Copula M Copula W Copula Produkt Copula M Copula Abbildung 2.1: Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der W-, Produkt- und M-Copula. Neben diesen drei Copula-Funktionen existieren zahlreiche weitere Copula-Funktionen, die teilweise von bekannten mehrdimensionalen Verteilungen wie z.b. der Normal- oder der Student-t-Verteilung abgeleitet werden. Die aus einer bivariaten Normalverteilung extrahierte Gauß-Copula kann implizit als Doppelintegral angegeben werden: C Gauß ρ (u 1,u 2 ):= mit ρ < 1. Φ 1 (u 1 ) Φ 1 (u 2 ) 1 exp 2π(1 ρ 2 ) 1/2 { (s 2 1 2ρs 1 s 2 + s 2 2 ) 2(1 ρ) 2 } ds 1 ds 2, Dabei bezeichnet Φ 1 die Inverse der Verteilungsfunktion einer eindimensionalen Standardnormalverteilung. Parametrisiert wird die Gauß-Copula durch den Parameter ρ, der dem Korrelationskoeffizienten der ursprünglichen bivariaten Normalverteilung entspricht (beim Einsetzen von zwei Standardnormalverteilungen in C Gauß ρ (u 1,u 2 ) ist ρ gerade der Korrelationskoeffizient der gemeinsamen zweidimensionalen Normalverteilung). Ähnlich wie bei der Normalverteilung kann mit dem Satz von Sklar aus jeder multivariaten Vertei-

8 C(,) C(,) 2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN 8 lung mit stetigen Randverteilungen eine Copula extrahiert werden, so bspw. die t-copula: [ Cν,P t (u 1,u 2,...,u d ):=t ν,p t 1 ν (u 1 ),...,t 1 ν (u d ) ]. Hierbei bezeichnet P eine Korrelationsmatrix, t ν die Verteilungsfunktion einer t-verteilung mit ν Freiheitsgraden und t ν,p die gemeinsame Verteilungsfunktion des d-dimensional t-verteilten Zufallsvektors X t d (ν, 0,P). Da sowohl Gauß- als auch t-copula aus sogenannten elliptischen Verteilungen generiert werden, bezeichnet man diese als elliptische Copulae (eine Beschreibung der Eigenschaften von elliptischen Verteilungen findet sich bei McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 93). Die Funktionsgraphen und Contour- Diagramme für zwei mögliche Parametrisierungen der bivariaten Gauß- bzw. t-copula werden in Abbildung 2.2 gezeigt (der Parameter ρ beträgt jeweils 0,4, der Parameter ν wurde auf 3 gesetzt). Gauss Copula t Copula Gauss Copula t Copula Abbildung 2.2: Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der Gauß- und t-copula.

9 2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN 9 Als Beispiele für Copulae, für die explizite Definitionsgleichungen existieren, sollen nachfolgend die Gumbel- und Clayton-Copula definiert werden. Diese gehören zur Familie der sogenannten Archimedischen Copula-Funktionen, die sich insbesondere auf Grund der Möglichkeit der Ineinanderschachtelung mehrerer bivariater archimedischer Copulae für den Einsatz in höheren Dimensionen auszeichnen. Die bivariate Gumbel- und Clayton- Copula sind definiert als: C Gumbel { ( θ (u 1,u 2 ) := exp ( ln u 1 ) θ +( ln u 2 ) θ) } 1/θ, mit 1 θ< und C Clayton θ (u 1,u 2 ) := ( u θ 1 + u θ 2 1 ) 1/θ, mit 0 <θ<. Abbildung 2.3 zeigt die Funktionsgraphen und Contour-Diagramme für die Clayton- bzw. Gumbel-Copula (θ =2).

10 C(,) C(,) 2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN 10 Clayton Copula Gumbel Copula Clayton Copula Gumbel Copula Abbildung 2.3: Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der Clayton- und Gumbel- Copula. Ein analytisches Verfahren für die Bestimmung einer optimalen Parametrisierung, und damit der eindeutigen, wahren Copula im Falle, dass die univariaten Randverteilungen und die gemeinsame Verteilung vorgegeben sind, ist hingegen nicht bekannt. Eine wichtige Erkenntnis aus dem Satz von Sklar ist die Möglichkeit, beliebige multivariate Verteilungen zu konstruieren. Sind die stetigen Randverteilungen F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ) und eine Copula C bekannt, so kann die eindeutig bestimmte gemeinsame Verteilungsfunktion F (x 1,x 2,...,x d ) durch einfaches Einsetzen der Randverteilungen in C bestimmt werden. Die so konstruierten multivariaten Verteilungsfunktionen werden als Meta-Copula-Verteilungen bezeichnet (z.b. Meta-Normal- oder Meta-t-Verteilung; Anleitungen zur Erzeugung von Meta-Copula-Verteilungen und zur Simulation von Copula- Funktionen finden sich u.a. in McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 193ff.).

11 2.3. ANWENDUNGSMÖGLICHKEITEN VON COPULA-FUNKTIONEN IM RISIKOMANAGEMENT Anwendungsmöglichkeiten von Copula-Funktionen im Risikomanagement Copula-Funktionen können grundsätzlich auf zwei Weisen sinnvoll im Risikomanagement verwendet werden. Die erste Möglichkeit besteht darin, bei Kenntnis der Verteilungen der Einzelrisiken diese mit Hilfe einer bekannten oder aus Vergangenheitswerten geschätzten Copula zur gemeinsamen (Meta-Copula-)Verteilung zu verknüpfen. Hierbei wird die Copula so gewählt, dass sie die vermutete Abhängigkeitsstruktur zwischen den einzelnen Risikopositionen möglichst gut annähert. Die besondere Bedeutung dieser Modelle für das Risikomanagement liegt in der Fähigkeit dieser Modelle, sowohl lineare als auch nichtlineare Abhängigkeiten zwischen den Risikopositionen abbilden zu können. Hierdurch können Diversifikationseffekte in der Bestimmung des Gesamtbankrisikos viel stärker berücksichtigt werden, als es bspw. mit anderen Verfahren wie der Annahme normalverteilter Risiken möglich wäre. Mit der so bestimmten gemeinsamen Verteilung der Gewinne und Verluste kann eine Bank anschließend ein (kohärentes) quantil-basiertes Risikomaß für die (diversifizierte) Gesamtbank bestimmen. Die zweite Möglichkeit des Einsatzes von Copula-Funktionen im Risikomanagement besteht in der Analyse von Abhängigkeitsstrukturen in einem gegebenen Datensatz (vgl. z.b. Junker/May, 2005). In diesem Fall besteht die Vorgehensweise in der Wahl einer parametrisierten Copula, deren Parameter aus dem Datensatz heraus geschätzt werden sollen. Die resultierenden Parameter und die funktionale Form der vollständig parametrisierten Copula können dann anschließend hinsichtlich der Frage untersucht werden, welche Art von Abhängigkeit zwischen den Randverteilungen besteht. Im Risikomanagement werden daher Copula-Funktionen verstärkt eingesetzt, um wiederkehrende Muster in der Abhängigkeitsstruktur verschiedener Risikoarten (z.b. Marktpreis- oder Kreditrisiken) untereinander zu identifizieren. Offensichtlich besteht die größte Schwierigkeit bei beiden Vorgehensweisen in der Wahl der wahren Copula (nach dem Satz von Sklar ist sie unter schwachen Voraussetzungen eindeutig). Obwohl zahlreiche Klassen von Copula-Funktionen bereits identifiziert worden sind, kann die Mehrzahl dieser Funktionen nicht in geschlossener analytischer Form angegeben werden. Ebenso kann die Wahl der Parameter der Copula in der Praxis Probleme bereiten (bspw. sollte die Gauß-Copula nicht mit der empirischen Korrelationsmatrix, sondern dem paarweisen Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman kalibriert werden,

12 2.3. ANWENDUNGSMÖGLICHKEITEN VON COPULA-FUNKTIONEN IM RISIKOMANAGEMENT 12 vgl. McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 230). Empirische Ergebnisse deuten zudem darauf hin, dass die Wahl einer falschen parametrischen Form der Copula zu erheblichen Fehlern bei der anschließenden Berechnung von Quantilen führen kann (vgl. Ané/Kharoubi (2003)). Aus diesem Grund sind in der jüngsten Vergangenheit von zahlreichen Autoren Goodness-of-fit-Tests vorgeschlagen worden, die die Anpassungsgüte einer geschätzten parametrischen Copula durch einen Vergleich mit dem Copula-Analogon zur empirischen Verteilungsfunktion (der sogenannten Empirischen Copula nach Deheuvels) zu beurteilen versuchen (vgl. z.b. Kole/Koedijk/Verbeek, 2007; Scaillet, 2007 und Fermanian, 2005).