EINE EINFÜHRUNG IN COPULAS

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1 EINE EINFÜHRUNG IN COPULAS Johanna Neslehova ETH Zürich Embrechts and Neslehova,

2 The Perfect Storm Extreme, synchronized rises and falls in financial markets occur infrequently but they do occur. The problem with the models is that they did not assign a high enough chance of occurrence to the scenario in which many things go wrong at the same time - the perfect storm scenario (Business Week, September 1998) Embrechts and Neslehova,

3 Korrelation Modellierung der Abhängigkeit gehört zu den grundlegendsten Fragen des Quantitativen Risikomanagements Der lineare Korrelationskoeffizient ist ein Standardwerkzeug Es gibt jedoch Probleme Embrechts and Neslehova,

4 Lineare Korrelation Die gleichen Randverteilungen Die gleiche lineare Korrelation Jedoch: deutlich unterschiedlich! Embrechts and Neslehova,

5 Einige reelle Daten Black Monday Berlin Wall Kreml Embrechts and Neslehova,

6 Zusammenfassung Hauptproblem: das Gesamtmodell wird von den Randverteilungen und der linearen Korrelation allein nicht eindeutig festgelegt Frage: wie kann man Modelle konstruieren, die die Struktur der (BMW, Siemens) Daten widerspiegeln Ein möglicher Ansatz: Copulas Embrechts and Neslehova,

7 Simulation einer Zufallsvariablen Zur Erinnerung: Simulation einer univariaten Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion F 1. Erzeuge eine gleichverteilte U[0,1] Zufallsvariable U 2. Berechne die Inverse von F 3. Wende die Inverse von F auf U an Für F stetig gilt die Umkehrung: Wird die empirische Verteilungsfunktion auf die Daten angewendet, so ergeben sich Ränge Die Verteilung der Ränge ist die Gleichverteilung auf [0,1] und damit unabhängig von F Embrechts and Neslehova,

8 Definition einer Copula F sei die Verteilungsfunktion eines d-dimensionalen Zufallsvektors F1,,Fd seien die Randverteilungsfunktionen von F Im multivariaten Fall: C wird als Copula(funktion) bezeichnet C ist eine Verteilungsfunktion auf dem d-dim. Einheitswürfel mit gleichverteilten Randverteilungen Embrechts and Neslehova,

9 Der Satz von Sklar Embrechts and Neslehova,

10 Der Satz von Sklar Embrechts and Neslehova,

11 Bedeutung für die Praxis Copula Engineering: 1. Lege die Randverteilungen F1,,Fd der zugrunde liegenden Risikofaktoren fest 2. Jede Copula C liefert ein gemeinsames Modell, das konsistent mit der Marginalinformation ist 3. Schränke die Wahl von C ein, um vorhandene Information über die Abhängigkeitsstruktur einzubeziehen Viele Lösungen möglich! Embrechts and Neslehova,

12 Generierung von Copulas Copula Rezepte: 1. Gegeben eine multivariate Verteilungsfunktion F 2. Berechne die Randverteilungen F1,,Fd 3. Berechne die zugrunde liegende Copula via Beachte: die Copula eines Zufallsvektors ist invariant unter streng wachsender Transformationen der Randverteilungen Embrechts and Neslehova,

13 Copulas and Ranks For us the true importance of copulas lies in the combination of Sklar s theorem and the fact that the copula is invariant under strictly increasing transformation. The copula captures precisely those properties of the joint distribution which are invariant under increasing transformations. Hence, the study of rank statistics may be characterized as the study of copulas and copula-invariant properties. Berthold Schweizer Embrechts and Neslehova,

14 Klassische Beispiele Gausscopula 1. Nehme F als die vf. einer multivariaten Normalverteilung mit gegebener Kovarianzmatrix und gegebenem Erwartungswert 2. Die Randverteilungen sind somit univariate Normalverteilungen 3. Beachte: keine geschlossene Form; numerische Integration erforderlich t Copula 1. Nehme F als die vf. einer multivariaten Studentschen t Verteilung mit gegebener Kovarianzmatrix, Erwartungswert und Freiheitsgraden 2. Beachte: keine geschlossene Form; numerische Integration erforderlich Embrechts and Neslehova,

15 Andere Beispiele von Copulas Wie ein Kochbuch Unabhängigkeitscopula Komonotoniecopula Gumbel Copula Clayton, Archimedische Copulas und viele andere Beispiele Embrechts and Neslehova,

16 Zurück zur linearen Korrelation Linkes Bild: Standard-normalverteilte Ränder und Gausscopula mit Korrelation 70% Rechtes Bild: Standard-normalverteilte Ränder und t Copula mit Korrelation 70% und 4 Freiheitsgraden Embrechts and Neslehova,

17 Zurück zum BMW Siemens Beispiel Schätzen der Randverteilungen Schätzen der Gausscopula Embrechts and Neslehova,

18 Zurück zum BMW Siemens Beispiel: Fortsetzung Schätzen der Randverteilungen Schätzen der t Copula Embrechts and Neslehova,

19 Fréchet-Hoeffding Schranken Maurice Fréchet Wasilly Hoeffding Embrechts and Neslehova,

20 Fréchet-Hoeffding Ungleichung Linke Seite: Wird als die Fréchet-Hoeffding Untergrenze bezeichnet Ist eine Copula nur für d = 2 d = 2 entspricht der perfekten negativen Abhängigkeit oder Kontramonotonie. Rechte Seite: Wird als die Fréchet-Hoeffding Obergrenze bezeichnet Ist eine Copula in jeder Dimension Entspricht der perfekten positiven Abhängigkeit oder Komonotonie Embrechts and Neslehova,

21 Schlussfolgerungen Zwei Zufallsvariablen sind komonoton, wenn die eine eine monoton wachsende Funktion der anderen ist Zwei Zufallsvariablen sind kontramonoton, wenn die eine eine monoton fallende Funktion der anderen ist Embrechts and Neslehova,

22 Schlussfolgerungen Embrechts and Neslehova,

23 Schlussfolgerungen Für = 3 gibt es zum Beispiel kein gemeinsames Modell, in dem die Korrelation 50% betragen würde Für groß konvergiert die Korrelation sogar im Fall der Komonotonie (entspricht der maximalen Korrelation) gegen Null Embrechts and Neslehova,

24 Schlussfolgerungen Gegeben die Marginalinformation und die lineare Korrelation gibt es entweder mehrere Modelle oder kein einziges Modell das mit dieser Information konsistent ist Grund: linearer Korrelationskoeffizient hängt von den Randverteilungen ab Lineare Korrelation ist nicht invariant unter monoton wachsenden Transformationen der Randverteilungen Embrechts and Neslehova,

25 Alternative Korrelationsmasse Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Kendallscher Rangkorrelationskoeffizient Die Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman und Kendall hängen allein von der Copula ab Bei gegebenen Randverteilungen ist der Wertebereich der Rangkorrelationen von Spearman und Kendall das gesamte Intervall [-1,1] Anwendungen im Risikomanagement, insbesondere in Kreditrisikomanagement Embrechts and Neslehova,

26 Vergleich mit der linearen Korrelation Im Gegensatz dazu gilt für den Korrelationskoeffizienten die folgende Formel Diese Darstellung zusammen mit den Fréchet-Hoeffding Grenzen erklärt den eingeschränkten Wertebereich des linearen Korrelationskoeffizienten Embrechts and Neslehova,

27 Eine Anwendung im Kreditrisikomanagement Copulamodelle sind im Bereich des Kreditrisikomanagements sehr nützlich Zur Erinnerung gilt im klassischen Merton Modell: Verzug geschieht falls der Wert der Gesellschaft am Jahresende unterhalb einer Schranke liegt Der Wert der Gesellschaft wird mittels der geometrischen Brownschen Bewegung modelliert Der (logarithmische) Wert am Ende des Jahres ist normalverteilt Gemeinsamer Verzug mehrerer Gesellschaften wird mittels der multivariaten Normalverteilung beschrieben Implementierung: KMV, CreditMetrics Alternativen und Erweiterungen: Das Modell von Li und andere copulabasierte Techniken, Embrechts and Neslehova,

28 Simulationsbeispiel Embrechts and Neslehova,

29 Simulationsbeispiel: Fortsetzung Embrechts and Neslehova,

30 Randabhängigkeit Wie kann die Abhängigkeitsstruktur in den Randbereichen einer Verteilung quantifiziert werden? Embrechts and Neslehova,

31 Koeffizient der Randabhängigkeit Der Koeffizient der Abhängigkeit im oberen Rand: Der Koeffizient der Abhängigkeit im unteren Rand: Beide Koeffizienten hängen allein von der zugrunde liegenden Copula ab Embrechts and Neslehova,

32 Koeffizienten der Randabhängigkeit: Eigenschaften Die Koeffizienten erfüllen Interpretation: u ( 0,1] or l ( 0,1] Abhängigkeit im oberen bzw. unteren Rand Asymptotische Unabhängigkeit im oberen bzw. unteren Rand Für die Gausscopula gilt Für die t Copula gilt u = 0 or l = 0 u = l = 0 Embrechts and Neslehova,

33 Gemeinsame Randwahrscheinlichkeiten Die Tabelle gibt die Faktoren an, mit denen die Gaußschen Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren sind Embrechts and Neslehova,

34 Warnung Korrelationsmasse fassen die gesamte Abhängigkeitsstruktur in eine einzelne Zahl zusammen Im allgemeinen leicht zu bestimmen/schätzen Ausreichend in bestimmten Modellen (normal, Student t, elliptisch) Jedoch: darüber hinaus völlig unzureichend Copulas liefern die vollständige Information Richtige Copula? Modellauswahl basierend auf Daten ist schwierig Statistische Analyse, Schätzen, Testen, Goodness of fit? Zu starke Vereinfachung sowie Modelle, die sich nach verfügbaren statistischen Werkzeugen richten, können sehr irreführend sein Embrechts and Neslehova,

35 Schranken für Risikomasse Value-at-Risk von einer Summe von d Risiken Fréchet-Hoeffding Ungleichung liefert die Schranken Häufiger Fehlschluss: die obere Schranke ergibt sich für komonotone Risiken Obwohl dies in vielen Situationen der Fall ist, Copula basierte Ansätze führen zu praxisrelevanten Fällen in denen gilt Beitrag zur heutigen Debatte über Subadditivität von VaR, Diversifikation und Aggregation von Risiken; besonders relevant für Stresstesting im Rahmen von Basel II (Bankwesen) und Solvency 2 (Versicherungswesen) Embrechts and Neslehova,

36 Copulas: eine Bewertung Bisher haben wir die Vorteile von Copulas hervorgehoben Pädagogisches Werkzeug: über die lineare Korrelation hinaus Stresstesting: mit sichtbaren Anwendungen im Quantitativen Risikomanagement Dies ist jedoch nur der Anfang und viele Fragen bleiben offen Innerhalb der dargestellten Theorie der Copulas Außerhalb der dargestellten Theorie Anwendungen: Vorteile und Grenzen Copula orientierte Datenanalyse wird intensiv betrieben Embrechts and Neslehova,

37 Reelle Daten Dynamische Modelle, Lévy copulas Diskrete Copulas Multivariate Extrema und Randabhängigkeit Geeignete hochdimensionale Modelle Statistische Analyse, Embrechts and Neslehova,

38 Copulas: kritische Anmerkungen Copula craze: Google Suche ergab Referenzen in 2003 und über 1 Mio. in Copulas haben den akademischen Boden verlassen: How a formula ignited market that burned some big investors (September 12, 2005 Wall Street Journal) Embrechts and Neslehova,

39 Copulas: kritische Anmerkungen But he does not wear any clothes said the little child in Hans Christian Andersen s The Emperor s New Clothes. My main concern is that this very simple concept might be something like the emperor s new clothes because it promises to solve all problems of stochastic dependence but it falls short in achieving the goal. (Thomas Mikosch) Embrechts and Neslehova,

40 Copulas: wie wir sie sehen Copulas sind auf jeden Fall ein interessantes Werkzeug, das das Verständnis der Abhängigkeit über die lineare Korrelation hinaus ermöglicht Viele nützliche, bewährte Anwendungen im Quantitativen Risikomanagement und Versicherungsmathematik In der Praxis liegt die verfügbare Information oft in einer Zweistufenform vor: Information über die Randverteilungen gefolgt von Information über die Abhängigkeitsstruktur Dies führt auf natürliche Weise zu Copulas Komplexität von realen Problemen verschwindet durch Verwendung von Copulamodellen nicht Copulas sollen stets im Rahmen der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik betrachten werden Embrechts and Neslehova,

41 Literatur Embrechts and Neslehova,