Evaluating Liquidation Strategies for Insurance Companies

Transkript

1 Graduiertenkolleg Risikomanagement Universität zu Köln Evaluating Liquidation Strategies for Insurance Companies T. Berry-Stölzle 4. Kölner Workshop Quantitative Finanzmarktforschung 13. November 2004

2 Übersicht 1. Fragestellung 2. Modell 3. Vergleich von Strategien 4. Parametervariation 5. Zusammenfassung 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 2

3 1. Fragestellung Sachversicherungsunternehmen befinden sich öfters in der Situation, dass sie an einem Tag mehr Geld für Schäden ausgeben müssen, als ihnen durch Prämieneinnahmen zufließt. Sie müssen dann Kapitalanlagen liquidieren. Fragen: Wie soll vorgegangen werden? Welche Liquidationsstrategie soll benutzt werden? Wie können Strategien verglichen werden? Gibt es Größen, die Einfluss auf optimale Strategien haben? 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 3

4 Literatur Liquidationsmodelle: Berstimas/Lo (1998) Almgren/Chriss (2000) Hubermann/Stanzl (2000) Untersuchen dynamische Verkaufsstrategien, minimieren erwartete Transaktionskosten. Duffie/Ziegler (2003) Beim Verkauf kann zwischen mehreren Anlagen gewählt werden. 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 4

5 Herangehensweise 1 Idee: Kombination dynamischer Liquidationsmodelle aus finanzwirtschaftl. Literatur mit kollektivem Modell der Risikotheorie zu einem Gesamtmodell eines Sachversicherungsunternehmens auf Zahlungsstromebene. Annahme: Versicherungsgeschäft konstant über die Zeit. Einfach eine Periode aus dem Fluss herausgreifen. Betrachtungszeitraum: 1 Jahr 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 5

6 Herangehensweise 2 Alle Prämien für diese Jahr wurden vor Jahresbeginn (vorschüssig) einbezahlt. Dieses Kapital ist bereits angelegt in Bargeld, liquide und illiquide Anlagen. Es wird bei Schadeneintritt jeweils soviel verkauft, wie zur Deckung des Schadens nötig ist. Vergleich von Verkaufsstrategien bei verschiedenen Parameterkonstellationen mittels Simulation 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 6

7 2. Modell Versicherungsgeschäft: Kollektives Modell der Risikotheorie Zwischenankunftszeiten der Schadenzahlungen: Schadenhöhen: und unabhängig von {T i } Kumulierter Gesamtschaden im Intervall (0,t] folgt Yt () N() t = U i= 1 { U, i 1}, iid i i { T, i 1} Exp( λ), iid i mit Nt () = Ι Tk t i= 1 k= 1 Kumulierter Gesamtschaden in einer Periode (t n-1,t n ],n=1,...,365 Cn = Y( tn) Y( tn 1) 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 7 i

8 Modellierung der Kursentwicklungen Es gibt drei verschiedene Anlagen: Bargeld (0), eine (relativ) liquide Anlage (1) und eine illiquide (2) Bargeld wird stetig verzinst: S exp( ) 0, t = S0,0 rt Midquote des liquiden Titels folgt geom. Brownscher Bewegung: ( µ σ t) S = S exp t+ B 1, t 1, , Analog für den illiquiden Titel: S = S 2 exp µ t+ σ ρb + 1 ρ B ( ) 2, t 2, , t 2, t B1, t, B2, t,... unabhängige Standard-Brownsche Bewegungen Sorgt für Korrelation der Anlagen 1 und November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 8

9 Modellierung der Spreads X it, bezeichnet den relativen Bid-Spread, der absolute ist dann S 1 X, i = 1,2 ( ) it, it, Es wird angenommen, dass der relative Bid-Spread der liquiden Anlage sich folgendermaßen entwickelt: 2 dx = κ µ X dt + σ X d ρ B + 1 ρ B Analog für den illiquiden Titel: ( ) ( ) 1, t 1 3 1, t 3 1, t 1 1, t 1 3, t ( ) ( ) dx = κ µ X dt + σ X d ρ ρb + 1 ρ B + 1 ρ B 2 2 2, t 2 4 2, t 4 2, t 2 1, t 2, t 2 4, t Mean-Reversion Parameter Volatilität des Bid-Spreads Korrelation zwischen Midquote und Bid- Spread Für ρ vergrößern sich i < 0 Spreads, wenn die Preise fallen. Startwerte: X2,0 > X1,0 > November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 9

10 Verkaufsmechanismus Annahme: 1 Handelszeitpunkt pro Tag Diskretes Modell mit Perioden (t n-1,t n ],n=1,...,365 Kapitalstruktur in t=0: Wert des Anfangsportfolios: λ it α0,0 α1,0 α2,0 in Bargeld, liquide und illiquide I = α S + α S + α S 0 0,0 0,0 1,0 1,0 2,0 2,0, bezeichnet die verkaufte Menge von Anlage i zur Zeit t. Damit ergibt sich die Kapitalstruktur am Ende der Periode zu: α = it, 1 α + it, λit,, i = 0,1,2 Es wird jeweils nur gerade soviel verkauft wie nötig. Leerverkäufe und Kreditaufnahme sind nicht zulässig 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 10

11 3. Vergleich von Strategien Vergleichskriterium: Je weniger Kapital I 0 benötigt wird, um das vorgegebene Sicherheitsniveau zu erreichen (2% Ruinwahrscheinlichkeit), desto besser. Es werden die folgenden 2 Strategien verglichen: Bargeld liquide Anlagen illiquide Anlagen (Cash-First) illiquide Anlagen liquide Anlagen Bargeld (Cash-Last) 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 11

12 Strategie hängt von Kapitalallokation ab Percentage of Cash in the Inintial Asset Allocation 100% 95% 90% 85% 80% 75% 70% 65% flegend Cash-First is the better strategy Cash-Last is the better strategy Combinations out of Range Monte Carlo Simulation über Szenarien Parameter: r = 0,05 µ 1 = 0,8 µ 2 = 0,09 σ1 = σ 2 = 0,2 ρ = 0,7 Keine Spreads! % % 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% Percentage of Liquid Asset in the Inintial Asset Allocation 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 12

13 Optimale Kapitalallokation Simultane Optimierung von Verkaufsstrategie und Ausgangskapitalallokation erforderlich! Hier: Vergleich von 2 Strategien Bestimme jeweils optimale Kapitalallokation gegeben eine Strategie und Vergleiche die beiden Lösungen. Minimiere Sicherheitskapital I 0 unter den Nebenbedingungen: Leerverkäufe und Kreditaufnahme sind nicht zulässig. Zielfunktion ist Simulation mit Kapitalallokation als Variablen 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 13

14 4. Parametervariation Es werden 2 verschiedene Versicherungsarten betrachtet: 1. Industriefeuerversicherung: Ui LN( a, b) mit b = 1.96 (vgl. Mack (2002)) und a = 1,16 T Exp( λ) mit λ = 8 d.h. durchschn pro Jahr i 2. Massengeschäft wie z.b. KFZ-Versicherung Ui Γ( a, b) mit a = und b = 242 (vgl. Kaufmann/Gadmer/Klett (2001)) Exp( λ) mit λ = 16 d.h. durchschn pro Jahr Ti 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 14

15 Liquiditätsszenarien Es werden 4 Liquiditätsszenarien untersucht: 1. Kein Bid-Spread 2. Spread von 0,1% bei der liquiden und 0,5% bei der illiquiden Anlage 3. Spreads von 0,2% und 1,0% 4. Spreads von 0,5% und 2,5% Dabei jeweils 4 Fälle: 1. Konstante Spreads 2. Zufällige, nicht mit der Kursentwicklung korrelierte Spreads 3. Zufällige, leicht negativ korrelierte Spreads: ρ1 = ρ2 = 0,5 4. Zufällige, stark negativ korrelierte Spreads: ρ1 = ρ2 = 0,8 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 15

16 Ergebnisse 1 1. Erwartungswerte der Spreads haben Einfluss auf das minimale Sicherheitskapital und die optimale Kapitalallokation, die Spread- Korrelationen nicht. 2. Der Großteil des Kapitals wird in Cash gehalten ( 80%). 3. Die optimale Kapitalallokation gegeben die Cash-Last Strategie enthält weniger Cash und mehr Aktien (80% 94% bzw. 97% 99%). 4. Die Cash-First Strategie mit der zugehörigen optimalen Kapitalallokation benötigt in allen Fällen weniger Sicherheitskapital als die Cash-Last Strategie. 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 16

17 Ergebnisse 2 5. Eine hohe Cash-Quote in Verbindung mit der Cash-First Verkaufsstrategie kann als Cash-Flow-Matching Strategie aufgefasst werden (optimal nach Elton/Gruber (1992)). 6. Gefährlichere Versicherungsarten, wie z.b. Industriefeuerversicherungen können mehr Kapital in risikoreiche Anlagen investieren als kleinvolumiges Massengeschäft wie z.b. die KFZ- Versicherung. 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 17

18 5. Zusammenfassung Untersuchungsgegenstand: Liquidationsstrategien und Kapitalanlageentscheidungen von Sachversicherungsunternehmen Liquidationsmodelle der Finanzwirtschaft mit aktuariellem Risikomodell kombiniert zu einem Zahlungsstrommodell eines Versicherungsunternehmens Die optimale Verkaufsstrategie hängt von der Ausgangskapitalallokation ab simultan optimieren Cash-First dominiert Cash-Last und die zugehörige optimale Allokation besteht zu über 94% aus Cash (Cash-Flow-Matching) Einfluss der Spreads: Korrelationen: nein erwartete Höhe: ja Gefährlichere Versicherungsarten können mehr Kapital in risikoreiche Anlagen investieren 13. November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 18

19 Quellen Almgren, R. und M. Chriss, 2000, Optimal Execution of Portfolio Transactions, Journal of Risk, 3, Bertsimas, D. und A. D. Lo, 1998, Optimal Control of Execution Costs, Journal of Financial Markets, 1, Duffie, D. und A. Ziegler, 2003, Liquidation Risk, Financial Analysts Journal, 59, Elton, E. und M. Gruber, 1992, Optimal investment strategies with investor liabilities, Journal of Banking and Finance, 16, Hubermann, G. und W. Stanzl, 2000, Optimal Liquidity Trading, Yale SOM Working Paper No. ICF Kaufmann, R., A. Gadmer, und R. Klett, 2001, Introduction to Dynamic Financial Analysis, ASTIN Bulletin, 31, Mack, T., 2002, Schadenversicherungsmathematik. Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, zweite überarbeitete Auflage. Nelder, J., und R. Mead, 1965, A Simplex Method for Function Minimization, Computer Journal, 7, November 2004 T. Berry-Stölzle Folie 19