Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse

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1 Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Sommersemester 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Zufallsvariablen als Träger des Risikos Grundlagen der Entscheidungstheorie Erwartungsnutzentheorie Duale Nutzentheorie Erwartungswert-Varianz-Prinzip Risikoaversion Das Newsvendor Modell Stochastische Dominanz Stochastische Dominanz 1. Ordnung Hazard-Rate-Ordnung Stochastische Dominanz 2. Ordnung Konvexe Dominanzbeziehungen Risikomaße Kohärente Risikomaße Kohärente Akzeptanzmenge Definition und Eigenschaften Value-at-Risk (VaR) Definition VaR für normalverteilte Zufallsvariablen VaR und Dominanzbeziehungen Conditional Value-at-Risk (CVaR) Definition Alternative Darstellung des CVaR I Alternative Darstellung des CVaR II Allgemeine Definition des CVaR CVaR für normalverteilte Zufallsvariablen CVaR als Entscheidungskriterium CVaR und stochastische Dominanz Spektrale Risikomaße Spektrale Risikomaße Newsvendor-Problem unter Verwendung spektraler Risikomaße Konvexe Risikomaße Kennziffern und Abhängigkeitsstrukturen von Renditeverteilungen Grundlagen Parametrische Verteilungen Multivariate Normalverteilung Elliptische Verteilungen Copulas

3 1 Grundlagen 1.1 Zufallsvariablen als Träger des Risikos Wahrscheinlichkeitsraum Sei Ω Ergebnismenge E P Ereignismenge mit folgenden Eigenschaften: a) Ω E b) E E Ω\E E c) E 1, E 2,... E E i E i Wahrscheinlichkeitsfunktion mit P: E [0, 1] und a) P (Ω) = 1 b) P ( E i ) = P (E i ), falls E i E j =, i j i i (Ω, E, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Definition 1.1 Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E,P ). Die Abbildung X : Ω R ω X(ω) heißt Zufallsvariable, falls für I R gilt {ω X(ω) I} E. Definition 1.2 Gegeben sei eine auf (Ω, E, P ) definierte Zufallsvariable X : Ω R. Für I R gilt Speziell gilt für x R P (X I) = P ({ω Ω X(ω) I}) =: P X (I) P (X = x) = P ({ω Ω X(ω) = x}) =: P X (x) P X heißt Verteilung der Zufallsvariable X. Verschiedene Zufallsvariablen können dieselbe Verteilung besitzen. Bedingte Erwartung Diskreter Fall: X, Y bedingte Verteilung von Y gegeben X = x P (Y = y X = x) = P (X = x, Y = y) P (X = x) 1

4 bedingter Erwartungswert von Y gegeben X = x E(Y X = x) = y y P (Y = y X = x) bedingte Erwartung E(Y X) E(Y X) ist Zufallsvariable mit den Werten E(Y X=x) und der Verteilung P(X=x) Stetiger Fall (X, Y ) mit gemeinsamer Dichte f(x, y) bedingte Dichte von Y gegeben X = x f(y x) := f(x, y) f 1 (x) mit f 1 (x) = f(x, y)dy bedingter Erwartungswert von Y gegeben X = x E(Y X = x) = yf(y x)dy E(Y X) ist Zufallsvariable mit Werten E(Y X = x) und der Dichte f 1 (x). Es gilt: E(E(Y X)) = E(Y ). Bedingter Erwartungswert für normalverteilte Zufallsvariablen Für X N(µ, σ 2 ) gilt ( ) a µ E(X X a) = µ + σ λ σ mit λ(z) = ϕ(z) Φ(z) wobei ϕ(z): Dichte der Standardnormalverteilung und Φ(z): Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. 2

5 1.2 Grundlagen der Entscheidungstheorie Erwartungsnutzentheorie Die Zufallsvariable X wird durch den erwarteten Nutzen bewertet Axiome: Axiom 1: Es existiert eine Präferenzrelation auf der Menge X aller betrachteten Zufallsvariablen. Axiom 2: X, Y mit F X = F Y X Y Axiom 3: X,Y,Z mit X Y Z (d.h. F X F Y F Z ). Es existiert ein β [0, 1] mit βf X + (1 β)f Z F Y Axiom 4: X,Y,Z, α [0, 1] F X F Y αf X + (1 α)f z αf Y + (1 α)f Z Satz 1.1 Es gelten die 4 Axiome Es existiert eine monoton wachsende Funktion U mit X Y E(U(X)) E(U(Y )) EU(X) = E(U(X)) = E(U X) = U(x)dF X (x) = U(x)f X (x)dx im stetigen Fall = U(x i )P (X = x i ) im diskreten Fall i Duale Nutzentheorie Begriff der verallgemeinerten unteren Inversen Sei F eine Verteilungsfunktion. Axiome: F (α) := inf{x R F (x) α} (0 α 1) Axiom 1: Es existiert eine Präferenzrelation auf der Menge X aller betrachteten Zufallsvariablen. Axiom 2: X und Y mit F X = F Y X Y 3

6 Axiom 3: F X F Y X Y Axiom 4: X,Y,Z mit X Y Z. Es existiert ein β [0, 1] mit βf X + (1 β)f Z F Y. Axiom 5: X,Y,Z, α [0, 1] FX FY αfx + (1 α)fz αfy + (1 α)fz Satz 1.2 Es gelten die 5 Axiome X Y genau dann, wenn 1 1 FX(t)dv(t) FY (t)dv(t) 0 0 mit einer monoton wachsenden Funktion v : [0, 1] [0, 1] mit v(0) = 0 und v(1) = Erwartungswert-Varianz-Prinzip X Y E(X) av ar(x) E(Y ) av ar(y ), für ein a > Risikoaversion Risikoaversion liegt vor, falls E(X) X für alle X mit V ar(x) > 0. Risikoaversion in der Erwartungsnutzentheorie Risikoaversion liegt vor, falls E(X) X EU(X) < U(E(X)) für alle X. Definition 1.3 (Jensen sche Ungleichung) EU(X) U(E(X)) für alle X U konkav Risikoaversion liegt vor U ist monoton wachsend und konkav (U 0, U 0) Risikoaversion in der Dualen Theorie X Y 1 F X(t)dvt 1 F Y (t)dv(t) Risikoaversion liegt vor, wenn 0 0 v(t) t, t [0, 1] 4

7 1.3 Das Newsvendor Modell X zufällige Nachfrage y Bestellmenge (Entscheidungsvariable) c Einkaufspreis (Kosten) p Verkaufspreis z Rücknahmepreis Es gilt p > c > z 0. Gewinn bei Bestellmenge y: { px cy + z(y X) X < y g(y, X) = py cy X y Optimierungsproblem: = (p c)y (p z) max(y X, 0) max E(g(y, X)) y Lösung: y = { F 1 X ( ) p c p z kleinster Wert, so dass gilt: F X (y ) p c p z, falls F 1 X existiert, falls F X diskret Dual Sourcing Newsvendor-Modell c Kosten offshore (Einkaufspreis) c+d Kosten onshore (Einkaufspreis) y Bestellmenge bei offshore Anbieter Es gilt: 0 z < c < c + d p Gewinn bei Bestellmenge y: { px + z(y X) cy g(y, X) = px cy (c + d)(x y), falls y > X, falls X y Lösung: ( ) y = F 1 d X d + c z 2 Stochastische Dominanz Basisliteratur: Müller, A., D. Stoyan: Comparison methods for stochastic models and risks. Wiley, New York,

8 2.1 Stochastische Dominanz 1. Ordnung Definition 2.1 Seien X und Y Zufallsvariablen mit zugehöriger Verteilungsfunktion F X, F Y. X dominiert Y stochastisch erster Ordnung, falls gilt: i. Z. X 1 Y. F X (t) F Y (t) für alle t R Satz 2.1 Folgende Aussagen sind äquivalent: a) X 1 Y b) Es existieren Zufallsvariablen X : Ω R, Ŷ : Ω R, mit so dass gilt F X = F X, FŶ = F Y, X(ω) Ŷ (ω) für alle ω Ω. Satz 2.2 Es gilt X 1 Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle monoton wachsenden Funktionen f. Insbesondere gilt a) X 1 Y E(X) E(Y ). b) Erwarteter Nutzen von X ist größer oder gleich dem erwarteten Nutzen von Y für alle Nutzenfunktionen. 2.2 Hazard-Rate-Ordnung Definition 2.2 X dominiert Y in der Hazard-Rate-Ordnung, i. Z. X hr Y, falls die Funktion monoton wachsend ist. Satz 2.3 t 1 F X(t) 1 F Y (t) X hr Y X 1 Y X hr Y (X X > t) 1 (Y Y > t) für alle t X hr Y (X X > t) hr (Y Y > t) für alle t 6

9 Definition 2.3 Sei X eine stetige Zufallsvariable mit stetiger Dichtefunktion P (X t + ɛ X > t) r X (t) = lim = f X(t) ɛ 0 ɛ 1 F X (t) heißt hazard rate oder failure rate. Satz 2.4 Seien X und Y Zufallsvariablen mit stetigen Dichten. Dann gilt: X hr Y r X (t) r Y (t). 2.3 Stochastische Dominanz 2. Ordnung Definition 2.4 X dominiert Y stochastisch in 2. Ordnung, i. Z. X 2 Y, wenn gilt: Es gilt: Satz 2.5 t F X (z)dz t F Y (z)dz für alle t. X 1 Y X 2 Y. X 2 Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle konkaven, monoton wachsenden Funktionen f. Satz 2.6 Es gilt X 2 Y E(min(X, t)) E(min(Y, t)) für alle t R. Satz 2.7 X 2 Y es existieren Zufallsvariablen X, Ŷ mit F X = F X, FŶ = F Y, so dass gilt: X E(Ŷ X). 2.4 Konvexe Dominanzbeziehungen Definition 2.5 X ist less dangerous als Y (i. Z. X D Y ), wenn gilt: a) Es existiert ein t 0 R mit b) E(X) E(Y ) F X (z) F Y (z) für z t 0 F X (z) F Y (z) für z > t 0. 7

10 Definition 2.6 X, Y Zufallsvariablen mit E(X) = E(Y ). Y heißt mean preserving spread von X, i. Z. X MP S Y, wenn Zahlen a, b existieren mit F Y (z) F X (z) ist monoton wachsend auf ], a[, ]b, + [ F Y (z) F X (z) ist monoton fallend auf [a, b]. Satz 2.8 X MP S Y X D Y Satz 2.9 X D Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle konvexen monoton wachsenden Funktionen f. Definition 2.7 X ist less als Y bzgl. der konvexen Ordnung, i. Z. X cx Y, wenn gilt E(f(X)) E(f(Y )) für alle konvexen Funktionen f. X ist less als Y bzgl. der steigenden konvexen Ordnung, i. Z. X icx Y, wenn gilt E(f(X)) E(f(Y )) für alle konvexen monoton wachsenden Funktionen f. Satz 2.10 Satz 2.11 X MP S Y X D Y X icx Y X 2 Y X icx Y Satz 2.12 X icx Y E(X t) + E(Y t) + für alle t mit E((X t) + ) = (1 F X (z))dz t Satz 2.13 Satz 2.14 X MP S Y X cx Y X cx Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle konkaven Funktionen f Folgerung X MP S Y EU(X) EU(Y ) für alle risikoaversen Nutzenfunktionen 8

11 3 Risikomaße Basisliteratur: Acerbi, C., Tasche, D. (2002): On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking and Finance 26, Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., Heath, D., (1999): Coherent measures of risk. Mathematical Finance 9 (3), Acerbi, C. (2002): Spectral measures of risk: A coherent representation of subjective risk aversion. Journal of Banking and Finance 26, Föllmer,H., Schied, A. (2011): Stochastic finance: an introduction in discrete time. De Gruyter, 3. rev. and extended ed. 3.1 Kohärente Risikomaße Kohärente Akzeptanzmenge Ω = Menge von Szenarien X : Ω R X = Menge aller (im endlichen Fall) Abbildungen von Ω nach R X(ω) Monetäres Ergebnis von X, falls Szenario ω eintritt. X ist durch X(ω 1 ), X(ω 2 ),...X(ω n ) eindeutig gekennzeichnet. A X Akzeptanzmenge X A wird vom Entscheider akzeptiert Definition 3.1 A X heißt kohärente Akzeptanzmenge, falls gilt i) {X X X(ω) 0 für alle ω Ω } A ii) {X X X(ω) < 0 für alle ω Ω } A = iii) A ist konvex iv) Für alle X A : λx A für λ 0 Definition 3.2 Risiko von X: ρ A (X) = inf{m X + m A} Sei X / A. Risiko von X ist der minimale Betrag m, so dass gilt: X + m A. ρ A (X) = 0 für alle X auf Rand von A 9

12 3.1.2 Definition und Eigenschaften Definition 3.3 ρ : X R heißt kohärentes Risikomaß, falls gilt: i) ρ(x + c) = ρ(x) c für alle c R ( ρ(x + ρ(x)) = 0) ii) ρ(λx) = λρ(x) für alle λ 0 iii) ρ(x + Y )) ρ(x) + ρ(y ) iv) X Y ρ(x) ρ(y ) Zusammenhang zwischen kohärenten Akzeptanzmengen und kohärenten Risikomaßen: A kohärente Akzeptanzmenge ist ein kohärentes Risikomaß. ρ kohärentes Risikomaß ρ A (X) = inf{m X + m A} = durch A induziertes Risikomaß ist eine kohärente Akzeptanzmenge. ρ Aρ = ρ A ρ := {X X ρ(x) 0} ε σ-algebra auf Ω P ist endlich additive Mengenfunktion, falls ( n ) P A i = i=1 n P (A i ) i=1 für alle A i, A j ε mit A i A j = (i j) Satz 3.1 ρ ist kohärentes Risikomaß es existiert eine Menge Q von endlich additiven Mengenfunktionen, so dass gilt 3.2 Value-at-Risk (VaR) Definition ρ(x) = max P Q E P ( X) Sei F die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X. Die Funktion F : ]0, 1[ R α sup{x R F (x) α} 10

13 heißt obere verallgemeinerte Inverse von F. Value at Risk (VaR) zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ heißt: V ar p (X) := max(0, F (1 p)). Existiert die inverse Verteilungsfunktion F 1 an der Stelle (1 p), dann gilt: F (1 p) = F 1 (1 p). Im Folgenden wird von F (1 p) 0 ausgegangen VaR für normalverteilte Zufallsvariablen Sei X N(µ, σ 2 ), dann gilt für den VaR zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ : V ar p (X) = σφ 1 (p) µ VaR und Dominanzbeziehungen Stochastische Dominanz 1. Ordnung Stochastische Dominanz 2. Ordnung Mean preserving spread X 1 Y V ar p (X) V ar p (Y ) X 2 Y V ar p (X) V ar p (Y ) Y MP S X es existiert ein t 0 mit F Y (t) F X (t) für t < t 0 F Y (t) F X (t) für t > t 0. Daher gilt Y MP S X, F Y (t 0 ) 1 p VaR p (Y ) VaR p (X). 3.3 Conditional Value-at-Risk (CVaR) Definition Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f und invertierbarer Verteilungsfunktion F und sei x 1 p = F 1 (1 p) 0 das (1 p)-quantil, dann ist der Conditional Value at Risk (CVaR) zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ definiert durch: CV ar p (X) =E( X X x 1 p ) =E( X X V ar p (X)) x = 1 1 p xf(x)dx = 1 1 p 1 p x 1 p xdf (x). 11

14 3.3.2 Alternative Darstellung des CVaR I CV ar p (X) = 1 1 p 1 p 0 F 1 (t)dt Alternative Darstellung des CVaR II { } 1 CV ar p (X) = inf 1 p E(t X)+ t t R 1 t = inf F (x)dx t t R 1 p mit (t X) + = max (0, t X) Allgemeine Definition des CVaR CV ar p (X) = 1 1 p 1 p 0 F (t)dt Untere verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion von X: Es gilt: 1 1 p F (t) = inf{x R F (x) t} 1 p 0 F (t)dt = 1 1 p 1 p 0 F (t)dt CVaR für normalverteilte Zufallsvariablen Sei X N(µ, σ 2 ), dann gilt CV ar p (X) = µ + σ ϕ(z 1 p) 1 p mit z 1 p : (1 p)-quantil der Standardnormalverteilung ϕ : Dichte der Standardnormalverteilung. 12

15 3.3.6 CVaR als Entscheidungskriterium Bewertung von X, Y durch A) X Y CV ar p (X) CV ar p (Y ) B) X Y (1 λ)e(x) λcv ar p (X) (1 λ)e(y ) λcv ar p (Y ) für ein geg. λ [0, 1] C) X Y (1 λ)e(x X x 1 p ) + λe(x X x 1 p ) (1 λ)e(y Y y 1 p ) + λe(y Y y 1 p ) für λ [0, 1]; p ]0, 1[ Es gilt (1 λ)e(x X x 1 p )+λe(x X x 1 p ) = 1 λ p CVaR und stochastische Dominanz 3.4 Spektrale Risikomaße Spektrale Risikomaße X 2 Y CV ar p (X) CV ar p (Y ) E(X)+ 1 λ p p Definition 3.4 X und Y heißen komonoton, falls für alle ω, ω Ω gilt (X(ω) X(ω ))(Y (ω) Y (ω )) 0. CV ar p (X). Die Abbildung ρ : X R heißt spektrales Risikomaß, falls ρ die Axiome (A1 - A4) und A5 Verteilungsinvarianz: X, Y X mit den zugehörigen Verteilungsfunktionen F X und F Y F X = F Y ρ(x) = ρ(y ), A6 Komonotone Additivität: für alle komonotone Zufallsvariablen X, Y X, X + Y X gilt ρ(x + Y ) = ρ(x) + ρ(y ) erfüllt. Satz 3.2 Für jedes spektrale Risikomaß gilt ρ h (X) = mit einer Funktion h für die gilt 1. h F X(t)h(t)dt 13

16 h(t)dt = 1 3. h ist monoton fallend. Beispiel 3.1 Conditional Value at Risk h(t) = { 1 1 p Exponentielle spektrale Risikomaße h(t) = 0 t 1 p 0 1 p < t 1 a 1 e a e at für ein a > Newsvendor-Problem unter Verwendung spektraler Risikomaße Optimierungsproblem: max ρ h (g(y, X)) y Lösung: ( ( )) p c ys = F 1 H 1 p z mit H Stammfunktion von h, wobei gelten muss H(0) = 0 und H(1) = 1. Beispiel 3.2 Conditional Value at Risk CV ar p (X) mit α = 1 p ( )) p c ys = F (α 1 p z Exponentielle spektrale Risikomaße ln ys = F 1 ( 1 Beispiel 3.3 Standard Newsvendor Modell h(t) = 1 (0 t 1) H(p) = p (0 p 1) H 1 (t) = t (0 t 1) ( ) p c p z (1 e a ) a ( ) p c ys = F 1 p z ) 14

17 3.6 Konvexe Risikomaße Definition 3.5 A heißt konvexe Akzeptanzmenge, wenn i) A ist konvex ii) X A, Y X mit Y X Y A iii) X A, Y X {λ 0 λ 1, λx + (1 λ)y A} ist abgeschlossen. Definition 3.6 ρ : X R heißt konvexes Risikomaß, wenn gilt: i) ρ(x + c) = ρ(x) c ii) X, Y X, X Y ρ(x) ρ(y ) iii) ρ(λx + (1 λ)y ) λρ(x) + (1 λ)ρ(y ), (d. h. ρ ist konvex) Satz 3.3 P =Menge aller endlich additiven Mengenfunktionen auf der σ- Algebra E ρ ist konvex Es existiert eine Funktion β : P R {+ } ρ(x) = sup E p ( X) β(p) p P 4 Kennziffern und Abhängigkeitsstrukturen von Renditeverteilungen 4.1 Grundlagen K it Kurs Aktie i zum Zeitpunkt t D it = K i,t K i,t 1 R it = ln K i,t 1 ( Kit K i,t 1 ) diskrete Rendite stetige Rendite µ = (µ 1,..., µ J ) Erwartungswertvektor von (R 1t,..., R Jt ) Σ Varianz-Kovarianz-Matrix von (R 1t,..., R Jt ). Erwartungstreue und konsistente Schätzer für µ i, σi 2 und cov(r kt, R lt ) sind gegeben durch: r i := 1 n r it, n ŝ 2 i := â kl := t=1 1 n 1 1 n 1 n (r it r i ) 2 t=1 n (r kt r k )(r lt r l ). t=1 15

18 4.2 Parametrische Verteilungen Multivariate Normalverteilung Sei X = (X 1,..., X n ) eine n-dimensionale Zufallsvariable. Definition 4.1 µ R n, Σ positiv definite (n n)-matrix. X heißt normalverteilt mit µ, Σ i. Z. X N(µ, Σ), falls für die Dichte f gilt: f(x) = (2π) n 2 (detσ) 1 2 e 1 2 (x µ) 1 (x µ) (x R n ). Dabei gilt: E(X) = µ V ar(x) = Σ. Satz 4.1 X ist multivariat normalverteilt X N(µ, Σ) genau dann, wenn a 1 X a 2 X n normalverteilt für alle a 1,..., a n R ist. Es gilt σ ij = 0 X i und X j sind unabhängig Sei X = (X 1, X 2 ) mit X 1 = (X 1,..., X k ), X 2 = (X k+1,..., X n ), ( ) µ1 E(X) =, µ 2 ( ) Σ11 Σ Σ = 12, Σ 21 Σ 22 X 1 N (µ 1, Σ 11 ), X 2 N (µ 2, Σ 22 ), dann sind alle bedingten Verteilungen normalverteilt, mit (X 1 X 2 = x 2 ) N ( µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 (x 2 µ 2 ); Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21) Transformation von X N(µ, Σ) mit der (n L)-Matrix A und b R L führt zu A X + b N ( A µ + b, A ΣA ) Elliptische Verteilungen Definition 4.2 X = (X 1,..., X n ) heißt elliptisch verteilt mit µ R n, Σ positiv definit, falls die Dichte von X gegeben ist f(x) = det(σ) 1 2 g ( (x µ) Σ 1 (x µ) ) mit einer Funktion g : R + R (i.z. X E(µ, Σ, g)). 16

19 4.3 Copulas (X,Y) mit Verteilungsfunktion F (X,Y ) (x, y) = P (X x, Y y) und Randverteilungen F X (x) = F (X,Y ) (x, ) = P (X x) F Y (y) = F (X,Y ) (, y) = P (Y y), wobei F X (x) und F Y (y) stetige Verteilungsfunktionen seien. Satz 4.2 (Sklar)(1959) Zu F (X,Y ) existiert eine eindeutig bestimmte Funktion Eigenschaften a) C(u, v) = F (X,Y ) (F 1 X C : [0, 1] 2 [0, 1] mit F (X,Y ) (x, y) = C(F X (x), F Y (y)), 1 (u), F (v)) b) U := F X X, V := F Y Y C ist die gemeinsame Verteilungsfunktion von (U,V): Y C(u, v) = P (U u, V v) (u, v [0, 1]) Es gilt: F (X,Y ) (x, y) = C(F X (x), F Y (y)) = C(u, v) mit u = F X (x), v = F Y (y). c) Es gilt: C(u, 1) = u C(1, v) = v C(0, v) = C(u, 0) = 0. d) Für u 1 u 2, v 1 v 2 gilt: P (u 1 U u 2, v 1 V v 2 ) = C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 )+C(u 1, v 1 ). Definition 4.3 Eine 2-dimensionale Copula ist eine auf [0, 1] 2 definierte 2- dimensionale Verteilungsfunktion, deren Randverteilungen Gleichverteilungen auf [0,1] sind. Bemerkung 4.1 Die nach dem Satz von Sklar existierende Funktion ist eine Copula. 17

20 Satz 4.3 Für alle Copulas C gilt max(u + v 1, 0) C(u, v) min(u, v). Speziell sind W (u, v) = max(u + v 1, 0) und M(u, v) = min(u, v) Copulas. Eigenschaft der Copula M F X,Y (x, y) = min (F X (x), F Y (y)) X = F 1 X (F Y Y ) X ist eine monoton wachsende Funktion von Y Eigenschaft der Copula W F X,Y (x, y) = max (F X (x) + F Y (y) 1, 0) X = F 1 X (1 F Y Y ) X ist eine monoton fallende Funktion von Y Gauss-Copula Φ 2ρ = Verteilungsfunktion einer 2-dimensionalen Normalverteilung mit µ x = µ y = 0, σ 2 x = σ 2 y = 1 und Korrelation ρ Definition 4.4 Die Gauss-Copula ist wie folgt definiert: Es gilt: C ρ (u, v) = Φ 2ρ (Φ 1 (u), Φ 1 (v)) (u, v [0, 1]). ρ=0 : C ρ (u, v) = u v ρ=+1 : C ρ (u,v) = M(u,v) ρ=-1 : C ρ (u,v) = W(u,v). 18