Andreas Kladroba. 1. Einleitung

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Nicolas Müller
vor 6 Jahren
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1 Andreas Kladroba. Einleitung Auch wenn man häufig den Eindruck hat, dass es gerade in der Ökonomie Bestrebungen zu geben scheint, jeden Sachverhalt möglichst als normalverteilt anzusehen, haben vor allem linkssteile erteilungen eine enorme praktische Bedeutung. Mit ihnen lassen sich nicht nur Einkommensverteilungen modellieren, sondern z.b. auch Risiken in ersicherungen und Banken. Beiden Anwendungen ist gemein, dass es einerseits viele Personen gibt, die über ein geringes oder mittleres Einkommen verfügen und nur wenige, die ein extrem hohes Einkommen haben und andererseits bei einer ersicherung viele Fälle von moderater Schadenshöhe, aber nur sehr selten große (und somit sehr teure) Schadensereignisse eintreten. Dass dabei häufig die Lognormalverteilung zum Einsatz kommt, mag ein Zeichen für die obige These sein. Die Lognormalverteilung hat aber einen entscheidenden Nachteil, nämlich ihre fehlende Reproduktivität. Reproduktivität spielt aber z.b. bei der Berechnung von Risiken eine entscheidende Rolle, wenn man einerseits zwei Risikoarten getrennt voneinander modellieren, andererseits aber auch eine gemeinsame Risikoverteilung erstellen will. Daher bietet sich in vielen Fällen die erwendung der Gamma-erteilung an. Deren Reproduktivität wird von vielen Lehrbüchern als gegeben genannt, allerdings nur in sehr stark eingeschränkter Form. Wir werden in diesem kurzen Text die Reproduktivität der Gamma-erteilung daher in einer sehr allgemeinen Form ansprechen. Besser gesagt: die ungewöhnliche Form der Reproduktivität. Wegen des Logarithmus ist nämlich das Produkt (statt der Summe) zweier lognormalverteilter Zufallsvariablen wieder lognormalverteilt, eine Erkenntnis, der jede praktische Relevanz fehlt.

2 . Die Gamma-erteilung Die Dichtefunktion der Gamma-erteilung lautet () f ( x) ( ) x e x für x > 0, wobei ( ) die Gamma-Funktion darstellt. Die Gamma-erteilung hat damit zwei Parameter: und. Abb. zeigt drei Gamma- erteilungen jeweils mit und alternativen Werten für. 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 beta beta beta 3 0, 0, Abb. : Gamma-eteilung mit Die Momente der Gamma-erteilung sind: () E ( X ) (3) ( X ) orsicht: In der englischsprachigen Literatur werden gerne die Parameter a und b / angegeben.

3 Die Schiefe lautet: (4) γ Als Spezialfälle der Gamma-erteilung können angesehen werden: n Für und geht die Gamma-erteilung über in eine χ erteilung mit n Freiheitsgraden Für und Exponentialverteilung geht die Gamma-erteilung über in eine λ Für n und geht die Gamma-eteilung über in eine Erlang-erteilung λ 3. Die Reproduktivität der Gamma-erteilung Ziel dieses kurzen Textes ist es nicht zu zeigen, dass die Gamma-erteilung reproduktiv ist (das kann als bewiesen angenommen werden), sondern wie die Parameter einer Summe zweier gammaverteilter Zufallsvariablen lauten. Im allgemeinen wird Reproduktivität der Gamma-erteilung in folgender Form angegeben: Sind zwei unabhängige ariablen X (, ) und X (, ) ist X + X (, ) ~ + Y. 3 ~ ~, dann Wir wollen diese Aussage im folgenden um folgende Punkte erweitern:. Die erteilungen der beiden ariablen können unterschiedliche Parameter haben.. Die ariablen können korreliert sein. 3 gl. z.b. Rinne, Taschenbuch der Statistik, S

4 Der letzte Punkt ist bei der Risikoberechnung von großer Bedeutung, weil man sich vorstellen kann, dass z.b. Gebäudeschäden und KfZ-Schäden miteinander korrelieren (z.b. durch Witterungseinflüsse). 4 Es gelte also allgemein: Sind zwei Zufallsvariablen X ~ ( ) und X ~ ( ) (, ) Y X + X ~., Zu bestimmen sind also noch und. Wie bereits oben erwähnt, sind: (5) E (6) E und,, dann ist Wir haben also ein Gleichungssstem aus zwei Gleichungen mit zwei ariablen, das wir nach und auflösen müssen. Aufgrund von (5) und (6) erhalten wir: (7) ( ) ( ) Wegen (5) und (7) ist damit (8) E E Für die Momente von Y gilt: ( ) (9) E E( X) + E( X ) + (0) ( X ) + ( X ) + C( X X ) + + C( X X ) Wir erhalten somit:,, 4 Dass es sich dabei nicht um eine Korrelation aufgrund eines Kausalzusammenhangs, sondern eher um eine Scheinkorrelation handelt, ändert nichts an der Tatsache, dass eine solche Korrelation rechnerisch existieren könnte. 4

5 () und () + ( X X ) + + C, ( + ) + + C( X, X ) Sollte statt der Kovarianz die Korrelation ersetzen durch: C X, X leicht ρ gegeben sein, lässt sich ( ) C X, X ρ σ σ ρ ρ. (3) ( ) Der Einfluss der Korrelation auf die erteilung von Y sei an einem einfachen Beispiel mit X ~ ( 5;) und ~ ( 4;6) X demonstriert: ρ ( ) C X, X ~ 0, ,0488 4,835 70,65 0,3 6,0997 5,89 5, ,8786 0,5 6,838 5,309 6,409 77,38 0,7 37,5659 4,834 7, ,898 53,6656 4,605 7, ,4565 Bezugnehmend auf das oben genante Beispiel (zwei Einzelrisiken vs. einem Gesamtrisiko) ist besonders die Differenz zwischen der Summe der 0,99-Quantile der beiden ursprünglichen erteilung und dem 0,99-Quantil der erteilung der summierten ariablen von Interesse. Die 0,99-Quantile der ursprünglichen erteilungen betragen 3,07 und 60,7, die Summe ergibt somit 83,478. Diese ist (das zeigt das Beispiel) also nur mit dem 0,99-Quantil von Y identisch, wenn die beiden ariabeln vollständig miteinander korreliert sind. 5 Das Gesamtrisiko kann also nur in diesem Fall in zwei Einzelrisiken aufgesplittet werden. 5 Dies ist z.b. auch bei der Normalverteilung so. 5

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