Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2015 Aufgabe 1 Zum Ende des traditionellen Sommerfestes einer Stadt kündigt die Presse ein Feuerwerk an. Nicole ist leidenschaftliche Hobbyfotografin und beschließt daher, einige farbenprächtige Motive mit ihrer Kamera aufzunehmen. Von ihren letzten Fotoabenden weiß sie, dass sie bei jedem Versuch einen zufriedenstellenden Schnappschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 Prozent ablichten kann. An besagtem Abend drückt Nicole insgesamt 250 mal auf den Auslöser. a) Wie und mit welchem/(n) Parameter(n) ist die Zufallsvariable X := Anzahl der zufriedenstellenden Schnappschüsse verteilt? b) Ihr bisheriges Glanzstück liegt bei 70 zufriedenstellenden Fotos. Berechnen Sie die approximative Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nicole am besagten Abend ihren Rekord noch übertreffen kann. Aus fundierten Angaben eines Pyrotechnik-Portals weiß Nicole, dass die Sichtbarkeit der Effekte durchschnittlich µ = 3,2 Sek beträgt bei einer Varianz σ 2 = 2,4 Sek 2. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n = 120 rein zufällig betrachteten Feuerwerksmotiven an diesem Abend die Dauer der Sichtbarkeit durchschnittlich größer ist als 3,5 Sekunden? Gehen Sie von einer einfachen Zufallsstichprobe aus. Die Wartezeit zwischen zwei Feuerwerkseffekten sei exponentialverteilt mit Parameter λ. d) Ihnen ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit von mehr als 2 Minuten auf das nächste Feuerwerk nur 1,83% beträgt. Mit welchem Parameter λ ist entsprechend die Zufallsvariable Y := Wartezeit zwischen zwei Feuerwerkseffekten (in Minuten) verteilt? e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wartezeit zwischen zwei Feuerwerkseffekten genau eine Minute beträgt.

2 Aufgabe 2 Peter steht mit seinem Team Smokey Heat unmittelbar vor der erstmaligen Teilnahme an einer regionalen BBQ-Meisterschaft. Um optimal vorbereitet zu sein, beabsichtigt Peter die durchschnittliche Brenndauer seiner Holzbriketts auf Basis einer Zufallsstichprobe geeignet zu schätzen. Er ermittelt bei gleichbleibender Hitze und Luftzufuhr für n = 34 zufällig ausgewählte Briketts die Brenndauern und erhält ein Stichprobenmittel von 4, 86 Stunden bei einer Stichprobenvarianz von 1, 25 Stunden 2. a) Überprüfen Sie mit Hilfe eines geeigneten Tests, ob die mittlere Brenndauer signifikant (α = 0, 05) größer ist als 4, 50 Stunden. Gehen Sie davon aus, dass die Brenndauern von Holzbriketts (approximativ) normalverteilt sind. Welche Entscheidung treffen Sie? Interpretieren Sie Ihre Entscheidung inhaltlich. b) Wie fällt Ihre Testentscheidung in Teilaufgabe a) aus, wenn Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% testen? Peter findet online einen günstigen Anbieter für Holzbriketts. Er vermutet, dass sich der niedrigere Preis für Holzbriketts des Onlineanbieters auch in einer kürzeren Brenndauer bemerkbar macht. Er zieht eine weitere Zufallsstichprobe von m = 18 Briketts des günstigen Onlineanbieters und ermittelt bei gleichbleibender Hitze und Luftzufuhr eine mittlere Brenndauer von 4, 20 Stunden bei einer Stichprobenvarianz von 2, 15 Stunden 2. c) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für die Differenz der mittleren Brenndauern der beiden von Peter verwendeten Brikettarten (α = 0, 05). Gehen Sie davon aus, dass die Varianzen in der Grundgesamtheit zwar unbekannt, aber identisch verteilt sind. d) Würden Sie anhand der Berechnungen aus Teilaufgabe c) sagen, dass sich die Brenndauer der beiden von Peter verwendeten Brikettarten statistisch signifikant unterscheidet? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (1-2 Sätze).

3 Aufgabe 3 Anna besucht zusammen mit ihrer Freundin zum ersten Mal einen Open-Air-Kinofilm des Kino-Sommers ihrer Stadt. Aus Erfahrung weiß man, dass 22% der Teilnehmer solcher Veranstaltungen Erstbesucher (E) sind. Da der Film erst bei Einbruch der Dämmerung beginnt, haben einige Teilnehmer gegen die Kälte vorgesorgt und eine Kuscheldecke (K) mitgebracht. Insgesamt sind 4,5% der Teilnehmer Erstbesucher und haben eine Kuscheldecke mitgebracht. Von den Teilnehmern, die schon häufiger im Open-Air-Kino waren, haben 63% daran gedacht, eine Kuscheldecke einzupacken. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass i)...ein zufällig ausgewählter Erstbesucher keine Kuscheldecke mitgebracht hat. ii)...ein zufällig ausgewählter Teilnehmer eine Kuscheldecke eingepackt hat. Vor dem Kinofilm und in der Pause werden den Besuchern Getränke und Snacks angeboten. Anna vermutet, dass sich die Präferenzen der Besucher gleichmäßig auf die angebotenen Snacks verteilen. Sie erfragt auf Basis einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n = 72 den bevorzugten Snack der Besucher. Die nachstehende Tabelle zeigt ihre Ergebnisse: bevorzugter Snack Stichprobenumfang Brezeln Gummibärchen Popcorn Eis b) Überprüfen Sie Annas Vermutung mit Hilfe eines χ 2 -Anpassungstests (α = 0, 05). Welche Entscheidung treffen Sie? Interpretieren Sie Ihre Entscheidung inhaltlich. Anna ist aufgefallen, dass ihre Freundin weniger für Snacks und Getränke ausgegeben hat, als sie. Sie interessiert sich jetzt für die mittleren Ausgaben für Snacks und Getränke pro Besucher. Die Ausgaben A i in Euro seien stochastisch unabhängig und normalverteilt mit Erwartungswert E(A i ) = µ und Varianz V ar(a i ) = σ 2 für i = 1,..., n. Anna hat sich die folgende Schätzfunktion überlegt: T = A A A 3 c) Zeigen Sie, dass die obige Schätzfunktion T nicht erwartungstreu ist. d) Bestimmen Sie den Bias und die Varianz der obigen Schätzfunktion T. e) Unter welcher Bedingung ist ein erwartungstreuer Schätzer T 1 effizienter als ein erwartungstreuer Schätzer T 2?

4 Aufgabe 4 Michael ist ein begeisterter Regnitzschwimmer und unter seinen Freunden dafür bekannt, auch dann an der Hainbadestelle in den Fluss zu springen, wenn alle anderen sich lieber nur sonnen. Sein Kumpel Fred hat bei fünf Hainbadestellenbesuchen die Wassertemperatur notiert und gestoppt, wie lange es Michael in der Regnitz ausgehalten hat. Fred möchte den Zusammenhang zwischen Wassertemperatur und Schwimmdauer mit einem linearen Modell der Form Y i = β 0 + β 1 x i + U i mit U i N(0, σ 2 ) und stochastisch unabhängig für i = 1, 2,..., n darstellen. Er fertigt eine Datentabelle an, die folgende Angaben zur Modellschätzung enthält: Temperatur Schwimmdauer ( C) (sec) i x i y i x i y i x 2 i yi , , , , , ,5 306, ,4285 SUMME 71, ,5 1056, ,3728 Û i 2 a) Schätzen Sie die Parameter des linearen Regressionsmodells mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate. (Ersatzergebnis: Sollten Sie zu keiner Lösung gelangen, verwenden Sie im Folgenden β 0 = 50 und β 1 = 0, 5.) b) Interpretieren Sie die in Teilaufgabe a) geschätzten Parameter inhaltlich. c) Sagen Sie mit dem linearen Regressionsmodell voraus, wie lange es Michael bei einer Wassertemperatur von 8 C in der Regnitz aushalten würde. d) In welchem Intervall liegt der wahre Steigungskoeffizient mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10%? Interpretieren Sie das Ergebnis inhaltlich. (Ersatzergebnis: Sollten Sie zu keiner Lösung gelangen, verwenden Sie für die Interpretation das Intervall [0, 02; 0, 98].) e) Nennen Sie zwei Annahmen des einfachen linearen Regressionsmodells.

5 Lösung zu Aufgabe 1 a) X Bin(n = 250; p = 0,3) b) Prüfen der Approximationsbedingungen: Binomialverteilung Normalverteilung P (X > 70) = 1 P (X 70) = 0, c) P (X > 3, 5) = 1 P (X 3, 5) = 0, 017 Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang n = 120 eine durchschnittliche Sichtbarkeit von mehr als 3, 5 Sek auftritt, beträgt approximativ 1, 7%. d) 1 (1 e 2λ ) = 0, 0183 λ = 2, Y P oi(λ = 2) Die Zufallsvariable Y : Wartezeit zwischen zwei Feuerwerkeffekten (in Minuten) ist damit exponentialverteilt mit dem Parameter λ = 2. e) P(Y = 1) = 0

6 Lösung zu Aufgabe 2 a) Geeigneter Test: Mittelwerttest bei unbekannter Varianz H 0 : µ X 4, 5 H A : µ X > 4, 5 (Vermutung) Prüfgröße: n X n µ 0 S n > t 1 α;n 1 Entscheidungsregel: λ 1 α = λ 0,95 = 1, 6448 Rechnung: Z = 1, 8775 Entscheidung und Interpretation: Da 1, 8775 > 1, 6448, kann die Nullhypothese H 0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0, 05 verworfen werden. Die vorliegende Stichprobe stützt die Vermutung, dass die mittlere Brenndauer der Briketts größer ist als 4,5 Stunden. b) Wenn α = 0, 01 λ 0,99 = 2, 3263 Da 1, 8742 < 2, 3263, kann die H 0 auf einem Konfidenzniveau von 99% nicht verworfen werden. c) P mit ( X n Y m t 1 α 2 ;n+m 2 S 2 ) n+m m n µ X µ Y S 2 = 1, 556 t 1 α 2 ;n+m 2 = 2, 009 UG = 0, 0705 OG = 1, 3905 KI = [-0,0705; 1,3905] d) Da der Wert 0 im KI enthalten ist, kann man sagen, dass die wahre Differenz der mittleren Brenndauern auch 0 sein könnte und sich demnach die mittleren Brenndauern der Briketts nicht signifikant (α = 0, 05) voneinander unterscheiden.

7 Lösung zu Aufgabe 3 a) i) P ( K E) = 1 P (K E) = 0, 7955 ii) P (K) = P (E K) + P (Ē K) = P (E K) + P (Ē) P (K Ē) = 0, 5364 b) χ 2 -Anpassungstest X:= bevorzugter Snack der Besucher Gegeben: n = 72; k = 4; α = 0, Hypothesen: H 0 : p i = p 0 i = 0, 25 (= Gleichverteilung) H A : p i p 0 i = 0, Approximationsregeln: k = 4 8 und np 0 i = 72 0,25 = 18 4 (Approx.bed. erfüllt!) 3. Verteilung: Unter H 0 ist das Prüfmaß approximativ χ 2 -verteilt mit k 1 = 4 1 = 3 Freiheitsgraden. 4. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese ist zu verwerfen, falls die Prüffunktion größer ist als χ 2 1 α;(k 1) = χ 2 0,95;3 = 7, Rechnung: bevorzugte Snack Verteilung Brezeln Gummibärchen Popcorn Eis Stichprobenverteilung , , , , Gleichverteilung =18 =18 =18 =18 72 Prüfgröße: χ 2 = (13 18) (11 18) (27 18) (21 18)2 18 = 9, Entscheidung und Interpretation: Da 9, 1111 > 7, 81, wird die H 0 auf einem Signifikanzniveau von α = 0,05 verworfen. Die vorliegende Stichprobe deutet also nicht darauf hin, dass sich die Präferenz der Kunden auf die Snacks gleichverteilt. c) E(T ) = µ µ µ = 11 6 µ µ d) Bias(T ) = 5 6 µ V ar(t ) = σ2 e) Effizienter, wenn V ar(t 1) < V ar(t 2)

8 Lösung zu Aufgabe 4 a) β 1 = xy x y = 0, 1124 x 2 x2 β 0 = y β 1 x = 90, 1927 Y i = 90, , 1124 x i b) β 0 : Bei einer Wassertemperatur von 0 C sollte es Michael im Mittel gut 90,2 Sekunden im Wasser aushalten. β 1 : Steigt die Wassertemperatur um 1 C hält es Michael im Mittel um 0,11 Sekunden länger im Fluss aus. c) Ŷ (x i) = β 0 + β 1 x i = 91, 0919 d) σ 2 = 28, 7909 V ar( β 1 ) = 0, 8518 t 0,95;3 = 2, 35 β 1 ± t 0,95;3 V ar( β 1 ) = 0, 1124 ± 2, 1688 Untergrenze: 0, , 1688 = 2, 0564 Obergrenze: 0, , 1688 = 2, 2812 [ ; ] Der wahre aber unbekannte Steigungskoeffizient liegt mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% im Intervall [-2,0564; 2,2812]. Da dieses Konfidenzintervall die Null enthält hat die Wassertemperatur wohl keinen Einfluss auf die Schwimmdauer. e) Zwei korrekte Antworten aus: Das Regressionsmodell bildet den wahren Zusammenhang funktional korrekt ab Das Modell ist im Mittel wahr: die Störterme heben sich im Mittel auf Homoskedastie: die Störterme streuen gleichmäßig Keine Autokorrelation: die Störterme sind unabhängig voneinander Die Störterme sind normalverteilt, auch: U i N(0, σ 2 ) Keine Kollinearität