FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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Gerda Hofer
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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 20. September 2013, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Tragen Sie zunächst für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) sowohl auf das Deckblatt der Teilklausur als auch auf das Deckblatt der Lösungsbogen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 2. Es können insgesamt 100 Punkte erreicht werden. Bei Erreichen von 50 Punkten ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 3. Für beide Klausurteile ist die Benutzung nur von folgenden drei Modellreihen der Taschenrechner gestattet: Casio fx86, Texas Instruments TI 30 X II, Sharp EL 531. Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbogen und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den entsprechenden Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe ein neues Blatt. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden. 5. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 6. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

3 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik Datum Punkte Termin: Prüfer: 20. September 2013, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

4 Vertiefung der Statistik Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 Punkte) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. 1. Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable, deren Realisation von der Stichprobe abhängig ist. 2. Das Konfidenzintervall ist ein Bereich, das den zu schätzenden Parameter mit Sicherheit enthält. 3. Bei schiefverteilten Merkmalen ist die Schätzung des Erwartungswerts über den empirischen Median erwartungstreu. 4. Der Mittelwert wird wesentlich stärker von Ausreißern beeinflusst als der Median. 5. Für normalverteilte Zufallsgrößen liegen alle Realisierungen im Intervall µ ± 3σ. 6. Je größer die Varianz, desto flacher verläuft die Glockenkurve. 7. Die Größe des α-fehlers beeinflusst die Größe des β-fehlers. 8. Die Messwerte der Beobachtungseinheiten innerhalb einer einfachen Zufallsstichprobe müssen unabhängig voneinander sein. 9. Wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, wird stets ein Fehler 2. Art gemacht. 10. Wenn die Alternativhypothese richtig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, aufgrund des Testergebnisses falsch zu entscheiden, höchstens α.

5 Vertiefung der Statistik Aufgabe (10 Punkte) (5 Punkte) In einer Großstadt soll der Anteil der Beamten unter den Erwerbstätigen mindestens 25 % betragen. In einer Stichprobe vom Umfang N = 100 befinden sich 21 Beamte. Kann die Behauptung bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 widerlegt werden? 2.2 (5 Punkte) Ein Würfel wird 120mal mit folgenden Häufigkeiten für die verschiedenen Augenzahlen geworfen: Augenzahl Häufigkeit Überprüfen Sie mit Hilfe des χ 2 -Tests, ob es sich um einen gefälschten Würfel handelt (α = 0.1).

6 Vertiefung der Statistik Aufgabe 3 (15 Punkte) Für die Jahre 2001 bis 2012 liegen Angaben über den durchschnittlichen jährlichen Verbrauch von Elektrizität (in kwh) eines 4-Personen-Haushalts sowie der Preisindex für Elektrizität (Basis 2002) vor. 3.1 (3 Punkte) Schätzen Sie die Parameter α, β, σ 2 des linearen Regressionsmodells Y n = α + βx n + ɛ n, n = 1,..., N, aus den in Abb. 1 angegebenen Statistiken (verwenden Sie 3 Nachkommastellen). 3.2 (6 Punkte) Prüfen Sie bitte, ob sich die Regressionsparameter α, β signifikant von 0 unterscheiden (Signifikanzniveau 0.05). Hinweis: (N 1)s 2 x = n x2 n N x (1 Punkt) Wie lautet das Bestimmtheitsmaß für die Prognose von Stromverbrauch durch Strompreisindex? 3.4 (5 Punkte) Wie hoch fällt der Stromverbrauch unter ansonsten gleichen Bedingungen bei einem Preisniveau aus, das durch einen Preisindex von 110 gekennzeichnet ist. Berechnen Sie auch ein 95%-Prognoseintervall für den prognostizierten Wert.

7 Vertiefung der Statistik Abbildung 1: Zusammenhang zwischen Stromverbrauch und Strompreisen.

8 Vertiefung der Statistik Aufgabe 4 (15 Punkte) Untersucht wird das Image einer Ladenkette in Abhängigkeit von der Schulung des Personals. Gegeben sei folgende Kreuztabelle: gemeinsame absolute Häufigkeiten: h ij keine Schulung Schulung h i. Unzufrieden Zufrieden h.j (6 Punkte) Bestimmen Sie die symmetrischen Zusammenhangsmaße χ 2, K und φ. 4.2 (9 Punkte) Bestimmen Sie die Richtungsmaße Goodman-Kruskal λ (x y (symmetrisches Maß mit λ s bezeichnet), x y, y x) und Goodman-Kruskal τ (x y, y x). λ s = G x(+) + G y (+) G x ( ) G y ( ) 2 G x ( ) G y ( ) G(+) G( ) τ(x y) = 1 G( ) mit G(+) = ij f 2 ij/f.j als Gütemaß mit Prädiktion und G( ) = i f 2.i als Gütemaß ohne Prädiktion.

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