Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit Wahlfach Statistik. 7. Februar 2008

Transkript

1 L. Fahrmeir, G. Walter Department für Statistik Bitte für die Korrektur freilassen! Aufgabe 3 4 Punkte Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit Wahlfach Statistik 7. Februar 8 Hinweise:. Überprüfen Sie bitte, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte neben diesem Deckblatt 4 Aufgaben auf 4 Aufgabenseiten sowie Zusatzangabe auf Seiten enthalten.. Die Bearbeitungszeit beträgt Minuten und es können maximal 6 Punkte sowie 9 Bonuspunkte in drei mit ( ) markierten Teilaufgaben erreicht werden. 3. Als Hilfsmittel sind ausschließlich ein Taschenrechner sowie die offizielle Formelsammlung (mit eigenen handschriftlichen Einträgen, aber ohne Zusatzblätter) erlaubt. 4. Ausländische Studenten dürfen ein Wörterbuch verwenden (deutsch Muttersprache). 5. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt. 6. Verwenden Sie für Ihre Notizen und Lösungen ausschließlich die Ihnen zur Verfügung gestellten Papierbögen. 7. Geben Sie bitte am Ende der Klausur alle von Ihnen zur Korrektur vorgesehenen Blätter ab und kennzeichnen Sie jedes abgegebene Blatt mit Name und Matrikelnummer. Bitte ausfüllen und unterschreiben!!! Name (in Druckbuchstaben): Matrikelnummer: Geburtstag: Studienfach: Geburtsort: Hörsaal: A 4 A 4 Platznummer: Ich bestätige, dass ich obige Hinweise zur Kenntnis genommen habe und sie befolgen werde. Ich bin mit einer Veröffentlichung meines Klausurergebnisses im Internet in der Form <Matrikelnummer><Note> einverstanden. (Falls nicht, den letzten Satz bitte streichen!) Unterschrift: Viel Erfolg!

2 Aufgabe +3 Punkte (a) Begründen Sie kurz, ob folgende Matrizen Kovarianzmatrizen sein können und falls nein, warum nicht. ( ) ( ) ( ) Σ = Σ 5 = Σ.3. 3 =.8 5 (b) Sei x = (x, x, x 3 ) T normalverteilt mit (i) Interpretieren Sie das Element σ 3. 9 µ = und Σ = 4 4 (ii) Berechnen Sie die Korrelationsmatrix P und interpretieren Sie das Element ρ 3. (iii) Bestimmen Sie die Randverteilung von x 3. (iv) Berechnen Sie den Erwartungswert µ x z der bedingten Verteilung von x gegeben z = (x, x 3 ) T. (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Kovarianzmatrix der Zufallsvariablen y = A x mit x aus (b) und ( ) A =. Aufgabe +3 Punkte Gegeben seien unabhängige Beobachtungen x,..., x n einer Poisson verteilten Zufallsgröße X. Die Dichte der Poisson Verteilung ist definiert für X IN und besitzt für gegebenen Parameter λ > folgende Form: Es gilt: E[X] = λ und Var(X) = λ. f(x i λ) = exp{ λ} λx i x i!. (a) Bestimmen Sie zunächst die Likelihood und die Log Likelihood des unbekannten Parameters λ für die i te Beobachtung der Stichprobe. Berechnen Sie dann die Log Likelihood für die gesamte Stichprobe. (b) Berechnen Sie die Scorefunktion s(λ) der Stichprobe. Zeigen Sie, dass n n i= x i der ML Schätzer für λ ist. (c) Zeigen Sie, dass der ML Schätzer für λ erwartungstreu ist. Berechnen Sie die Varianz des ML Schätzers für λ und kennzeichnen Sie die Stelle der Berechnung, an der die Unabhängigkeit der n Beobachtungen x,..., x n eingeht. (d) Berechnen Sie die beobachtete Information und die Fisher Information der Stichprobe.

3 Aufgabe 3 +3 Punkte Bei einer Untersuchung zur Lebenserwartung in 9 verschiedenen Staaten wurden unter anderem folgende Merkmale erhoben: Variable Beschreibung lifeexpf Lebenserwartung für die weibliche Bevölkerung (in Jahren) f ertrate Fertilitätsrate (durchschn. Anzahl Kinder pro Frau im gebärfähigen Alter) gdp Bruttoinlandsprodukt (pro Kopf, in Dollar, kaufkraftbereinigt) gdp = gdp gdp3 = gdp 3 develop Status als Entwicklungsland (Ja =, Nein = ) doc Anzahl Ärzte pro Einwohner urban Prozentsatz der Bevölkerung, der in städtischen Gebieten wohnt urban c urban zentriert, d.h. urban urban = urban 48.9 urban c urban quadriert und zentriert, d.h. = urban urban = urban 9 Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen der Lebenserwartung für die weibliche Bevölkerung und den Einflußgrößen mittels zweier Regressionsmodelle betrachtet werden, deren Ergebnisse als SPSS Outputs in der beiliegenden Zusatzangabe zusammengefasst sind. Zunächst soll Modell () näher untersucht werden. (a) Berechnen Sie die Werte A bis D. (b) Stellen Sie die Modellgleichung auf und interpretieren Sie die geschätzten Regressionsparameter zu den Variablen fertrate und gdp. Entspricht der Wert von ˆβ develop Ihrer Erwartung? (Erklären!) (c) Was lässt sich für Modell () bezüglich der Tests für die Hypothesen. H : β fertrate =. H : β develop = 3. H : β fertrate = β gdp = β develop = β doc = β urban c = β urban c = aussagen, falls man α =. zu Grunde legt? (d) Welche Lebenserwartung würden Sie für ein Entwicklungsland prognostizieren, in dem 54 % der Bevölkerung in städtischen Gebieten wohnt, die Fertilitätsrate bei 4.3 liegt, 9.9 Ärzte pro Einwohner zur Verfügung stehen und dessen Bruttoinlandsprodukt pro Kopf 46 Dollar beträgt? (e) Testen Sie zum Niveau α =., ob der Prozentsatz der Bevölkerung, der in städtischen Gebieten wohnt, einen signifikanten Effekt auf die Lebenserwartung hat. Formulieren Sie dazu die Nullhypothese als lineare Hypothese der Art Cβ = d und führen Sie einen geeigneten Test durch. Wie lautet die Alternativhypothese H? (F.99 (, ) = 6.867, F.99 (, 3) = 6.865, F.99 (, ) = 4.8, F.99 (, 3) = 4.798) (f) Welche Parameter ändern sich, wenn die Variable develop effektkodiert wäre (mit gleicher Referenzkategorie kein Entwicklungsland )? Berechnen Sie die neuen Parameter. Für Modell () wurde gdp nicht linear, sondern als Polynom dritten Grades (mit den Potenzen gdp und gdp3) in die Regressionsgleichung aufgenommen. Einige Ergebnisse für dieses Modell sind in der Zusatzangabe dargestellt. (g) Nennen Sie eine Möglichkeit, wie man die Modelle () und () hinsichtlich ihrer Güte vergleichen könnte.

4 (h) Die Abbildung unterhalb der Ergebnisse für Modell () zeigt das Streudiagramm von gdp vs. lifeexpf. Geben Sie eine Transformation an, mit der sich der nichtlineare Effekt von gdp modellieren ließe. (i) Kennen Sie weitere Möglichkeiten, um die nichtlineare Form des Effekts von gdp zu modellieren und zu schätzen? Aufgabe 4 8 Punkte Bei einer Untersuchung von 67 Haushalten in allen Bundesländern Deutschlands wurden unter anderem die folgenden Merkmale erhoben: Variable P C net nso nord d sued d ost d T t e t3 e Beschreibung PC im Haushalt vorhanden ( = ja, = nein) Nettoeinkommen des Haushalts in Euro geographische Region in drei Kategorien: nördliche Bundesländer (Schleswig-Holstein, Hamburg, Niedersachsen, Bremen, Nordrhein-Westfalen) südliche Bundesländer (Rheinland-Pfalz, Hessen, Baden-Württemberg, Bayern) östliche Bundesländer (Mecklenburg-Vorpommern, Brandenburg, Berlin, Sachsen- Anhalt, Sachsen, Thüringen) Dummyvariable für nördliche Bundesländer (dummykodiert) Dummyvariable für südliche Bundesländer (dummykodiert) Dummyvariable für östliche Bundesländer (dummykodiert) Haushaltstyp in drei Kategorien: -Personen-Haushalt Mehrpersonenhaushalt mit Kindern Mehrpersonenhaushalt ohne Kinder Dummyvariable für Mehrpersonenhaushalt mit Kindern (effektkodiert, Referenzkategorie -Personen-Haushalt ) Dummyvariable für Mehrpersonenhaushalt ohne Kinder (effektkodiert, Referenzkategorie -Personen-Haushalt ) Die Wahrscheinlichkeit π für PC im Haushalt vorhanden wurde mittels eines Logit-Modells geschätzt. Logit estimates Number of obs = 67 LR chi(5) = 39. Prob > chi =. Log likelihood = PC Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] net nord_d sued_d t_e t3_e A B _cons

5 (a) Wie sind die effektkodierten Variablen t e und t3 e definiert? (b) Interpretieren Sie kurz die geschätzten Regressionskoeffizienten ˆβ net und ˆβ nord d auf der Ebene der logarithmierten Chancen, der Chancen und der Wahrscheinlichkeit π. Wie lässt sich die Konstante ˆβ = cons interpretieren? (c) Berechnen Sie die durch dieses Modell geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass ein PC in einem Berliner Haushalt vorhanden ist, für den das Nettoeinkommen 43 Euro beträgt und der aus einem Ehepaar mit einem Kind besteht. (d) Berechnen Sie die Werte A und B im Regressions Output. (e) Testen Sie mittels eines geeigneten Tests zum Niveau α =., ob die geographische Region einen signifikanten Effekt besitzt. Formulieren Sie dazu zunächst die entsprechende Nullhypothese und Alternativhypothese. Zur Durchführung können Sie verwenden, dass sich für ein Modell, in das das Merkmal Region nicht eingeht, ein Wert der Log Likelihood von ergibt.