Übungsklausur Lineare Modelle. Prof. Dr. H. Toutenburg

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1 Übungsklausur Lineare le Prof. Dr. H. Toutenburg

2 Aufgabe Ein lineares Regressionsmodell mit der abhängigen Variablen Körpergröße und der unabhängigen Variablen Geschlecht wurde einmal mit der dummykodierten Variablen Geschlecht ( 0 = weiblich) und einmal mit der effektkodierten Variablen Geschlecht ( - = weiblich) gerechnet. Die beiden folgenden Tabellen enthalten einen Teil der daraus resultierenden SPSS Outputs. Coefficients a Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Std. Error Beta t Sig. (Constant) dummy a. Dependent Variable: GROESSE (Körpergröße) Coefficients a Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Std. Error Beta t Sig. (Constant) effect a. Dependent Variable: GROESSE (Körpergröße) a) Wie lautet das Regressionsmodell in Output? Wie lautet die mittlere Körpergröße b) Wie lautet das Regressionsmodell in Output 2? Was bedeutet constant = 75? 2

3 c) Wie lauten die beiden le, wenn männlich als Referenzkategorie gewählt wird? d) Ändern sich die Signifikanzen der Teststatistiken bei Wechsel der Referenzkategorie? ja nein Wenn ja, wie? e) Der Wert der t-statistik der Konstante in der Tabelle der Dummykodierung entspricht einem t-test zur Hypothese H 0 : x weiblich = 0. ja nein 3

4 Aufgabe 2 Bei einer Studentenbefragung wurde u.a. das Studienfach und das monatlich zur Verfügung stehende Budget (in DM) erfragt. Im folgenden wird beim Studienfach nur noch zwischen n = 20 Studenten mit naturwissenschaftlichem Studium (NWStud) und n 2 = 33 Studenten der Wirtschaftswissenschaften (WiWiStud) unterschieden. Der unten dargestellte SPSS-Output () enthält zunächst die Ergebnisse der linearen Regression des Studienfachs auf das monatliche Budget, wenn man das Studienfach dummy-kodiert (Referenzkategorie WiWiStud). Danach ist der Regressions-Output unter Verwendung der Effektkodierung (Referenzkategorie WiWiStud) dargestellt (Output (2)). Im dritten SPSS-Output wurde zusätzlich die Variable Bafög ins l aufgenommen, die angibt, ob der jeweilige Student Bafög erhält oder nicht. Die Variable Bafög ist dummykodiert mit der Referenzkategorie kein Bafög. Das Studienfach ist wie in Output () dummykodiert. Interpretieren Sie die SPSS-Outputs. Beantworten Sie dabei folgende Fragen (mit Begründung!): a) Was ist das Ergebnis von Output ()? Wie stark sind Budget und Studienfach korreliert? b) Kann aufgrund der Outputs () und (2) für die Variable monatliches Budget die Hypothese H 0 : µ WiWiStud = µ NWStud geprüft werden? Wie lauten die Teststatistik und die Testentscheidung? c) Welche Faktoren sind gemäß Output (3) für die Höhe des monatlichen Budgets ausschlaggebend? d) Wie würden Sie weiter vorgehen? (Beachte R 2 adjusted!) 4

5 Output (): Summary R R Square a. Predictors: (Constant), Studienfach Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.009 a Regression Residual Total a. Predictors: (Constant), Studienfach ANOVA b Sum of Mean Squares df Square F Sig a b. Dependent Variable: monatliches Budget (in DM) (Constant) Studienfach Coefficients a Unstandardized Coefficients B Std. Error a. Dependent Variable: monatliches Budget (in DM) Stan dardi zed Coef ficie nts Beta t Sig. 5

6 Output (2): Summary R R Square a. Predictors: (Constant), Studienfach Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.009 a Regression Residual Total a. Predictors: (Constant), Studienfach ANOVA b Sum of Mean Squares df Square F Sig a b. Dependent Variable: monatliches Budget (in DM) (Constant) Studienfach Coefficients a Unstandardized Coefficients B Std. Error a. Dependent Variable: monatliches Budget (in DM) Stan dardi zed Coef ficie nts Beta t Sig. 6

7 Output (3): Summary R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.475 a a. Predictors: (Constant), Bafög-Empfänger, Studienfach Regression Residual Total ANOVA b Sum of Mean Squares df Square F Sig a a. Predictors: (Constant), Bafög-Empfänger, Studienfach b. Dependent Variable: monatliches Budget (in DM) (Constant) Studienfach Bafög-Empfänger Coefficients a Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: monatliches Budget (in DM) B Std. Error Stan dardi zed Coef ficie nts Beta t Sig. 7

8 Aufgabe 3 In einem Konzern sollen die Auswirkungen von Weiterbildung in Qualitätsmanagement (Variable X) auf die Kosten für Nacharbeit und Reklamationen untersucht werden (Variable Y ). Es ergab sich bei einem Stichprobenumfang von n = 0 folgendes Ergebnis: ȳ = 0, x = 5, S yy = 200, S xx = 50, S xy = 200, s 2 = 4 a) Bestimmen Sie die KQ Schätzung ˆβ = ( ˆβ 0, ˆβ ) im einfachen linearen Regressionsmodell y i = β 0 + β x i + ɛ i, ɛ i N(0, σ 2 ). b) Bestimmen Sie das 95%-Konfidenzintervall für β. ausgewählte t n; Quantile: t 8 = t 9 = t 0 = c) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß. 8

9 Aufgabe 4 a) Sei Rang(A (m,n) ) = m n und seien B (m,m) und C (n,n) regulär. Dann gilt Rang(BAC) =... Wann ist BAC regulär? Was ist mit CAB? b) Sei A (n,n) quadratisch und symmetrisch. Die Eigenwertgleichung lautet... Die Anzahl der Nicht Null Eigenwerte ist gleich... c) Sei A zusätzlich nichtnegativ definit, dann lautet die Spektralzerlegung... Wie viele Eigenwerte sind Null negativ positiv Wie lauten die Eigenwerte von A /2 A /2 A 2 A + 3I d) Sei M eine symmetrische m m-matrix. (i) Seien λ min (M) = λ λ m = λ max (M) die der Größe nach geordneten Eigenwerte von M. Dann gilt x Mx x x 9

10 (ii) Wie lautet die Spektralzerlegung von M? (iii) Sei a ein Skalar. Geben Sie die Spektralzerlegung von am an! (iv) Sei M nun darüberhinaus regulär. Wie lautet dann die Spektralzerlegung von M? e) Seien M, N quadratische m m Matrizen, a ein Skalar und v, w (n ) Vektoren. Dann gilt: (i) Die Inverse M existiert genau dann, wenn (ii) (am) = (iii) (am) = (iv) (ai + 2 I) = 0

11 f) Sei M eine quadratische m m-matrix und seien λ,..., λ m die Eigenwerte von M. Dann gilt: (i) M + 2I = (ii) Sei A eine reguläre Matrix, dann gilt AMA = (iii) Sei M nun zusätzlich nichtnegativ definit. Geben Sie die Eigenwerte an von M 2 = M /2 = M /2 = M + 4I =

12 g) Seien v und w zwei n -Vektoren. Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche- Ungleichung (i) (v w) (ii) Sei M > 0. Zeigen Sie die Gültigkeit der Ungleichung (v w) 2 (v Mv)(w M w) (iii) Sei M 0 eine n n-matrix. Zeigen Sie die Gültigkeit der Ungleichung (v Mw) 2 (v Mv)(w Mw) 2

13 Aufgabe 5 a) Die folgende Matrix läßt sich als Produkt zweier Vektoren darstellen: ( ) J 2 = = aa mit a =.... Es gilt Rang(J 2 ) =.... b) Sei e = (, 0) und e 2 = (0, ). Dann gilt e e + e 2 e 2 =... c) Sei A = ( ) ( 7 2, B = 2 ) Dann ist spur(ab) = spur(ba) = spur(3a) = Rang(A) = spur(i m ) = spur(j m ) = spur(i m + J m ) = spur(i 3 + J 4 ) = 3

14 Aufgabe 6 Die Anfälligkeit eines Werkstoffs soll durch Zusatzstoffe bzw. 2 oder deren Kombination gesenkt werden. Als Vergleichsgruppe wird kein Zusatz verwendet. Die einfaktorielle Varianzanalyse zeigt folgendes Ergebnis. 5,5 5,0 4,5 Anfälligkeit 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 6,5 N = kein Zusatz Stoff Stoff 2 Stoff und 2 Zusatzstoff 4

15 ANOVA ANFÄLL Anfälligkeit Sum of Squares df Mean Square F Sig Between Groups Within Groups Total a) Hat der Faktor Zusatzstoff mit den Stufen kein, Stoff, Stoff 2 und Kombination einen Einfluss auf die Zielgröße? Descriptive Statistics ZUSATZ Zusatzstoff N Mean Std.Dev kein Zusatz ANFÄLL Anfälligkeit Stoff ANFÄLL Anfälligkeit Stoff 2 ANFÄLL Anfälligkeit Stoff und 2 ANFÄLL Anfälligkeit b) Prüfen Sie mit einem 2 Stichproben t Test, ob sich unter Annahme gleicher Varianzen die Kontrollgruppe vom Durchschnitt der drei anderen unterscheidet. Hinweis: Die gepoolte Varianz aus 3 Stichproben berechnet sich als s 2 = (n )s 2 +(n 2 )s 2 2 +(n 3 )s 2 3 n +n 2 +n 3 3. ausgewählte t Quantile: df