Crashkurs Einführung Biostatistik

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1 Crashkurs Einführung Biostatistik Prof. Burkhardt Seifert Abteilung Biostatistik, ISPM Universität Zürich Deskriptive Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung, ersuchsplanung Statistische Inferenz Prinzip statistischer Tests Konfidenzintervalle Stichprobengrösse, Power Korrelation und einfache lineare Regression Crashkurs Einführung Biostatistik

2 Korrelation und einfache lineare Regression Korrelation (Definition, Tests, Rangkorrelation, Gefahren) Einfache lineare Regression (Modell, Kleinste Quadrate, erklärte arianz, Tests) Multiple Regression (Idee) Crashkurs Einführung Biostatistik

3 Korrelation und Regression Analyse des Zusammenhangs von zwei stetigen ariablen (bivariate Daten) Beispiele: Beziehung Gewicht zu Grösse Zusammenhang zwischen Körperfett und BMI Fragestellungen: 1. Welcher Zusammenhang besteht zwischen zwei ariablen x und y? 2. Lässt sich die ariable y aus der ariablen x vorhersagen? Crashkurs Einführung Biostatistik

4 Bivariate Daten Beobachtung von zwei stetigen ariablen (x, y) an der selben Beobachtungseinheit paarweise Beobachtungen (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) Beispiel: Anteil Körperfett bestimmt durch Wiegen unter Wasser n = 241 Männer im Alter von 22 bis 81 Jahren y = Anteil Körperfett (in %) x = BMI = Gewicht/Höhe 2 (in kg/m 2 ) Nr BMI bodyfat alle Beobachtungen eines Individuums in der selben Zeile Beobachtungen verschiedener Individuen untereinander Crashkurs Einführung Biostatistik

5 Korrelation Pearsons Produkt Moment Korrelation r = s xy s x s y mit Kovarianz s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) 1 Zähler s xy : ȳ x Nenner: Standardisierung Crashkurs Einführung Biostatistik

6 orzeichen zeigt Richtung des linearen Zusammenhangs Grösse zeigt Intensität des linearen Zusammenhangs 1 r 1 r = 1 deterministisch positiver linearer Zusammenhang r = 1 deterministisch negativer linearer Zusammenhang r = 0 kein linearer Zusammenhang x y r=1 x y r= 1 x y r=0 x y r=0 x y r=0.5 x y r=0.9 Crashkurs Einführung Biostatistik

7 /ARIABLES=bodyfat bmi /PRINT=TWOTAIL NOSIG /STATISTICS DESCRIPTIES XPROD /MISSING=PAIRWISE. NONPAR CORR /ARIABLES=bodyfat bmi /PRINT=SPEARMAN TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. Tests auf linearen Zusammenhang Besteht ein linearer Zusammenhang jenseits des Zufalls? wissenschaftliche Hypothese: wahre Korrelation ρ 0 CORRELATIONS /ARIABLES=bodyfat bmi /PRINT=TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. Nullypothese: wahre Korrelation ρ = 0 IGRAPH /IEWNAME='Scatterplot' /X1 = AR(bmi) TYPE = SC E = SCALE /COORDINATE = ERTICAL /FITLINE METHOD = REGRESSION LINEAR LINE = TOTAL MEFFECT SPIKE TH=3.0 /X2LENGTH=3.0 /CHARTLOOK='NONE' /SCATTER COINCIDENT = NONE. Interactive Graph Annahmen: (x, y) gemeinsam normalverteilt, Paare unabhängig Correlations bodyfat bmi Correlations Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N bodyfat 1.718** ** bmi **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). NONPAR CORR /ARIABLES=bodyfat bmi /PRINT=SPEARMAN TWOTAIL NOSIG /MISSING=PAIRWISE. bodyfat bodyfat = * bmi R-Square = bmi Li Crashkurs Einführung Biostatistik EXE. Nonparametric Correlations

8 bodyfat bmi bodyfat Pearson Correlation 1.718** Sig. (2-tailed) N bmi Pearson Correlation BehandlungSig. von (2-tailed) Ausreissern? N Testen ohne Normalverteilung? Spearmans Rangkorrelation Idee: Ähnlich zu Mann-Whitney Mittelwerts ergleich orgehen: /PRINT=SPEARMAN ManTWOTAIL korreliert NOSIG die Ränge miteinander anstatt die Zahlen selber. Nonparametric Beispiel: PearsonCorrelations Korrelation ** **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). NONPAR CORR /ARIABLES=bodyfat bmi /MISSING=PAIRWISE. Correlations Spearman's rho bodyfat bmi Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). bodyfat bmi ** ** Page 1 Für normalverteilte Daten sehr ähnlich zu Pearson-Korrelation Crashkurs Einführung Biostatistik

9 Gefahren der Fehlinterpretation von Korrelationen Wahrscheinlichkeit einer falschen Signifikanz 5% für einen statistischen Test Anzahl ariable Anzahl Korrelationen Wahrsch. falscher Signif Anzahl der Paare steigt dramatisch mit der Anzahl ariablen erhöhte Wahrscheinlichkeit für falsche Signifikanzen Crashkurs Einführung Biostatistik

10 Gefahren der Fehlinterpretation von Korrelationen (contd) Heterogenitätskorrelation (kein oder sogar umgekehrter Zusammenhang in den Gruppen) y x nichtlinearer Zusammenhang (starker Zusammenhang, aber r = 0, d. h. r nicht aussagekräftig) y x Scheinkorrelationen über Zeit (gemeinsamer Trend) allgemeiner: Konfundierung durch 3. ariable Anzahl der Störche und Geburten in einem Gebiet sind korreliert Crashkurs Einführung Biostatistik

11 Lineare Regression Korrelation misst Zusammenhang symmetrisch Regressionsanalyse ist statistische Analyse der Wirkung einer ariablen auf eine andere gerichtete Beziehung y = abhängige ariable, Zielvariable x = unabhängige ariable, Prädiktor oft nicht zufällig (Zeit, Alter) und nicht stetig (Geschlecht, Gruppe) Ziel: quantitatives Gesetz finden wie sich y ändert, wenn x sich ändert Crashkurs Einführung Biostatistik

12 Beispiel: Ist das Gewicht ein gutes Mass für Übergewicht? Regression y = Gewicht, x = Höhe (n = 241 Männer) y = x, r 2 = 0.31, p < gewicht hoehe Das Gewicht hängt signifikant von der Körpergrösse ab. Crashkurs Einführung Biostatistik

13 Regression y = BMI, x = Höhe y = x, r 2 = 0.005, p = 0.27 bmi hoehe Der BMI hängt nicht von der Körpergrösse ab, ist also ein besseres Mass für Übergewicht als Gewicht. Crashkurs Einführung Biostatistik

14 Statistisches Modell der linearen Regression y i = a b x i ε i i = 1,..., n a b x = wahre Regressionsfunktion a = Achsenabschnitt (Wert der Regressionsfunktion für x = 0) b = Steigung ε = unbeobachtbare zufällige Residuen Annahmen zu den ε i : wahres Mittel = 0 arianz konstant für Tests und Konfidenzintervalle: unabhängig und normalverteilt Crashkurs Einführung Biostatistik

15 Beispiel: Ist der BMI ein gutes Mass für Körperfett? bodyfat bmi Geradengleichung: bodyfat = bmi Interpretationen: 1. Männer mit einem BMI von 26 kg/m 2 haben im Mittel 20.2% Körperfett. 2. Männer mit einem um 1 kg/m 2 erhöhten BMI haben im Mittel 1.8% mehr Körperfett. Crashkurs Einführung Biostatistik

16 Die Methode der kleinsten Quadrate Wie legt man Gerade am besten durch die Daten? bodyfat bmi Gefitteter Wert (orhersage): ŷ i = â ˆb x i Wähle Parameter so, dass quadratische Abweichung n (y i ŷ i ) 2 minimal wird i=1 Crashkurs Einführung Biostatistik

17 Die Methode der kleinsten Quadrate Es wäre möglich, die Gerade iterativ zu bestimmen: infiltration score Quadratsumme: cytotoxicity Crashkurs Einführung Biostatistik

18 Die Methode der kleinsten Quadrate Es wäre möglich, die Gerade iterativ zu bestimmen: infiltration score Quadratsumme: cytotoxicity Crashkurs Einführung Biostatistik

19 Die Methode der kleinsten Quadrate Es wäre möglich, die Gerade iterativ zu bestimmen: infiltration score Quadratsumme: cytotoxicity Es gibt aber eine explizite Formel: Steigung: ˆb = s xy s 2 x = r s y s x Achsenabschnitt: â = ȳ ˆb x Crashkurs Einführung Biostatistik

20 Durch die Regression erklärte arianz Frage: Kann die Regression von y auf x für die orhersage genutzt werden? Wieviel arianz von y kann durch Regressionsgerade, d. h., durch Kenntnis von x, erklärt werden? bodyfat x Rest { erklärt x i Regressionsgerade beobachtet Mittelwert bmi beobachtet = erklärt Rest Der Abstand der Regressionsgeraden vom Mittelwert ist der Teil des Abstands der Beobachtung vom Mittelwert, der durch die Regression erklärt wird. Crashkurs Einführung Biostatistik

21 bodyfat x Rest { erklärt x i Regressionsgerade beobachtet Mittelwert bmi arianzen sind additiv, nicht Standardabweichungen (hier: in Stichprobe) ar(beobachtet) = ar(erklärt) ar(rest) ar(beobachtet) = ar(y) = s 2 y erklärte arianz: ar(erklärt) = r 2 s 2 y für Interessierte: erklärt = ˆb(x i x) s 2 erklärt = ˆb 2 s 2 x = (r s y s x ) 2 s 2 x = r 2 s 2 y r 2 = ar(erklärt)/s 2 y = Teil der arianz von y, der durch x erklärt wird Crashkurs Einführung Biostatistik

22 Residualvarianz (nicht erklärt): ar(rest) = s 2 y r2 s 2 y = (1 r2 ) s 2 y d. h., Beobachtungen streuen um Regressionsgerade mit SD SD(Rest) = 1 r 2 s y r s res /s y = 1 r Gewinn= 1 1 r 2 5% 13% 29% 56% 86% Beispiel : Mittelwert Körperfett ist 18.9 Standardabweichung Körperfett s y ist 8.0 Korrelation(BMI,Körperfett) r ist 0.72 individuelles Körperfett variiert um Mittelwert 18.9 mit SD s y = 8.0 um vorhergesagte Werte ŷ mit SD 1 r 2 s y = 5.5 Gewinn: 30% Crashkurs Einführung Biostatistik

23 Test auf linearen Zusammenhang Wissenschaftliche Hypothese: y ändert sich mit x systematisch (b 0) Nullhypothese: wahre Steigung b = 0 falls (x, y) normalverteilt gleicher Test wie auf Korrelation ρ = 0 In Regressionsanalyse: alle Analysen bedingt für gegebene Werte x 1,..., x n erteilung von x nebensächlich, kann auch deterministisch sein einfacher als Analysen der Korrelation exaktes Konfidenzintervall für b Crashkurs Einführung Biostatistik

24 Model 1 ariables Entered ariables Removed bmi a. Enter a. All requested variables entered. b. Dependent ariable: bodyfat Method Output SPSS Model Summary Model 1 a. Predictors: (Constant), bmi R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.718 a ANOA b Model 1 Regression Residual Total a. Predictors: (Constant), bmi b. Dependent ariable: bodyfat Sum of Squares df Mean Square F Sig a Coefficients a Model 1 (Constant) bmi a. Dependent ariable: bodyfat Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Sig. 95% Confidence Interval for B Lower Bound Upper Bound Crashkurs Einführung Biostatistik

25 Multiple Regression Regression mit mehreren erklärenden ariablen Gründe für multiple Regressionsanalyse: 1. mögliche Effekte von zusätzlichen Stör ariablen in einer Studie mit einer Einflussgrösse eliminieren. Beispiel: Häufige Störgrösse ist das Alter. y = Blutdruck, x 1 = Dosierung Hypertensivum, x 2 = Alter. 2. mögliche Prognosefaktoren erforschen, von denen wir nicht wissen, ob sie wichtig oder redundant sind. Beispiel: y = Stenose, x 1 = HDL, x 2 = LDL, x 3 = BMI, x 4 = Rauchen, x 5 = Triglyceride. 3. Formel zur besseren orhersage aus erklärenden ariablen entwickeln. Beispiel: y = Erwachsenengrösse, x 1 = Grösse als Kind, x 2 = Grösse der Mutter, x 3 = Grösse des aters. 4. Wirkung einer ariablen x 1 auf eine andere ariable y studieren, wobei Einfluss weiterer ariablen x 2,..., x k berücksichtigt wird. Crashkurs Einführung Biostatistik

26 Beispiel: y = Anteil Körperfett (in %) in Abhängigkeit von x = BMI, Quotient Bauch zu Hüftumfang, Bauchumfang bodyfat bmi waist/hip abdomen Crashkurs Einführung Biostatistik

27 b. Dependent ariable: bodyfat Model Summary Model 1 R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.825 a a. Predictors: (Constant), abdomen, waist/hip, bmi ANOA b Model 1 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig a a. Predictors: (Constant), abdomen, waist/hip, bmi b. Dependent ariable: bodyfat Coefficients a Model 1 (Constant) bmi waist/hip abdomen a. Dependent ariable: bodyfat Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Sig. 95% Confidence Interval for B Lower Bound Upper Bound Crashkurs Einführung Biostatistik

28 Coefficients a Model 1 (Constant) bmi waist/hip abdomen Unstandardized Coefficients B Std. Error Standardized Coefficients Beta t Sig. 95% Confidence Interval for B Lower Bound Upper Bound a. Dependent ariable: bodyfat orhersageformel: bodyfat = * BMI 38.5 * waist/hip 0.44 * abdomen Regressionskoeffizienten, Konfidenzintervalle und P Werte für einzelne ariable gelten bei festgehaltenen anderen Covariablen BMI nicht signifikant, wenn waist/hip und abdomen bekannt, Konfidenzintervall eng schrittweise Regression nötig Crashkurs Einführung Biostatistik