Biometrische und Ökonometrische Methoden I! Lösungen 3

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN - WEIHENSTEPHAN WS 97/98 MATHEMATIK UND STATISTIK, INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM Biometrische und Ökonometrische Methoden I! Lösungen 3 1. MTB > Retrieve 'H:\STUDENT\MINITAB\TREES.MTW'. Retrieving worksheet from file: H:\STUDENT\MINITAB\TREES.MTW Worksheet was saved on 11/18/1996 a) MTB > name c4 'Durchm.' c5 'Hoehe' c6 'Volumen' MTB > Let 'Durchm.' = diameter * 2.54 MTB > Let 'Hoehe' = height * MTB > Let 'Volumen' = volume * **3 MTB > Save 'I:\TREES.MTW'; SUBC> Replace. Saving worksheet in file: I:\TREES.MTW b) MTB > Plot 'Volumen'*'Hoehe'; SUBC> Symbol; SUBC> Type 1; SUBC> Data ; SUBC> EType 0; SUBC> Axis 1; SUBC> Label "Höhe [m]"; SUBC> Axis 2; SUBC> Label "Volumen [m^3]"; SUBC> Tick 1; SUBC> TSize 1.25; SUBC> Tick 2; SUBC> TSize Volumen [m^3] Höhe [m] MTB > Plot 'Volumen'*'Durchm.'; SUBC> Symbol; SUBC> Type 1; SUBC> Data ; SUBC> EType 0; SUBC> Axis 1; SUBC> Label "Durchmesser [cm]"; SUBC> Axis 2; SUBC> Label "Volumen [m^3]"; SUBC> Tick 1; SUBC> Tick 2; SUBC> TSize 1.5. Volumen [m^3] Durchmesser [cm] 50 MTB > Correlation 'Durchm.'-'Volumen'. Correlations (Pearson) Durchm. Hoehe Hoehe Volumen

2 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 3 Seite 2 Die Korrelation zwischen Volumen und Durchmesser ist Das bedeutet, diese beiden Variablen haben einen relativ engen linearen Zusammenhang. Die Meßwerte weichen nur gering von einer Geraden ab (zweiter Plot). Dagegen ist die Korrelation zwischen Volumen und Höhe Das bedeutet, der lineare Zusammenhang ist eher gering und die Werte schwanken stärker um eine Gerade (erster Plot). c) MTB > Regress 'Volumen' 1 'Hoehe'; SUBC> Constant. Regression Analysis Volumen = Hoehe Constant Hoehe S = R-Sq = 35.8% R-Sq(adj) = 33.6% Regression Error Total MTB > Regress 'Volumen' 1 'Durchm.'; SUBC> Constant. Regression Analysis Volumen = Durchm. Constant Durchm S = R-Sq = 93.5% R-Sq(adj) = 93.3% Regression Error Total

3 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 3 Seite 3 d) Der Regressionskoeffizient (b 1 ) gibt die Steigung der Geraden an, d.h. um wieviel sich das Volumen ändert, wenn Höhe bzw. Durchmesser um eine Einheit zu- bzw. abnehmen. Im vorliegenden Fall ist eine Volumensteigerung von m 3 pro m zusätzliche Höhe bzw. von m 3 pro cm zusätzlichen Durchmesser zu erwarten. Der Regressionskoeffizient sagt nichts über die Güte des Modells aus. Ein Maß für die Güte des linearen Zusammenhangs ist der Korrelationskoeffizient bzw. das Bestimmtheitsmaß (B = r 2 = R-Sq). Die Korrelation gibt an, wie gut die Gerade an die Beobachtungen angepaßt ist, aber sagt nichts über die Steigung der Geraden aus. Man beachte, daß das Regressionsmodell nicht über einen beliebigen Bereich der unabhängigen Variablen gültig ist. Beide Modelle liefern z.b. negative Volumina im Bereich kleiner Höhen und Durchmesser. MINITAB gibt neben der Regressionsgleichung die Ergebnisse für den Test des Achsenabschnitts ( H 0 : $ 0 '0 gegen H 1 : $ 0 0) und des Regressionskoeffizienten ( H 0 : $ 1 '0 gegen H 1 : $ 1 0) aus. In der anschließenden Tafel der Varianzanalyse erfolgt der Test des Bestimmtheitsmaßes ( H 0 : B'0 gegen H 1 : B>0 ). Alle p-werte sind sehr klein, so daß auf eine Signifikanz auf sehr kleinem Niveau geschlossen werden kann. e) Das Bestimmtheitsmaß ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten und dient als Maß für die Güte der Anpassung. Es ist im zweiten Modell wesentlich größer (93.5%) als im ersten (35.8%), d.h. die Werte sind wesentlich besser an eine Regressionsgerade angepaßt (siehe auch Korrelationskoeffizienten in Teilaufgabe b). Das Volumen läßt sich also aufgrund des Durchmessers besser vorhersagen. Das Bestimmtheitsmaß gibt an, wieviel Prozent der Gesamtvariation durch das Modell erklärt ist. Im ersten Modell sind dies lediglich 35.8%, im zweiten immerhin 93.5%. Für die Praxis bedeutet dies, es ist sinnvoller, den Durchmesser eines Baums zu bestimmen, als die Höhe, um dann das Baumvolumen zu schätzen.

4 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 3 Seite 4 2. a) MTB > Print C1 C2. Row C1 C MTB > Save 'I:\BLEI.MTW'; SUBC> Replace. Saving worksheet in file: I:\BLEI.MTW b) MTB > %Fitline 'c_ppm' 'x_m'; SUBC> Confidence Executing from file: C:\MTBWIN\MACROS\Fitline.MAC Macro is running... please wait Regression y = x Constant x S = R-Sq = 96.7% R-Sq(adj) = 96.5% Regression Error Total

5 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 3 Seite 5 Regression Plot 29 Y = X R-Sq = c_ppm x_m Die Regressionsgleichung mit Einheiten lautet also: c = 30.1 ppm 1.54 x c) Gradient ist der Regressionskoeffizient b 1 = 1.54 ppm/m. d) c(0 m) = 30.1 ppm (Achsenabschnitt b 0 ) MTB > set c3 DATA> DATA> end MTB > let c4= *c3 MTB > print c4 C Also: c(4 m) = 23.9 ppm, c(5 m) = 22.4 ppm, c(12 m) = 11.6 ppm 30.1 x = 0 Y x = 30.1 / 1.54 = 19.5 [m] (siehe unten) MTB > Let k1 = 30.1 / 1.54 MTB > Print K1. K e) B = R-Sq = 96.7% der Gesamtvariation werden durch das Modell erklärt. Auch aufgrund des Regressionsplots scheint das Modell vernünftig.