Skalenparameter. Beispiel (Filiale) Untersuchungseinheiten U 1,...,U n. Merkmal X. Urliste x 1,...,x n. geordnete Urliste x (1),...

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1 Skalenparameter Unteruchungeinheiten U,,U n Merkmal X Urlite x,,x n geordnete Urlite x (),,x (n) E gilt iallg: x x( ), i, K n i i, Merkmalauprägungen a,, a k Beipiel In einer wetdeutchen Großtadt gibt e ingeamt drei Träger für Pflegeheime Der erte Träger beetzt 50 Prozent einer Stellen immer mit Vollzeitkräften (8 Stunden pro Tag) und die übrigen 50 Prozent eweil mit Halbtagkräften (4 Stunden pro Tag) Je eine Vollzeit- und eine Halbtagkraft bilden ein Mini-Team Intereiert man ich für die durchchnittliche Arbeitzeit, o erhält man bei dieem Träger ein arithm Mittel von 6 Stunden Beim zweiten Träger gibt e drei Arten von Stellen, nämlich Vollzeit-, Dreiviertel- und Halbtagkräfte, die eweil ein Drittel de Stellenpool aumachen Die Dreiviertelkräfte arbeiten 6 Stunden pro Tag Auch hier erhält man al arithm Mittel für die Arbeitdauer 6 Std Beim dritten Träger exitieren die gleichen Stellenformen wie beim Träger Nur ind hier 80 Prozent aller Mitarbeiter Dreiviertelkräfte und nur e 0 Prozent Vollzeit- bzw Halbtagkräfte Wiederum erhält man al arithmetiche Mittel für die tägliche Arbeitzeit 6 Stunden Beipiel (Filiale) Gechäfttelle Mo Di Mi Do Fr Sa So Haupttelle Filiale bei welcher der beiden Gechäfttellen konzentriert ich die Beratunghäufigkeit mehr auf einen Wochentag? (geringe Variabiliät) bei welcher der beiden Gechäfttellen liegt eine gleichmäßigere Verteilung auf mehrere Wochentage vor? (große Variabiliät) Minimale Streuung: eine Merkmalauprägung mit der relativen Häufigkeit h(a i ), für alle anderen Merkmalauprägungen a gilt h(a ) 0 (Einpunktverteilung) Maximale Streuung: die relativen Häufigkeiten ind bei allen Merkmalauprägungen gleich groß, für alle Merkmalauprägungen a gilt h(a ) k! Die Merkmalauprägungen ind die Wochentage! Die Zahlen ind die relativen Häufigkeiten 3 4

2 Skalenparameter für nominale Daten Abtand zur Verteilung mit minimaler Streuung D : ( h( amod )) Beipiel (Filiale) Gechäfttelle Mo Di Mi Do Fr Sa So Haupttelle Filiale Abtand zur korrepondierenden Häufigkeitverteilung mit maximaler Streuung k G : h( a i ) i k Skalenparameter ( X ) : D D + G 5 D D G G ( Haupttelle) ( 05) ( Filiale) ( 04) ( Haupttelle) ( Filiale) Beipiel (Filiale) Skalenparameter für ordinale Daten ( Haupttelle) ( Filiale) 075 Die Filiale zeichnet ich alo durch eine höhere Variabilität au Bei der Haupttelle findet die Beratung alo konzentrierter an einem Wochentag, nämlich dem Dientag tatt Gechäfttelle Mo Di Mi Do Fr Sa So Haupttelle Filiale Minimale Streuung: eine Merkmalauprägung mit der relative Häufigkeit h(a i ), für alle anderen Merkmalauprägungen a gilt h(a ) 0 (Einpunktverteilung) Maximale Streuung: für die k geordneten Auprägungen gilt: h h ( a ) h( a ) 5 k 0 ( a ) h( a ) L h( a ) 0 3 k 7 8

3 Skalenparameter für ordinale Daten k d X : F a Normierung: k ( ) F ( ) F( ) max a d d, : X X norm k a 05 Beipiel (Bewertung) Note Summe Männer Frauen F(Männer) F(Frauen) F max : d X Skalenparameter: o ( ), norm X 9 d X d X ( Männer) ( Frauen) o 5 6 ( X ) Spannweite R (Range) Spannweite R bei klaierten Daten ( n) x( ) Maximum Minimum R : x Beipiel (Hopiz) R Differenz zwichen der oberen Klaengrenze der größten Klae und der unteren Klaengrenze der unterten Klae Beipiel (Anfahrtwege) Klae H(K ) h(k ) K [0,4] K (4,8] 7 0 K 3 (8,] 9 07 K 4 (,6] 6 08 K 5 (6,0] 5 05 K 6 (0,4] 0030 K 7 (4,8] 006 Summe R 8-0 8

4 Interquartilabtand IQ Der Interquartilabtand bechreibt die Spannweite der mittleren 50% aller (geordneten) Beobachtungen IQ : ~ x ~ 075 x05 Beipiel (Hopiz) ~ x05 x ~ x075 x ( 3) 5 ( 8) 78 IQ IQ bei klaierten Daten Betimmung der Quantile a) Betimmung der Klaen, die da obere bzw untere Quartil enthalten b) Feinbetimmung der Quartile innerhalb der Klaen Betimmung de Interquartilabtand au der Differenz der beiden Quartile 4 Beipiel (Anfahrtzeiten) Klae H(K ) h(k ) F(K ) K [0,4] K (4,8] K 3 (8,] K 4 (,6] K 5 (6,0] K 6 (0,4] K 7 (4,8] Summe ~ x ( 8 4) ~ x ( ) 846 IQ y MAD (Median Abolute Deviation) yi xi ~ x05 i, L, n MAD it der Median der y i Hopiz x i Abtand zum Median y x ~ i i x ~ 5 x 0 50 ( i) : ~ y n 0 n gerade 6

5 MAD bei klaierten Daten Betimmung de Median unter Verwendung der Klaenmittel oder der Klaenmitten werden die aboluten Abweichungen vom Median betimmt Diee Abweichungen ind mit der eweiligen Klaenhäufigkeit zu gewichten It zb H(K i ) 3 und H(K ) 5, o ind die entprechenden Abweichungen mehrmal zu verwenden, nämlich H(K i ) 3-fach bzw H(K ) 5-fach 3 Abchließend wird dann der Median der Abweichungen gebildet 7 Beipiel (Anfahrtwege) ~ x ( 8) K m H(K ) y m ~ x05 K K K K K K K Mittlere Abolute Abweichung vom Median n 05 : xi ~ x05 n i Hopiz x i Abtand zum Median y x ~ i i x ~ 5 x ( ) 55 9 bei klaierten Daten Betimmung de Median unter Verwendung der Klaenmittel oder der Klaenmitten werden die aboluten Abweichungen vom Median betimmt Diee Abweichungen ind mit der eweiligen Klaenhäufigkeit zu gewichten It zb H(K i ) 3 und H(K ) 5, o ind die entprechenden Abweichungen mehrmal zu verwenden, nämlich H(K i ) 3-fach bzw H(K ) 5-fach 3 Abchließend wird dann da arithmetiche Mittel der gewichteten aboluten Abweichungen vom Median gebildet 0

6 05 Beipiel (Anfahrtwege) K m H(K ) y m ~ x05 K K K K K K K x 0 0,897 ( ) ~ 5 Mittlere Abolute Abw vom Mittelwert n m : x i x n i 0 E gilt immer m 5 n n c ~ xi xi x05 für alle Zahlen c n i n i Die Varianz und die Standardabweichung n xi n i n xi n i ( x) ( d ) für alle Zahlen d : empiriche Varianz ( x) Standardabweichung n xi n i x 79,6 Beipiel (Hopiz) 39, 44, 78, 5, 348, 5, 0, 0, 48, ,4 050,67 9 (( 40,6 ) + ( 64,4 ) + (,6 ) + ( 7,6 ) + ( 68,4 ) + ( 7,6 ) ( 69,6 ) + ( 79,6 ) + ( 3,6 ) + ( 54,6 ) ) 0 50,67 0,48 3 4

7 Klaierte Daten Beipiel (Anfahrtwege) K m H(K ) Klaenmittel Klaenmitten ( K x), k H ( K ) n n ( m x), k H ( K ) K 3 K 6 7 K K K K 6 K 7 6 x 7 unter Verwendung der Klaenmitten Die getrimmte Varianz Zuammenfaung αt : n a n a i a+ ( x x ) ( i) αt Skalenniveau de Merkmal Skalenparameter nominal ordinal metrich Die winoriierte Varianz n a aw : a n i a+ ( x( ) ) a+ x aw + x( i) ( x ) aw + a ( x( n a) x aw ) ( X ) o ( X ) Spannweite R, 05, Interquartilabtand IQ, MAD 7 m, Standardabweichung, Varianz (arithm/getr/win) 8