INSTITUT FÜR REGELUNGSTECHNIK

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1 Aufgabe 9: Regler mit schaltendem Stellglied führen auf besonders einfache technische Lösungen. Durch pulsbreitenmoduliertes Schalten mit genügend hoher Frequenz ist auch hier eine angenähert lineare Betriebsweise möglich. Die Abbildung zeigt einen Regelkreis, der eine Tiefpass-Regelstrecke und einen hysteresebehafteten mit linearer Gegenkopplung (Rückführung) enthält. Der Einfluss der Rückführung auf das Verhalten der Regelung soll untersucht werden. d w - e - e u u - -u u G S2 G S y y u G u Als Teilübertragungsfunktionen der Regelstrecke sind gegeben G S (s) = T s + G S2 (s) = (T 2 s +)(T 3 s +) mit T >T 2 >T 3. Das Zweipunktglied habe eine symmetrische Hysterese-Kennlinie mit der normierten Ausgangsgröße u = ±u und den Umschaltwerten e u = ±ε; ε =,. a) Zunächst soll das Verhalten des Systems ohne Rückführung untersucht werden (G u = ). Es ist zu begründen, dass die damit zu erwartenden Ergebnisse für eine Regelung unbrauchbar sind. b) Es wird ein verzögertes Proportionalglied als Rückführung gewählt: G u = V u T u s + Die Parameter V u und T u sind mit vereinfachten Annahmen zu bestimmen. Welche Eigenschaften hat der Regelkreis mit dieser Rückführung? c) Als weitere Möglichkeit soll nun eine differenzierende Rückführung versucht werden: V u T i s G u = T u s + T i s + Auch hier sind die freien Parameter mit einer Näherungsrechnung zu ermitteln. Das Ergebnis ist mit einer entsprechenden linearen Regelung zu vergleichen.

2 Lösung Allgemeine Betrachtung: Es wird zunächst ein ohne Rückführung an einer PT-Strecke betrachtet, dessen Schaltverhalten untersucht werden soll. Das Bild 9. zeigt das Blockschaltbild. Bild 9.: mit Hysterese und PT-Strecke Die Wirkungsweise erklärt sich durch die Betrachtung der Umschaltpunkte und dem Regelfehler e. Die Stellgröße u des s kann nur zwischen u = u und u = u hin- und herschalten: Punkt A: Punkt B: e = w y < ε y > w + ε u = u e = w y > ε y < w ε u = u Gibt man nun eine Führungsvorgabe w auf den geschlossenen Kreis, so erhält man unter der Voraussetzung u w +u das in Bild 9.2 dargestellte Schaltverhalten.

3 Bild 9.2: Schaltverhalten des s Die Umschaltpunkte A, B und C sind eingetragen. Genau in diesen Punkten wechselt die Stellgröße des s das Vorzeichen, so dass auf das PT-Glied ein neuer Sprung gegeben wird, wobei die Sprunghöhen variieren. Abhängig von dem aktuellen y-wert ergeben sich die Sprunghöhen zu: Punkt A (y = w + ε): Der gibt die neue Stellgröße u = u aus und es ergibt sich die Sprunghöhe Δy Δy = u + w + ε Punkt B (y = w ε): Der gibt die neue Stellgröße u = u aus und es ergibt sich die Sprunghöhe Δy Δy = u w + ε Man erkennt aus dem Schaltverhalten, dass sich eine stationäre Schwingung f einstellt, die sich durch die Hysterese ε verändern lässt. f = T AB + T BC Eine Verkleinerung von ε erhöht die Schaltfrequenz f, wobei die Amplitude ŷ = ε abnimmt. Eine Erhöhung bewirkt entsprechend umgekehrtes Verhalten. Ein idealer ohne Hysterese (ε = )führt folglich auf eine unendliche Schaltfrequenz mit verschwindender Schwinungsamplitude: lim ε = lim ε =

4 Die Schaltfrequenz f lässt sich mit dem allgemeinen PT-Verlauf berechnen: y(t) y(t )=Δy( e t t T ) Mit t lässt sich nun der Ansatz auf die einzelnen Umschaltzeitpunkte verschieben und die Schaltfrequenz bestimmen. = t A t<t B : Sprunghöhe: Δy = ( + w + ε) y(t A ) = w + ε y(t B ) = w ε y(t B ) y(t A ) = 2ε Für t = t B ist y(t B ) bekannt und T AB = t B t A lässt sich leicht berechnen: = t B t<t C : y(t B ) y(t A ) = Δy( e T AB T ) 2ε = (u + w + ε)( e T AB T ) e T AB T = T AB = T ln 2ε u + w + ε ( u + w + ε u + w ε Sprunghöhe: Δy = ( w + ε) y(t B ) = w ε y(t C ) = w + ε y(t C ) y(t B ) = 2ε Für t = t C ist y(t C ) bekannt und T BC = t C t B lässt sich leicht berechnen: y(t C ) y(t B ) = Δy( e T BC T ) 2ε = (u w + ε)( e T BC T ) e T BC T = T BC = T ln ) 2ε u w + ε ( u w + ε u w ε Die Schaltperiode berechnet sich abschließend aus der Summe, so dass die Frequenz: f = T AB + T BC beträgt. )

5 Die stationäre Schwingung oszilliert zwar um w, betrachtet man aber nur die gemitteltete Ausgangsgröße ȳ, so ergibt sich wieder ein PT-Verhalten, allerdings mit stationär genauem Verhalten. = Bild 9.3: Mittelung des Schaltverhaltens des s Betrachtet man alternativ einen einfachen P-Regler mit der Verstärkung V,so erhält man das in Bild 9.4 dargestellte Übertragungsverhalten des geschlossenen Kreises. Für sehr hohe Verstärkungen strebt der stationäre Endwert gegen die Sollvorgabe und die stationäre Regelabweichung verschwindet. G g (s) = V Ts+ +V Ts+ lim g(s) V = = T s + V = Bild 9.4: Übertragungsverhalten mit einem P-Glied mit hoher Verstärkung Unter Vernachlässigung der stationären Schwingung verhält sich der mit Hysterese wie ein Verstärker (P-Regler) mit sehr hoher Verstärkung. MitdieserNäherung soll nun ein rückgekoppelter entsprechend Bild 9.5 betrachtet werden: Bild 9.5: Rückkopplung eines s

6 Für den geschlossenen Kreis gilt: Folgerung: G g (s) = V +VF(s) G g (s) lim V F (s) V G g (s) F (s) Ein rückgekoppelter verhält sich näherungsweise wie die inverse Strecke der Rückkopplung. a) Das Bild 9.6 zeigt das Übertragungsverhalten für eine PT3-Strecke mit einem mit Hysterese. Ohne Hysterese würden die Umschaltpunkte entsprechend enger zusammen liegen. Bild 9.6: mit Hysterese und PT3-Strecke

7 b) Der PD-Regler wurde für eine Dämpfung von D = 2 wurden die Zeitkonstanten wie folgt festgelegt: ausgelegt. In der Simulation T =3s T 2 =2s T 3 =s Für den Vergleich mit einem en PD-Regler musste dieser um eine parasitäre Zeitkonstante T u =, 2 T u ergänzt werden: K(s) = V u T u s + T u s Führungsgröße y.3 Stellgröße y Bild 9.7: Führungsgröße mit einem approximierten PD-Regler Bild 9.8: Stellgröße mit einem approximierten PD-Regler c) Der PID-Regler wurde ebenfalls für eine Dämpfung von D = 2 ausgelegt bei gleicher Wahl der Zeitkonstanten. Für den Vergleich mit einem en PID-Regler musste dieser um eine parasitäre Zeitkonstante T u =, 2 T u ergänzt werden: K(s) = T u s + T i s + V u T u s + T i s

8 Führungsgröße y.3 Stellgröße y Bild 9.9: Führungsgröße mit einem approximierten PID-Regler Bild 9.: Stellgröße mit einem approximierten PID-Regler

9 Folie zu a) Bild 9.: ohne Hysterese und PT3-Strecke

10 Folie zu b).5.4 Führungsgröße y Bild 9.2: Führungsgröße mit einem approximierten PD-Regler Stellgröße y Bild 9.3: Stellgröße mit einem approximierten PD-Regler

11 Folie zu c).5.4 Führungsgröße y Bild 9.4: Führungsgröße mit einem approximierten PID-Regler Stellgröße y Bild 9.5: Stellgröße mit einem approximierten PID-Regler