INSTITUT FÜR REGELUNGSTECHNIK

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Hilke Lorenz
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1 Lösung Übung 3 Aufgabe: Kaskadenregelung a Berechnung der Teilübertragungsfunktion G 3 s: V4 G 3 s Y 3s Xs T 4 s + + V 5 V 3 T 5 s + T 3 s + V4 T 5 s + T 4 s + V 5 V 3 T 4 s +T 5 s + T 3 s + V 3 [V 4 T 5 + V 5 T 4 s + ] T 3 T 4 T 5 s 3 +T 3 T 4 + T 3 T 5 + T 4 T 5 s +T 3 + T 4 + T 5 s + 3. Übung WS 0/ G 3 s V 3 b Ersatzübertragungsfunktion G e s für G 3 s: V 4 T 5 + V 5 T 4 s + T 3 T 4 T 5 s 3 +T 3 T 4 + T 3 T 5 + T 4 T 5 s +T 3 + T 4 + T 5 s + 3. G e s! Bedingungen: V e T e s + 3. gleiche statische Verstärkung. Es gilt, dass G 3 0! G e 0 sein muss. gleiche Regelfläche. Für sie gilt in allgemeiner Form: Gs V m T j s + n e n T L s A R V T i i T i s + j i m T j + T L j 3.3 Aus der Forderung für die stationäre Genauigkeit folgt: V e V 3 Die Regelfläche ergibt sich zu: [! A R V e T e V 3 T 3 + T 4 + T 5 V ] 4 T 5 + V 5 T 4 Daraus ergibt sich die Zeitkonstante für das Ersatz-PT: 3.4 T e T 3 + T 4 + T 5 V 4 T 5 + V 5 T 4

2 3. Übung WS 0/ Unter Anwendung der Formeln aus Kapitel 9.4. ergeben sich natürlich die gleichen Terme: V e b 0 V 3 a 0 T e a b T 3 + T 4 + T 5 V 4 T 5 + V 5 T 4 a 0 b 0 c Blockschaltbild der Kaskadenregelung mit der Ersatzübertragungsfunktion G e s innere Kaskade äußere Kaskade w V V e y 3 V R V R y y w T R T R T e T T Bild 3.: Blockschaltbild der Kaskadenregelung d Parameterbestimmung der Kaskadenregelung Innerer Regelkreis w V R V e y 3 V y T R T e T Bild 3.: Blockschaltbild des inneren Regelkreises Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: K s V R TR s + T R s 3.5 Die Kreisübertragungsfunktion des inneren Regelkreises lautet: G K s V R T R s + T R s V e T e s + V T s Die Zeitkonstante T wird durch den Vorhalt des Reglers K kompensiert, da Ersatzzeitkonstanten nicht gekürzt werden dürfen. Damit ist die Reglerzeitkonstante T R festgelegt zu T R T 3.7

3 3. Übung WS 0/ und für die Kreisübertragungsfunktion ergibt sich G K s V R T R s V e V T e s mit V R als noch zu bestimmenden Reglerparameter. Dieser wird über die Vorgabe der Dämpfung des geschlossenen Regelkreises bestimmt. Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet: G g s G K s +G K s V R T R s Ve V T e s+ +V R Ve V T R s T e s+ T R T e s V R V e V + T R s + }{{ V } R V e V }{{ } ω 0 D Ein Vergleich mit der Normalform liefert T RT e V R V e V D T R V R V e V 3. Das Einsetzen von und Auflösen nach V R liefert: 4D V R T R V R V ev V R V e V T R T e 3. T R 4D V e V T e 3.3 Mit der Vorgabe der Dämpfung D / ergibt sich der Regler K s: K s T T s + V V e T e T s 3.4 Wobei die Reglerparameter lauten: T R T V R T V V e T e Äußerer Regelkreis Für die Betrachtung des äußeren Regelkreises wird der gerade berechnete innere Regelkreis als PT -Element mit der Ersatzzeitkonstanten T e und der Verstärkung V e angenähert. 3

4 3. Übung WS 0/ Die Ersatzzeitkonstante T e und die Verstärkung V e ergeben sich zu: G g s T R T e V R V e V s + T R V R V e V s + G e s 3.5 T R T s + e s + V R V e V }{{ } T e T e T R T T V R V e V T e V V e T e V e V 3.6 V e 3.7 w V e y y V R w Ersatzstrecke der inneren Kaskade T R T e T Bild 3.3: Blockschaltbild des äußeren Regelkreises Die Kreisübertragungsfunktion des äußeren Regelkreises mit der Ersatzstrecke für die innere Kaskade lautet dann: G K s V R T R s + T R s T e s + T s 3.8 Problem: Kürzen von T e mit dem Vorhalt des Reglers führt zu einem ungedämpften Schwinger V R G g s T R T e s + Lösung: Reglerauslegung nach dem symmetrischen Optimum Allgemeine Auslegung eines PI-Reglers an einer IT-Strecke: Ks V R TRs + T R s V Gs Ts+T i s Wähle Dämpfung vor und definiere Parameter a: a D

5 3. Übung WS 0/ Die Reglerparameter ergeben sich dann zu: V R T i T R a T 3.3 a T Ausführliche Herleitung findet sich im Skript zur Vorlesung. Damit folgt für den PI-Regler in der äußeren Kaskade: D a V R T R + T 3.5 T e + Te 3+ T e 3.6 DerReglerlautetalso: K s T + T e 3+ Te s + 3+ Te s 3.7 e Regelfläche des äußeren Kreises Die Übertragungsfunktion des äußeren geschlosssenen Regelkreises lautet G g s G Ks +G K s T R s + T R T T e V R s 3 + T RT V R s + T R s Die Regelfäche ergibt sich dann entsprechend Gleichung 3.3 zu: A R T R T R Bei Auslegung nach dem symmetrischen Optimum ist die Regelfläche immer null. Es existiert also kein Ersatz-PT bzw. die Ersatzstrecke wäre ein einfaches P-Glied. 5

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