Entwurf durch Polvorgabe

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1 Grundidee der Zustandsregelung Entwurf durch Polvorgabe Zustandsgröß ößen, innere Informationen aus dem Prozeß,, werden zurückgef ckgeführt. Vorteile: Bei Bei vollständiger Steuerbarkeit ist ist eine eine beliebige Plazierung der der Eigenwerte des des geschlossenen Regelkreises möglich. m Eine Eine hohe Regelgüte ist ist möglich. m Es Es existieren elegante und und ausgereifte Verfahren zum zum Reglerentwurf. Einfache Realisierung des des Reglers, wenn Zustandsgrößen meßbar.

2 Nachteile: Entwurf durch Polvorgabe (2) Zustandsraumverfahren benötigen gute gute Modelle und und Rechnerunterstützung. tzung. Einfache Interpretierbarkeit der der Reglerparameter nicht gegeben. Meistens sind sind nicht alle alle Zustandsgrößen mit mit vertretbaren Aufwand meßbar. Nicht meßbare Zustandsgrößen müssen m mit mit einem Beobachter geschätzt werden. Werden Eigenwerte in in der der komplexen Ebene weit weit nach links verschoben, so so können k nicht realisierbare Stellgrößen en auftreten. Bei Bei Systemen mit mit mehreren Eingängen ngen werden nicht alle alle Reglerparameter für ffür r die die beliebige Vorgabe der der Eigenwerte des des Regelkreises benötigt. Das Das bedeutet, es es existieren Freiheiten, deren Nutzung nicht unmittelbar klar klar ist. ist.

3 Entwurf durch Polvorgabe (3) Frage: Wohin soll man die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises schieben?

4 ckführung (1) Modell der der Regelstrecke: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t) Durch Einsetzen des des Regelgesetzes u(t) = Kx(t)+Vw(t) Dimension Dimension m x x n Dimension Dimension m x x m erhält man man das das Zustandsmodell des des geschlossenen Kreises: ẋ(t) = (A BK)x(t)+BVw(t) y(t) = Cx(t) Systemmatrix Systemmatrix A G des G des geschlossenen geschlossenen Kreises Kreises

5 ckführung (2) Dimension Dimension m x x m Eine Eine ührung verändert die die Eigendynamik. Kein Soll-Ist-Vergleich ((w(t)-y(t)). (t)-y(t)).). Stationäre Genauigkeit kann über die die Vorfilter-Matrix V eingestellt werden.

6 Anforderungen an an eine Zustandsregelung ckführung (3) Stabilität: t: Die Die Eigenwerte von von A-BK müssen links links der der j-achse j liegen. (Anforderung an an K) K) Stationäre Genauigkeit: lim t Die Matrix V Aus existiert nur dann, wenn 0 kein Eigenwert der Systemmatrix (A-BK) ist und die Übertragungsmatrix folgt C(sI-A+BK) - 1 B keine Nullstellen bei 0 hat. y(t) = lim t w(t) G W (s=0)=i G W (s) = C(sI A+BK) 1 BV G W (0) = C( A+BK) 1 BV=I V = [C( A+BK) 1 B] 1

7 Polvorgabe für f r Eingrößensysteme ckführung (4) Nach Vorgabe des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises gibt es es eine eindeutige Lösung für f r die die Elemente des RRückführvektors k. k. Anhand der der Regelungsnormalform können k diese Elemente mit mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs sofort angegeben werden (vgl. Skript RT). Eine direkte Berechnung ist ist auch mittels der der sogenannten Ackermann-Formel möglich. m

8 Polvorgabe für f r Eingrößensysteme ckführung (4a)

9 ckführung (5) Polvorgabe für f r Eingrößensysteme ACKERMANN-Formel letzte letzte Zeile Zeile der der inversen inversen Steuerbarkeitsmatrix Steuerbarkeitsmatrix n+1 Koeffizienten des char. Polynoms des Regelkreises n Matlab-Funktion Funktion: k = acker(a, b, b, lambda_g)

10 Polvorgabe für f r Mehrgrößensysteme ensysteme ckführung (6) Nach Vorgabe des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises gibt es eskeine eindeutig Lösung für f r die die Elemente der der m x n Rückführmatrix K. K. Bei Bei Systemen mit mit mehreren Stellgrößen en können k durch eine ührung neben der der Fest- legung der der Eigenwerte noch weitere Anforderungen berücksichtigt werden: Robustheit der der Eigenwerte gegenüber Parameteränderungen (MATLAB-Funktion place). Entkopplung des Ein- Ausgangsverhalten. Berücksichtigung von Stellgrößenbeschränkun- enbeschränkun- gen.

11 Polvorgabe für f r Mehrgrößensysteme ensysteme Robuste Polfestlegung mit mit K = place(a,b,lambda_g) ckführung (7) Die RückfR ckführmatrix K wird iterativ so bestimmt, daß die die Eigenwerte des des Regelkreises die die gewünschten Lagen haben. die die Eigenvektoren der der Systemmatrix (A-BK) möglichst m orthogonal sind. sich sich die die Lagen der der Eigenwerte möglichst m wenig ändern, wenn Parameteränderungen die die Systemmatrix A-BK+ AA-BK+ des des rrückgeführten Systems stören. Diese Optimierung wird wird nur nur bei bei der der Vorgabe reeller Eigenwerte durchgeführt hrt!!

12 Entkopplung des Ein- Ausgangsverhaltens Entwurfsziel: ckführung (8)

13 Entkopplung des Ein- Ausgangsverhaltens ckführung (9)

14 Entkopplung des Ein- Ausgangsverhaltens ckführung (10)

15 ckführung (10a) Zusammenhang: Differenzgrade --Entkopplungsindizes Berechnung der Ableitungen der Ausgangsgröße y i (t): δ i ẏ i (t) = c T iẋ(t) = ct i Ax(t)+cT i Bu(t) ÿ i (t) = c T i Aẋ(t) = ct i A2 x(t)+c T i ABu(t). y (d i+1) i (t) = c T i Adi+1 x(t)+c T i Ad ibu(t) erstmalig 0 =0 für d i >0 =0 für d i >1

16 Entkopplung des Ein- Ausgangsverhaltens ckführung (11) Berechnung des des Zustandsreglers Differenzgrad Differenzgrad des des Systems Systems mit

17 Entkopplung des Ein- Ausgangsverhaltens Berechnung des des Vorfilters ckführung (12) mit Übertragungsmatrix des geschlossenen Regelkreises

18 Entkopplung des Ein- Ausgangsverhaltens Struktur des des entkoppelten Systems ckführung (13) Invariante Invariante Nullstellen Nullstellen der der Regelstrecke Regelstrecke Stabile Entkopplung nur nur möglich, m wenn die die Regelstrecke keine IN IN in in der der rechten s-halbebene s hat hat!!!!!!

19 Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell Direkte Methode ckführung (14) AG = [ 0., 0., 1., 0.] [ 0., 0., 0., 1.] [ 5.77*k_ *k_21,.326*k_21, 5.77*k_ *k_22,.326*k_22, 5.77*k_ *k_23,.326*k_23, 5.77*k_ *k_24].326*k_24] [ -.651*k_ *k_21, -.651*k_ *k_22, -.651*k_ *k_23, -.651*k_ *k_24] C(λ) = λ^4.651* λ^3 ^3*k_ * λ^3 ^3*k_ *k_13 k_13* λ^ *k_23 k_23* λ^3.651*k_12 k_12* λ^ *k_22 k_22* λ^ *k_11 k_11* λ^ *.326*k_21 k_21* λ^2 15.9* λ^2 ^2*k_23 k_23*k_14 k_ * λ^2 ^2*k *k_13 _13*k_24 k_ *k_21 k_21* λ*k_ *k_11 k_11* λ*k_ * λ*k_22 k_22*k_13 k_ * λ*k_12 k_12*k_23 k_ *k_21*k_ *k_11*k_22 Beliebige Eigenwertvorgabe über nur nur einen Eingang ist ist nicht möglich m!!

20 Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell ckführung (15) Vorgabe der Eigenwerte des geschlossenen Kreises: C(λ) = (λ+1)(λ+2)(λ+3)(λ+4) Einsetzen von = λ 4 +10λ 3 +35λ 2 +50λ+24 k 13 =k 14 =k 22 =k 24 =0 in die symbolisch berechnete charakteristische Gleichung liefert: k 23 0,326=10 k 23 = 10 0,326 = 30, k 12 k 23 15,9=50 k 12 = 15,9 k = 15,9 ( 30,675) =0.1025

21 Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell ckführung (16) und: 24 k 21 k 12 15,9=24 k 21 = 15,9 k = 15,9 0,1025 = 14,73 k 11 5,77 k 12 0,651 k 21 0,326=35 k 11 = 1 5,77 (35+k 12 0,651+k 21 0,326) = 1 5,77 (35+0,1025 0,651+14,73 0,326)=5,2418 Rückf ckführmatrix: K = [ 5,2418 0, , ,675 0 ]

22 ckführung (17) Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell Berechnung der Eigenwerte des Regelkreises: Gutes Gutes stationäres stationäres Störverhalten Störverhalten von von u 1 (t) 1 (t)-> > -> y y 1 (t) 1 (t) EW_K = V = [ ] Schlechte Schlechte Entkopplung Entkopplung von von u 1 (t) 1 (t)-> > -> y y 2 (t) 2 (t)

23 ckführung (18) Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell Berechnung der RückfR ckführmatrix mit Matlab- Funktion place: K = [ 0,9030 0,2964 0,8715 0,0517 0,4962 1,8348 0,0686 1,7620 ] EW_K = V = [ ]

24 ckführung (19) Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell Berechnung der RückfR ckführmatrix mit Matlab- Funktion place: K = [ 23,9681 4,2093 4,1235 0,6032 9, ,8260 1,2825 8,2701 ] EW_K = V = [ ]

25 ckführung (20) Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell Berechnung der Vorfiltermatrix für f r gutes Führungsverhalten u 1 (t) 1 (t) V = EW_K = [ 23, , 25 ] u 2 (t) 2 (t) K = [ 23,9681 4,2093 4,1235 0,6032 9, ,8260 1,2825 8,2701 ]

26 ckführung (21) Beispiel 2-DOF 2 Hubschraubermodell Berechnung der Vorfiltermatrix für f r gutes Störverhalten V = EW_K = [ 0, , 0221 ] K = [ 23,9681 4,2093 4,1235 0,6032 9, ,8260 1,2825 8,2701 ]