Automatisierungstechnik 1

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1 Automatisierungstechnik Hinweise zum Laborversuch Motor-Generator. Modellierung U a R Last Gleichstrommotor Gleichstromgenerator R L R L M M G G I U a U em = U eg = U G R Last Abbildung : Motor-Generator In Abbildung ist der Prozess des Laborversuchs prinzipiell dargestellt. Motor und Generator sind jeweils permanenterregte Gleichstrommaschinen. Wird am Motor (Ankerwicklung) die Ankerspannung U a angelegt, so fließt ein Strom, der im Permanentmagnetfeld des Motors über die Lorentzkraft ein Drehmoment erzeugt. Das Drehmoment ist dem Motorstrom proportional. Die Stromrichtung wird durch mechanische Kommutierung jeweils so umgeschaltet, dass das Drehmoment immer in die gleiche Richtung wirkt. Dadurch wird die Motorachse beschleunigt, bis sich ein Gleichgewicht zwischen Antriebsmoment und Lastmoment einstellt. Durch die Drehung der Ankerwicklung im Magnetfeld wird in der Wicklung außerdem eine Spannung U e induziert. Die induzierte Spannung ist der Drehzahl proportional (U em = k em ω) und der Spannung U a in der Masche des Motorstromkreises entgegengerichtet (wirkt wie ein Spannungsabfall). Damit folgt für die Maschengleichung des Motorkreises: U a = U RM + U LM + U em = I + di + k m M ω. () Diese Differentialgleichung beschreibt die Dynamik des Motorstroms.

2 Umgestellt nach di folgt: di = I L ω + U a. (2) ist darin die Motorkonstante, die von der Konstruktion, Windungszahl, Magnetfeldstärke usw. abhängt. Das vom Motor erzeugte Drehmoment ist dem Motorstrom proportional. Für das erzeugte Moment gilt M = I. Das Drehmoment M wirkt auf die Motorwelle. Für den lastfreien Fall gilt: d2 ϕ 2 = dω = M. (3) Darin ist das Massenträgheitsmoment der Motor-Generator-Anordnung, ϕ ist der Winkel der Motorachse und ω die Drehzahl. Die gekoppelten Differentialgleichungen di = LM I km M ω + Ua dω = kr ω + km M I beschreiben das dynamische Verhalten des gesamten Motors. Der Term ω ist das von der Drehzahl abhängige Reibmoment der Motor-Generator-Anordnung (viskose Reibung). Abbildung 2 zeigt die beiden Differentialgleichungen in einem Blockschaltbild dargestellt. (4) U a L di R L I k m d k m L Abbildung 2: Motor-Modell Für den Generatorkreis auf der rechten Seite in Abbildung gilt die Maschengleichung: U eg = ω = U RG + U LG + U RLast = R G I 2 + L G + R LastI 2. (5) Ohne elektrische Last (R Last = ) gilt für den Generatorstrom: I 2 = 0. Die Ausgangsspannung U G ist für diesen Fall gleich der im Generator induzierten Spannung (U eg = ω). Für den Fall, dass im Generatorkreis ein Strom fließt (R Last < ), wird ein Moment im Generator erzeugt, das dem antreibenden Motormoment entgegenrichtet ist. Dieses Moment ist wiederum dem Strom proportional und kann mit M G = I G angegeben werden. Das 2

3 durch den Generator erzeugte Lastmoment wirkt über die starre Verbindung zwischen Motor und Generator direkt auf die Antriebswelle. Stellt man Gleichung 5 nach um, folgt: = L G ( (R G + R Last )I 2 + ω). (6) Zusammen mit den Motorgleichungen (4) kann das Motor-Generatorsystem durch die folgenden drei Differntialgleichungen beschrieben werden: di = LM I km M ω + Ua dω = kr ω + km M I = L G ( (R G + R Last )I 2 + ω). (7) Diese Differentialgleichungen sind in Abbildung 3 als Blockschaltbild dargestellt. Die linke Seite jeder DGL entspricht einem der drei Integratoreingänge in Abbildung 3. Motoreingangs- Spannung Spannung über di I Motorstrom M Motor M Reibung M Summe d Drehzahl Induzierte Spannung U em M Generator Spannung über R G +R Last Induzierte Spannung U eg L G I 2 Generatorstrom Abbildung 3: Motor-Generator-Modell Die Abbildung 3 ist in Bild 4 geringfügig anders dargestellt (Summationspunkte getrennt). Darin sind drei Strukturen gekennzeichnet (gestrichelte Linien), die bis auf die Parameter gleich sind. In Abbildung 5 ist die Struktur mit allgemeinen Parametern dargestellt. Die Differentialgleichung, die sich aus Bild 5 ablesen lässt, lautet: dy = K 2K y + K 2 u (8) 3

4 2 di I d M Summe 3 R G +R Last L G I 2 Abbildung 4: Motor-Generator-Modell K u K 2 y Abbildung 5: allgemeine Teilstruktur oder dy K 2 K + y = u. (9) K Die Differntialgleichung 8 und damit die in Bild 5 dargestellte Struktur entspricht einem Tiefpass erster Ordnung. Darin ist K K 2 eine Zeitkonstante (T ) und die Verstärkung des K Tiefpasses. Vergleich mit Tiefpassschaltung (RC-Glied): Das Übertragungsverhalten eines passiven Tiefpasses erster Ordnung (Widerstand + Kondensator) kann durch die DGL RC U a + U a = U e (0) 4

5 beschrieben werden. Für den Tiefpass wäre also in der in Bild 5 dargestellten Struktur K 2 = RC und K =. Die Zeitkonstante beschreibt, wie schnell das System zum Beispiel auf einen Eingangssprung reagiert. Zum Zeitpunkt t = T sind nach einem Eingangssprungsignal zum Beispiel ca. 63% des Endwertes erreicht. Aus der Sprungantwort kann somit die Zeitkonstante direkt abgelesen werden. In Bild 6 ist noch eine andere Variante skizziert, wie die Zeitkonstante ermittelt werden kann. Dabei wird die Tangente an einen beliebigen Punkt der Sprungantwort gelegt und bis über den Endwert hinweg gezeichnet. Die Zeitkonstante kann dann wie in der Skizze dargestellt abgelesen werden. Die Zeitkonstante des ersten Teilsystems (in Bild 4 mit gekennzeichnet) beschreibt die Geschwindigkeit des Stromaufbaus nach Änderung der Eingangsspannung. Die Zeitkonstante im Teilsystem 2 beschreibt das Einschwingen der Drehzahl bei einer Änderung der Summe der Momente an der Antriebsachse. y T 63% T t=t Abbildung 6: Tiefpassverhalten t Vereinfachung: Die zweite ( mechanische ) Zeitkonstante ist gegenüber der ersten ( elektrischen ) sehr viel größer, d.h. der Strom strebt nach einer sprungförmigen Änderung des Eingangs sehr viel schneller dem Endwert entgegen. Für eine vereinfachte Modellierung können die kleinen Zeitkonstanten vernachlässigt werden. Damit ergibt sich für das Gesamtsystem Motor/Generator wieder eine einfache Tiefpass-Struktur wie in Abbildung 6 dargestellt. Bild 8 zeigt die Sprungantworten des Originalsystems und des vereinfachten Systems. 2. Reglerentwurf Als Regler sollen im Versuch ein P-Regler und ein PI-Regler eingestellt werden. Der P-Regler ist ein einfacher Verstärker und die Stellgröße ergibt sich aus der Regelabweichung e = w y und der Reglerverstärkung zu u = K R e(t)). 5

6 2 d M Summe R G +R Last K K2 Abbildung 7: Vereinfachung Drehzahldifferenz Abbildung 8: Vergleich Vereinfachung/Original sec Der PI-Regler besitzt eine Dynamik und besteht aus einem Proportional- und einem Integralanteil: u(t) = K R e(t) + K R T n t 0 e(t). () Die beiden Parameter K R und T n müssen so ermittelt werden, dass die Regelung möglichst gut funktioniert, d.h. dass Störungen unterdrückt und Sollwerte eingestellt werden. Für den PI-Regler kann eine Differentialgleichung angegeben werden (Gleichung auf beiden Seiten ableiten): T n du(t) = K R e(t) + K R T n de(t) (2) 6

7 Empirische Reglereinstellung: Die Parameter K R und T n können durch Probieren eingestellt werden. Dabei geht man so vor, dass K R zunächst klein und T n groß gewählt wird. T n wird dann langsam verkleinert und K R schrittweise vergrößert, bis das gewünschte Verhalten eingestellt ist. Systematische Reglereinstellung mit vereinfachtem Modell: Für einen Systematischen Entwurf muss zunächst ein Modell des Prozesses gefunden werden. Dazu werden die Zeitkonstante (Annahme des vereinfachten Prozesses) und die Verstärkung des Prozesses aus Sprungantworten ermittelt. T n wird dann gleich der ermittelten Zeitkonstante gewählt. K R wird wieder empirisch ermittelt und solange vergrößert, bis das Regelverhalten die gewünschte Güte aufweist. Systematische Reglereinstellung mit vollständigem Modell: Ein geeignetes Einstellverfahren für die Reglerparametrierung ist die Einstellung nach dem Betragsoptimum (Hier wird nachfolgend nur die Anwendung des Verfahrens beschrieben). Liegt ein vollständiges Prozessmodell mit allen Zeitkonstanten vor, so wird T n gleich der größten Systemzeitkonstante T gewählt. Die Reglerverstärkung ist dann K R = T n. (3) 2K S T e Darin ist K S die ermittelte Streckenverstärkung und T e die Summe aller restlichen Zeitkonstanten (ohne die größte). 7