Formelsammlung. Regelungstechnik I. Basierend auf Arbeit von Florian Beermann Letzte Änderung am : Frank Bättermann

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1 Formelsammlung Regelungstechnik I Basierend auf Arbeit von Florian Beermann Letzte Änderung am : Frank Bättermann 1

2 Inhaltsverzeichnis 1. Steuerung und Regelung Vorteile der Regelung Vergleich von Steuer- und Regelung Ziele der Regelung Systemdarstellung Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich Zustandsraumdarstellung Stabilität Definition Hurwitzkriterium Dynamische Eigenschaften Überschwingweite Dominante Pole Blockschaltbilder Lineare Übertragungsglieder Umformungen Regelkreis Übertragungsfunktionen Stabilität Vereinfachter Regelkreis Einfache Reglertypen Wurzelortskurve Gebietsvorgabe im Laplace-Bereich Eigenschaften Frequenzgang Frequenzantwort Frequenzkennlinien elementarer Glieder Rechenregeln Reglereinstellungen im Frequenzbereich Offener und geschlossener Regelkreis Auslegung von P-Reglern Auslegung von PI- und PID-Reglern Erweiterte Regelungsstrukturen Kaskadenregelung Vorsteuerung Einstellregeln Betragsoptimum Symmetrisches Optimum Anhang Laplace-Korrespondenzen Laplace-Rechenregeln

3 1. Steuerung und Regelung 1.3 Vorteile der Regelung Reaktion auf externe Störungen Ausgleich von Fehlern ungenauer Modelle Veränderung der Umgebung hat keinen Einfluss 1.5 Vergleich von Steuer- und Regelung Regelung geschlossene Wirkungskette zu regelnde Größe wird gemessen und verglichen Bei instabilen Systemen müssen Regelungen eingesetzt werden Wirkt allen Störungen entgegen, die an den zu regelnden System angreifen offene Wirkungskette Steuerung Zu steuernde Größe wird nicht gemessen und verglichen Steuerung sind bei instabilen Systemen unbrauchbar Reagiert nur auf von vornherein bekannte Störungen 1.7 Ziele der Regelung Stabilität genügend Dämpfung hinreichende Schnelligkeit keine zu hohen Stellausschläge 3

4 3. Systemdarstellung 3.1 Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich y s F s= u s =b m s m...b 1 sb 0 B s = a n s n...a 1 sa 0 A s F s= k s 1 s 2 s m s 1 s 2 s n 3.3 Zustandsraumdarstellung Beispiel: RLC-Reihenschaltung [ i u c] =[ R L 1 C ẋ= A xb u 1 L 0 ] [ i u c] [ 1 L 0 ] u c m : Grad des Zählers n : Grad des Nenners d : Differenzgradn m A s: charakteristisches Polynom 4

5 4. Stabilität 4.1 Definition Ein System wird asymptotisch stabil genannt, falls die homogene Lösung für alle Anfangswerte gegen Null konvergiert. Die instabile Pol/Nullstellen-Kürzung ist nicht erlaubt, sie würde ein stabiles System ergeben. Pole bezeichnen die Stabilität im Pol/Nullstellen-Schema. Rechts der Imaginär-Achse instabil. Links der Imaginär-Achse stabil. 4.2 Hurwitzkriterium Ein Polynom auf Stabilität prüfen, ohne die Polstellen zu berechnen. A s=a n s n a n 1 s n 1...a 1 sa 0 an 3 an 5 a n a n 2 a n 4 0 a H n 1 a n 3 = an 1 0 a n a n a n a n n Spalten n Zeilen H 1 = a n 1 H 2 = a n 1 a n a n 3 a n 2 H 3 = a n 1 a n 3 a n 5 a n a n 2 a n 4 0 a n 1 a n 3, a n 0 Das Polynom A s ist genau dann stabil, wenn die Determinanten aller Hurwitz-Teilmatrizen positiv sind, d.h. wenn det H 1 0, det H 2 0 usw. 5

6 5. Dynamische Eigenschaften Glied Übertragungsfunktion Sprungantwort k PT 1 F s= k T s1 = T s 1 T ht=k 1 e t T PT 2 k F s= T 2 s 2 2d T s1 ht=k e 1 t e 2 t Anfangswertsatz lim t 0 f t=lim s F s s Endwertsatz lim t f t=lim s 0 s F s Kann angewendet werden, wenn s F s für Rs0 keine Polstellen besitzt (ein stabiles System vorliegt). 5.1 Überschwingweite Prozent-Angabe bezogen auf den Endwert. s m = h max h h Übergangszeit Übergangszeit t Ü zu dem ht endgültig in die 5%-Zone um h eintritt. 0,95 h ht 1,05 h 5.4 Dominante Pole Ein reeller Pol von F s heißt dominant, falls alle weiteren Pole von F s wesentlich kleinere Realteile haben und keine Nullstellen in der Nähe liegen. 6

7 6 Blockschaltbilder 6.1 Lineare Übertragungsglieder Glied Blockschaltbild Funktion Summierglied u 3 =u 1 u 2 Verzweigung u 1 =u 2 =u 3 Proportionalglied (P-Glied) Integral-Glied (I-Glied) Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT 1 -Glied) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT 2 -Glied) 6.2 Umformungen y s=k us y s= k s us y s= k Ts1 us k y s= T 2 s 2 2d T s1 us Parallelschaltung y 1 =F 1 u y 2 =F 2 u y= y 1 y 2 =F 1 F 2 u Reihenschaltung Rückkopplung F = u y = F 1 = Vorwärts 1 F 1 F Kreis 7

8 Vertauschen von Summierstellen y=f 1 u 1 u 2 y=f 1 u 1 F 2 u 1 Vertauschen von Verzweigungen y 1 = y 2 =F u y 1 =F u y 2 =F u 8

9 7 Regelkreis y=regelgröße w=führungsgröße v =Störgröße e=regeldifferenz =0 u=reglerausgang Regler us=f Reg s e s= Z Reg s N Reg s es Stellglied z s=f Stell s us= Z s Stell u s N Stell s Strecke y s=f Str s z s F Stör vs= Z Str s N Str s z s Z Stör N Stör vs Messglied xs= F Mess s ys= Z s Mess y s N Mess s 7.1 Übertragungsfunktionen Charakteristisches Polynom P=N Reg N Stell N Str N Mess Z Reg Z Stell Z Str Z Mess Führungsübertragungsfunktion F G wy = Reg F Stell F Str = Z Z Z N Reg Stell Str Mess 1F Reg F Stell F Str F Mess char. Polynom 9

10 Störübertragungsfuntkion Z F Stör N Reg N Stell N Str N G vy = Stör N Mess = Stör 1F Reg F Stell F Str F Mess char. Polynom 7.2 Stabilität Der Regelkreis heißt stabil, falls das char. Polynom stabil ist. Falls dem so ist, sind alle möglichen Übertragungsfunktionen des Regelkreises stabil. Stabile Systeme können durch eine Regelung instabil werden. Stabilität kann nicht anhand einzelner Übertragungsfunktionen beurteilt werden. 7.4 Vereinfachter Regelkreis F Str und F Stell zu F zusammenfassen F Mess wird vernachlässigt F Stör wird vernachlässigt F Reg zu R F s= Bs As R s= D s C s Charakteristisches Polynom P= As C s Bs D s Führungsübertragungsfunktion G wy s= B s Ds char. Polynom Störübertragungsfuntkion A s C s G vy s= char. Polynom Im vereinfachten Regelkreis gilt: G wy sg vy s=1 h wy t h vy t=1 (Störungssprungantwort) 10

11 Stationäre Endwerte Ds C s B s A s t = s0 Zeitbereich Laplacebereich Für den stationären Endwert der Störungssprungantwort gilt: A0 C 0 h E =G vy 0= P 0 mit P 0 0 wird der Regler so gewählt, dass C 0=0, d.h. Der Regler enthält einen Pol bei s=0 und konstante Störungen werden für t ausgeregelt. Falls die Strecke einen Pol bei s=0 besitzt A0=0, so folgt h E =0 für beliebige stabilisierende Regler. Wenn h E =0 für die Störungssprungantwort gilt, so gilt h E =1 für die Führungssprungantwort, da G wy 0G vy 0=1. h E =1 für die Führungssprungantwort bedeutet, dass konstante Führungssignale für t ohne Regelabweichung eingestellt werden (keine konstante Regelabweichung) 7.5 Einfache Reglertypen k P =Regelverstärkung T i,t D =Integrationskonstante P-Regler R s=k P I-Regler R s= 1 T i s PI-Regler R s=k P 1 1 T i s = k T s1 P i T i s Laplacebereich: ys=k P u s 1 T i s us Zeitbereich: yt=k P ut k P t T i 0 u d 11

12 DGL: Sprungantwort: ẏ=k P u k P T i u ht=k P k P T i t PID-Regler (ideal) R s=k P 1 1 T i s T s D = k T T s² T s1 P D i i T i s Laplace: ys=k P u s 1 T i s u st D s us Zeitbereich: yt=k P ut k P t T i 0 u d k p T D dut dt Sprungantwort: ht=k P k P T i tk P T D t PID-Regler (real) R s=k P 1 1 T i s T s D 1T 1 s = k T T T s²t T s1 P i D 1 i 1 T i s 1T 1 s Sprungantwort: ht=k 1 1 P t T D T i T 1 e t 1 T 12

13 8. Wurzelortskurve 8.1 Gebietsvorgabe im Laplace-Bereich tan = d 1 d 2 In der Praxis hat sich gezeigt, dass die Dämpfung für ein gutes Systemverhalten im Bereich von 0,1 d liegen sollte. Der Wert 0,1 stellt sicher, dass die auftretenden Schwingungen in einer endlichen Zeit 1 abklingen. Der Wert zeichnet sich durch ein gutes Verhältnis von Überschwingweite zu 2 Einschwingdauer aus. 13

14 8.2 Eigenschaften 1. Die n Äste der Wurzelortskurve beginnen für k=0 in den Polen des offenen Kreises. Sie enden für k in den Nullstellen des offenen Kreises, wobei s= als n m -fache Nullstelle von F O s aufzufassen ist. n m Äste der Wurzelortskurve streben ins Unendliche. 2. Die Wurzelortskurve ist symmetrisch zur reellen Achse, da die Pole und Nullstellen im Komplexen immer konjugiert komplex auftreten. 3. Wurzelorte auf der reellen Achse liegen für k0 links von einer ungeraden Anzahl von Polen und Nullstellen. Jeder Pol oder jede Nullstelle wird dabei so oft gezählt, wie ihre Ordnung beträgt (diese Regel betrifft nur Pole und Nullstellen auf der reellen Achsen). 4. Die Asymptoten der ins Unendliche strebenden Wurzelästen schneiden sich sämtlich in einem Punkt der reellen Achse, dem Wurzelschwerpunkt. = 1 n m n i=1 R i Realteil der Pole m R i i =1 Realteil der Nulstellen 5. Die Anstiegswinkel der Asymptoten der Wurzelortskurven sind 2 i1 i =,i=0,1,,n m 1 n m 6. Ein Pol von F s wirkt abstoßend und eine Nullstelle von F s wirkt anziehend. 7. Zu jedem Punkt auf der Wurzelortskurve gehört ein eindeutiger Wert von k (reell). k= 1 1k F z=0 charakteristisches Polynom. F z 8. Die Wurzelortskurve verzweigt sich in den Punkten s v. N O dz O ds Z O dn O ds =0 N 0 und Z 0 sind Nenner und Zähler von F O s 9. Der Schnittpunkt der Wurzelortskurve mit der imaginären Achse kennzeichnet die Stabilitätsgrenze. charakteristische Gleichung: 1F O j =0 N O j Z O j =0 Hieraus lassen sich die kritischen Werte krit aus dem Imaginärteil und k krit aus dem Realteil ermitteln. 14

15 9. Frequenzgang 9.1 Frequenzantwort mögliche Testsignale ut=1 (Sprungantwort) ut=t (Impulsantwort) ut=sin 0 t (Frequenzantwort) Definition Das Ausgangssignal y für das Eingangssignal yt=sin 0 t wird Frequenzantwort genannt. wobei yt=r sin 0 t r= F j 0 : Betrag der komplexen Zahl F j 0 = F j 0 : Phase der komplexen Zahl F j 0 Das heißt, die Frequenzantwort eines stabilen Systems auf eine harmonische Schwingung ut=sin 0 t besteht für t aus einer harmonischen Schwingung mit der selben Frequenz 0 der Phase = F j 0 der Amplitude r= F j 0 Darstellung im Bode-Diagramm =log für die -Achse F db =20 log F für die F -Achse Fehler der Zeichnung an Stelle = 0 ist 3dB oder 6 je Pol- und Nullstelle. 9.3 Frequenzkennlinien elementarer Glieder P-Glied F s=k mit k0 Die Betragskennlinie F j ist konstant und hat den Wert k db. Die Phasenkennlinie F j hat den Wert 0. I-Glied F s= k s mit k0 F j = k j = k 15

16 k F j db =20 log omega =20 log k 20 log k db * F j = k j = j k = 90 PT 1 -Glied F s= k Ts1 k F j = T j 1, k0 ;T 0, 0 = 1 T Für 0 (Frequenz viel kleiner als Grenzfrequenz): F j =k F j db =2 0 log k F j =0 Für 0 (Frequenz viel größer als Grenzfrequenz): PT 2 -Glied F j = k 0 F j db =2 0 log k20 log 0 20 log F j = 90 2 k F s= 0 s 2 2 2d 0 s 0 F j = [ k 2 ] [ 2 d 2 0 ] F j db =20 log k 20 log[ Für 0 1 =1 : =1 Für 0 1 : F j db 20 log k F j =0 2 ] [ 2d 2 0 ] 16

17 = F j db 20 log k 20 log 0 20 log k 40 log 0 F j = 180 F j = arctan 2d Schnittpunkt der beiden Asymptoten: = 0 1 Maximalwert der Betragskennlinie: F max = 2d1 d, d : Dämpfung Rechenregeln Vielfaches F s=k F 1 s, k0 Die Betragskennlinie wird um die Verstärkung k db vertikal verschoben: F j db =k db 2 0 log F 1 j Die Phasenkennlinie bleibt unverändert: Produkte F j = F 1 j F s=f 1 s F 2 s Beträge von Betrag als auch Phase addieren: F j db = F 1 j db F 2 j db F j = F 1 j F 2 j 17

18 10. Reglereinstellungen im Frequenzbereich 10.1 Offener und geschlossener Regelkreis offener Regelkreis: F O s= R s F s R s F s geschlossener Regelkreis: G wy s= 1R s F s = F s O 1 F O s Es gilt: ist F O j 1, so ist G wy j F j O F O j =1 1 ist F O j 1, so ist G wy j =F O j F O j F O j Annahme A Es gibt eine Frequenz D 0 mit F O j D =1. Die Durchtrittsfrequenz D lässt sich aus dem Schnittpunkt der Betragskennlinie mit der 0dB-Linie bestimmen. Annahme B In der Nähe von D fällt F O j um mindestens 20dB/Dekade. Annahme C Betrag und Phase von F 0 fallen monoton. Für D ist F O j groß und für D ist F O j klein. Falls die Annahmen A bis C erfüllt sind, so erhält man eine Näherung der Betragskennlinie des geschlossenen Kreises G wy, in dem die Betragskennlinie des offenen Kreises F O durch die 0dB- Linie abgeschnitten wird. Die Phasenkennlinie von G wy ist gleich der Phasenkennlinie des offenen Kreises F O j für D und gleich Null für D. 18

19 Amplituden- und Phasenreserve R : Phasenreserve A R : Amplitudenreserve D : Durchtrittsfrequenz F O db =0 bzw F O =1 R =180 0 D Der Regelkreis ist stabil, wenn die Phasenreserve R 0 ist. Die Phasenreserve R sollte möglichst groß sein, damit die Sprungantwort wenig überschwingt. Die Durchtrittsfrequenz D sollte möglichst groß sein, damit der Regelkreis schnell einschwingt. Für eine gut eingestellte Regelung werden folgende Werte empfohlen: für ein gutes Führungsverhalten: R =40 70 (wenig Überschwingen, schnell) für ein gutes Störübertragungsverhalten: R =20 50 (gute Störunterdrückung) 10.2 Auslegung von P-Reglern F O s=k F s Die Betragskennlinie wird vertikal um k db verschoben und die Phasenkennlinie bleibt unverändert Auslegung von PI- und PID-Reglern PI- und PID-Regler werden wie beim Wurzelortskurvenverfahren in einen dynamischen Teil und in eine Verstärkung zerlegt. Die Festlegung der Zeitkonstanten erfolgt nach den selben Vorgaben wie beim Wurzelortskurvenverfahren. Die Verstärkung entspricht der Auslegung des P-Reglers. 19

20 11 Erweiterte Regelungsstrukturen 11.1 Kaskadenregelung Innerer Kreis ist schneller (elektrisch, am besten aus P-Regler), äußerer Kreis ist langsamer (mechanisch) 1. Bestimme R 1 so, dass die innere Schleife möglichst schnell und gut gedämpft ist. Stationäre Genauigkeit ist nicht unbedingt erforderlich (I-Anteil). 2. Fasse das Ergebnis der inneren Schleife und F 2 zusammen: F =F 2 R 1 F 1 1R 1 F 1 innere Schleife 3. Bestimme den Regler R Vorsteuerung Durch die Vorsteuerung kann eine beliebige Führungsantwort erreicht werden. G wy =S R F 1 R F mit S = Vorsteuerungsübertragung 20

21 12 Einstellregeln 12.1 Betragsoptimum Die Strecke F s muss von der Form sein. k F s= s T s1 Wir verwenden einen P-Regler der Form Rs= 1 2 k T. Für den geschlossenen Regelkreis ergibt sich 1 G wy = 2T 2 s 2 2 T s1. Dies ist ein PT 2 -Glied mit den Polen 1/ 2 = 1 2T ± j 1 2T I i R i. Dies entspricht der Dämpfungsgeraden 1 2. Der Name Betragsoptimum wurde gewählt, da die Betragskennlinie im Frequenzbereich über einen großen Bereich = 1 ist. Kompliziertere Regler werden in einen dynamischen Teil und eine Verstärkung aufgeteilt. R s=k P R s Der dynamische Teil R s und F s müssen wie folgt beschaffen sein: k R s F s= sts1 dann ist die obige Regel anwendbar. k st s1 Regelstrecke Regler Regler-Typ 1 2k T k T 1 s1 T 2 s1 mit T 1 T 2 0 T 1 2k T 2 T s1 1 T 1 s P PI 21

22 12.2 Symmetrisches Optimum Das symmetrische Optimum liefert Einstellregeln für Regler in antriebstechnischen Regelkreisen. Die Strecke F s zeichnet sich durch eine Gruppe großer Zeitkonstanten und eine Gruppe kleiner Zeitkonstanten aus. oder F s= k PS T 1 s1 T 2 s1 1t s F s= k IS s 1 T 2 s 1t s wobei T 1, T 2 große Zeitkonstanten und t die kleinen Zeitkonstanten sind. Für die vielen kleinen PT 1 -Glieder wird ein Ersatz-PT1-Glied mit T = 1 1T * 1 s 1 1T * 2 s 1 1T * 3 s T s t gebildet: Je nach Struktur der Regelstrecke werden entweder PI oder PI-PD-Regler eingesetzt. Die Kennwerte ergeben sich aus der Tabelle: ( p = s ) Quelle:? 22

23 13 Anhang 13.1 Laplace-Korrespondenzen Quelle:? 23

24 13.2 Laplace-Rechenregeln Quelle:? 24