A. Modellierung: Standardstrecken anhand der Gleichstrommaschine

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1 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung 1 (WS17/18) Alle Abbildungen und Übungsunterlagen (Einführungsfolien, Übungsblätter, Musterlösungen, MATLAB-Übungen/Lösungen und Formelsammlung) basieren fast ausschlieÿlich auf den Übungsunterlagen aus dem WS13/14 von Dr.-Ing. Christoph Hackl. Diese wurden von Dr.-Ing. Hackl freundlicherweise für diese Übung zur Verfügung gestellt. Alle von Dr.-Ing. Hackl erstellten Abbildungen sind mit Courtesy of Dr.-Ing. Christoph Hackl gekennzeichnet. An dieser Stelle hierfür vielen Dank! A. Modellierung: Standardstrecken anhand der Gleichstrommaschine (GM) Eine nennerregte GM mit konstantem Nennuss ψ EN > 0 [Vs] ist im Zeitbereich gegeben durch di A (t) u A (t) = e A (t) + R A i A (t) + L A, i A (0) = 0 [A] (1) dt e A (t) = C M ψ EN ω M (t) (2) dω M (t) = 1 [ ] rad (m M (t) m L (t)), ω M (0) = 0 (3) dt Θ M s m M (t) = C M ψ EN i A (t). (4) Hierbei sind u A [V][ die Ankerspannung (Stelleingang), i A [A] der Ankerstrom, R A [Ω] der Ankerwiderstand, L Vs ] A A die [ Ankerinduktivität, ea [V] die (induzierte) Gegenspannung, C M [1] die Motorkonstante, ω rad ] M s die Motorwinkelgeschwindigkeit, ΘM [kg m 2 ] die (Rotor-)Trägheit, m M [Nm] das Motormoment und m L [Nm] das Lastmoment (Störung bzw. Reibung). Aufgabe 1.1 (Elektrischer Ankerkreis der GM (PT 1 -Strecke)). (a) Für e A := 0 transformieren Sie Gleichung (1) des Ankerkreises in den Frequenzbereich (Laplace-Transformation) und leiten die Übertragungsfunktion F P T1 (s) = i A(s) u A (s) her! (Hinweis: Nutzen Sie die Formelsammlung!) (b) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag F P T1 (jω) db := 20 log F P T1 (jω) und Phase F P T1 (jω) der Übertragungsfunktion F 1 (s) = i A(s) u A (s)! (c) Für die Ankerzeitkonstante T A := L A /R A werten Sie Betrag und Phase an den markanten 1 1 Frequenzen ω {0, 10 T A, T A, 10 T A } aus! (d) Skizzieren Sie das Bodediagramm von F P T1 (jω)! (e) Berechnen Sie die Sprungantwort des Ankerkreises für { u 0, t 0 u A (t) = u 0 σ(t) = 0, t < 0 mit u 0 > 0. (Hinweis: Nutzen Sie die Laplace-Rücktransformation und die Laplace-Transformierte u 0 σ(t) u 0 s )! (f) Für welche Ankerzeitkonstanten T A R (theoretisch) ist Ankerkreis (1) stabil, grenzstabil und instabil? Seite 1/7

2 (g) Berechnen Sie Anfangswert lim t 0 i A (t), Anfangssteigung lim t 0 i A (t) und Endwert lim t i A (t) für einen Einheitssprung u A (t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe Formelsammlung)! Aufgabe 1.2 ([Eigenstudium] Mechanik der GM (I-Strecke)). (a) Für m L := 0 transformieren Sie Gleichung (3) der Mechanik in den Frequenzbereich (Laplace- Transformation) und leiten die Übertragungsfunktion F I (s) = ω M (s) m M (s) her! (Hinweis: Nutzen Sie die Formelsammlung!) (b) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag F I (jω) db F I (jω) der Übertragungsfunktion F I (s) = ω M (s) m M (s)! := 20 log F I (jω) und Phase (c) Skizzieren Sie das Bodediagramm von F I (jω)! (Hinweis: Überlegen Sie sich die Steigung des Betrages und wählen eine einfache Frequenz als Startwert!) (d) Berechnen Sie die Sprungantwort der Mechanik für m M (t) = m 0 σ(t) für m 0 > 0! (Hinweis: Lösen Sie hier die Dierential (3) direkt!) (e) Ist F I (s) stabil? (f) Berechnen Sie Anfangswert lim t 0 ω M (t), Anfangssteigung lim t 0 ω M (t) und Endwert lim t ω M (t) für einen Einheitssprung m M (t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe Formelsammlung)! Aufgabe 1.3 ([Eigenstudium] Elektromechanische Systemantwort der GM (PT 2 -Strecke)). (a) Für m L = 0 leiten Sie aus den Systemgleichungen (1)-(4) die elektromechanische Systemantwort der GM her! Hinweis: Leiten Sie eine Dierentialgleichung zweiter Ordnung der Form 1 ω 2 0 ω M (t) + 2D ω 0 ω M (t) + ω M (t) = V S u A (t), (ω M (0), ω M (0)) = (0, 0). (5) her. Hierbei sind V S R [1/(Vs)], ω 0 > 0 [rad/s] und D 0 [1] abhängig von den Systemparametern C M, ψ EN, T A, L A, R A und Θ M! (b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion F P T2 (s) = ω M (s) u A (s) Transformation) von (5)! (Hinweis: Laplace- (c) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag F P T2 (jω) db := 20 log F P T2 (jω) und Phase F P T2 (jω) der Übertragungsfunktion F P T2 (s) = ω M (s) u A (s)! (d) Für Eigenfrequenz ω 0 werten Sie Betrag und Phase an den markanten Frequenzen ω {0, ω 0 /10, ω 0, 10ω 0 } aus! (e) Skizzieren Sie das Bodediagramm von F P T2 (jω)! Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mithilfe von Matlab (für D = 0.1, V S = 1, ω 0 = 10)! (Hinweis: Nutzen Sie den Befehl bode(sys).) (f) Bestimmen Sie die Pole p 1, p 2 C der Übertragungsfunktion F P T2 (s)! (g) Für welche Werte von D, ω 0 und V S ist das System (5) stabil, d.h. R{p 1 }, R{p 2 } < 0? Seite 2/7

3 (h) Bestimmen Sie die Sprungantwort von (5) für u A (t) = u 0 σ(t) mit u 0 > 0! (Tipp: Nutzen Sie die Laplace-Rücktransformation) (i) Für welche Werte von D, ω 0 und V S ist das System (5) schwingungsfähig? Nutzen Sie Simulink/Matlab zur Simulation des Systems (5) für unterschiedliche Werte von D {0.01, 0.1, 1, 5}, V S { 0.1, 3} und ω 0 {0.5, 1, 10}! (j) Berechnen Sie Anfangswert lim t 0 ω M (t), Anfangssteigung lim t 0 ω M (t) und Endwert lim t ω M (t) für einen Einheitssprung u A (t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe Formelsammlung)! (k) Im Folgenden gelte D = 1. Zerlegen Sie das System (5) in zwei P T 1 Systeme mit Übertragungsfunktion F P Ti = V S,i 1+s T i, i = 1, 2? Ist die Zerlegung eindeutig, d.h. sind die Zeitkonstanten T 1 und T 2 bzw. V S,1 und V S,2 eindeutig? Sind beide Systeme F P T1 und F P T2 stabil? B Regelkreise und Reglerauslegung z 1 y ref e u v F R (s) F S1 (s) F S2 (s) y z 2 y m y r F r (s) Abbildung 1: Standardregelkreis (SISO) Courtesy of Dr.-Ing. Christoph Hackl Aufgabe 1.4 ([Eigenstudium] Serienschaltung PT 1 -Strecke und I-Strecke (IT 1 -Strecke)). (a) Wie lautet die Übertragungsfunktion F S (s) = y(s) von Eingang u(t) u(s) zu Ausgang u(s) y(t) y(s) für z 1 = 0 (keine Störung innerhalb der Strecke) entsprechend dem Regelkreis in Abb. 1? (b) Stellen Sie die Übertragungsfunktion F IT1 (s) = y(s) u(s) einer allgemeinen IT 1-Strecke auf, indem Sie eine PT 1 -Strecke F P T1 (s) = v(s) = V S,1 u(s) 1+s T S,1 und eine I-Strecke F I (s) = y(s) = V S,2 v(s) s T S,2 in Serie verschalten! (c) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag F IT1 (jω) db := 20 log F IT1 (jω) und Phase F IT1 (jω) der Übertragungsfunktion F IT1 (s)! (Hinweis: Nutzen Sie hierzu Additivität von Betrag und Phase!) Seite 3/7

4 (d) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm von F IT1 (jω)! (e) Berechnen Sie die Sprungantwort von F IT1 (s) für u(t) = u 0 σ(t) mit u 0 > 0 (d.h. u(s) = u 0 /s)! (f) Ist F IT1 (s) stabil? (g) Berechnen Sie Anfangswert lim t 0 y(t), Anfangssteigung lim t 0 ẏ(t) und Endwert lim t y(t) für einen Einheitssprung u(t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe Formelsammlung)! Seite 4/7

5 Aufgabe 1.5 (Regelkreisanalyse). (a) Bestimmen Sie die Führungsübertragungsfunktion F yref (s) = y(s) y ref des Regelkreises in Abb. 1! (s) des Regel- (b) Bestimmen Sie die Störübertragungsfunktionen F z1 (s) = y(s) z 1 (s) und F z 2 (s) = y(s) z 2 (s) kreises in Abb. 1! (c) Wie lautet das gesamte Übertragungsverhalten des Regelkreises? Bestimmen Sie hierzu y(s) = f(y ref (s), z 1 (s), z 2 (s))! (d) Wie können Sie Stabilität des Regelkreises überprüfen? Was fällt Ihnen auf? (e) Welche Teilstrecke in Abb. 1 können Sie normalerweise problemlos vorgeben/ändern? (f) Welche der Störungen z 1 (s) und z 2 (s) können Sie nicht unterdrücken, sofern ein gutes Führungsverhalten gewünscht wird? Aufgabe 1.6 (Vorsteuerung und Störgröÿenaufschaltung). Nehmen Sie an, dass Störung z 1 (t) als Messgröÿe (oder Schätzwert) und Referenz y ref (t) als (zeitvariante) Signale vorliegen und als Stelleingri ihres Systems F S1 (s)f S2 (s) nur u(t) zugänglich ist. (a) Nutzen Sie die Information des Referenzsignals y ref (t) um Ihren Regler zu entlasten! Wie sieht eine ideale Vorsteuerung F V (s) aus? Was müssen Sie beachten? (b) Nutzen Sie die Information der Störung z 1 (t) um Ihren Regler zu entlasten! Wie sieht eine ideale Störgröÿenaufschaltung F SA (s) aus? Was müssen Sie beachten? (c) Zeichnen Sie Vorsteuerung F V (s) und Störgröÿenaufschaltung F SA (s) in Abb. 1 ein! Aufgabe 1.7 ([Eigenstudium] Standardregler: P, PI, PD und PID Regler). Für alle Reglertypen (20)-(23) in der Formelsammlung bearbeiten Sie folgende Aufgabenstellungen. Nutzen Sie auch Matlab/Simulink! (a) Für s = jω (Fourieranalyse) bilden Sie Betrag F Regler (jω) db := 20 log F Regler (jω) und Phase F Regler (jω) der Übertragungsfunktion F Regler (s), wobei Regler = {P, PI, PD, PID}! (Hinweis: Nutzen Sie hierzu Additivität von Betrag und Phase!) (b) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm von F Regler (jω)! (c) Berechnen Sie die Sprungantwort von F Regler (s) = u(s) e(s) für einen Fehlersprung e(t) = e 0σ(t) mit e 0 > 0 (d.h. e(s) = e 0 /s)! (d) Berechnen Sie Anfangswert lim t 0 u(t), Anfangssteigung lim t 0 u(t) und Endwert lim t u(t) für einen Einheitssprung e(t) = σ(t) mithilfe der Anfangs- und Endwertsätze (siehe Formelsammlung)! Seite 5/7

6 Im Folgenden gelte F S1 (s) = 1, F r (s) = 1 (Einheitsrückführung) und z 2 = 0 für den Regelkreis in Abb. 1, d.h. y = y r = y m und u = v. Aufgabe 1.8 ([Eigenstudium] Beispielregelkreise). Für folgende Strecken- und Reglerkombinationen wiederholen Sie die unten aufgelisteten Aufgabenstellungen. Es gelte V S, T 1 > 0. F R (s) = V R und F S2 (s) = 1 + s T 1 ( F R (s) = V R ) und F S2 (s) = V S s T n 1 + s T 1 F R (s) = V R und F S2 (s) = V S s T 1 V S F R (s) = V R (1 + 1 s T n ) und F S2 (s) = V S s T 1 (a) Stellen Sie Führungs- F yref (s) = y(s) y ref (s) und Störübertragungsfunktion F z 1 (s) = y(s) z 1 (s) auf! (b) Können Sie den Regelkreis stabilisieren (alle Pole in der linken komplexen Halbebene)? In welchem Bereich können die Reglerparameter V R (und T n ) gewählt werden? (c) Kann einem Sollwertsprung y ref (t) = y 0 σ(t) asymptotisch gefolgt werden (gutes Führungsverhalten)? (Hinweis: Endwertsatz) (d) Kann ein Störsprung z 1 (t) = z 0 σ(t) asymptotisch ausgeregelt werden (gutes Störverhalten)? (Hinweis: Endwertsatz) (e) Implementieren Sie die Regelkreise in Matlab/Simulink! Aufgabe 1.9 (Reglerauslegung nach Optimierungstabelle (Betragsoptimum und Symmetrisches Optimum)). Für folgende Strecken wiederholen Sie die unten aufgelisteten Aufgabenstellungen. [Eigenstudium] F S2 (s) = F S2 (s) = 5 (1 + s 0.1)(1 + s) [Eigenstudium] F S2 (s) = [Eigenstudium] F S2 (s) = s 7 5 s 10(1 + s 0.05) 5 (1 + s)(1 + s 0.05)(1 + s 0.8) (a) Welchen Regler wählen Sie für gutes Führungsverhalten (d.h. asymptotisch kann einem Sollwertsprung y ref (t) = y 0 σ(t) gefolgt werden)? (b) Welchen Regler wählen Sie für gutes Störverhalten (d.h. asymptotisch kann ein Störsprung z 1 (t) = z 0 σ(t) ausgeregelt werden)? Seite 6/7

7 (c) Bestimmen Sie jeweils die Reglerparameter des gewählten Reglers entsprechend der Optimierungstabelle? (d) Verbleibt asymptotisch ein Regelfehler bei Soll- oder Störsprung? (e) Wie hoch ist das zu erwartende Überschwingen ymax y 0? Wie können Sie das Überschwingen reduzieren? (Hinweis: Was ist T G )? (f) Wie groÿ ist die zu erwartende Anregelzeit t an? (g) Wie groÿ ist die zu erwartende Ausregelzeit t aus? (h) [Eigenstudium] Implementieren Sie die Regelkreise mit entsprechender Auslegung in Matlab/Simulink und überprüfen Sie die Angaben der Tabelle! Aufgabe 1.10 (Polplatzierung). Es gelte F S2 (s) = V S ω 2 0 s 2 + 2Dω 0 s + ω 2 0 mit V S > 0, 0 < ) D < 1 und ω 0 > 0. Als Regler wollen Sie einen PID-Regler F R (s) = V R (1 + s T v + 1 s T n auslegen. (a) Ist F S2 (s) stabil? (Hinweis: Verwenden Sie das Routh-Hurwitz Kriterium; keine Berechnung der Pole!) (b) Können Sie die Optimierungstabelle nutzen, um F R (s) nach BO oder SO auszulegen? (c) Stellen Sie Führungs- F yref (s) = (d) Welche Ordnung hat der Nenner N(s) von F yref (s)? y(s) y ref (s) und Störübertragungsfunktion F z 1 (s) = y(s) z 1 (s) auf! (e) Es sei folgendes Hurwitzpolynom gegeben: χ Wunsch (s) = m i=1 (s+1/t i) mit T i > 0. Wieviele Zeitkonstanten T i (d.h. m =?) müssen Sie wählen? (f) Bestimmen Sie die Reglerparameter V R, T v und T n, so dass der Nenner N(s) des Regelkreises mit dem Wunschpolynom χ Wunsch (s) übereinstimmt! (Hinweis: Koezientenvergleich) (g) Ist der Regelkreis stabil, d.h. ist N(s) ein Hurwitz-Polynom? (h) [Eigenstudium] Implementieren Sie den Regelkreis in Matlab/Simulink für ω 0 = 10 [rad/s], D = 0.1, V S = 5 und T 1 = T 2 = T 3 = 1 [s]! (i) [Eigenstudium] Testen Sie Führungsverhalten und Störverhalten für Einheitssprünge y ref (t) = z 1 (t) = σ(t)! (j) [Eigenstudium] Was passiert für kleinere Wunschzeitkonstanten T i (z.b. T 1 = T 2 = T 3 = 0.1)? Betrachten Sie auch die nötige Stellgröÿe u(t)! Sehen Sie Schwierigkeiten in realen Anwendungen? Seite 7/7