8 Blockschaltbilddarstellung für diskrete Systeme

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1 Beispiel 7.5 Sprungantwort Die Sprungantwort beschreibt das komplette Übertragungsverhalten, da der Sprung in seiner Fourierzerlegung alle Frequenzen enthält. 7.6 algebraische Schleife 8 Blockschaltbilddarstellung für diskrete Systeme Verbinden von Blöcken: u 2 (t) =y 1 (t) nicht geeignet zur Beschreibung verteilter Systeme, da Laufzeit und unterschiedliche Systemzeiten nicht berücksichtigt werden (lokale Zeit) Blockdiagramme: globale Zeit wenn zeitbehaftete Signalübertragung: Totzeitglied siehe Folien: attachment.php?attid=353 28

2 9 Gezielte Beeinflussung des dynamischen Verhaltens von Systemen Das zu beeinflussendes System wird als Strecke (engl. plant) bezeichnet. 9.1 Anforderungen Anforderungen y(t) Beispiele d2 y dt 2 begrenzt Regelabweichung y ist (t) y soll (t) begrenzt Stabilität beeinflusste Strecke 29

3 overshoot Zeit bis y ist (t) in Schlauch y soll (t) + 5% eintritt und diesen nicht mehr verlässt 9.2 Struktur von Regelsystemen / Steuerungen? 1. Möglichkeit Steuerung (open-loop control / feed-forward control) Steuerung Strecke 2. Möglichkeit Steuerung (open-loop control / feed-forward control) mit Störgrößenaufschaltung (Bsp. Heizung mit Außentemperaturfühler) Steuerung Strecke 3. Möglichkeit Regelung im geschlossenen Kreis (closed-loop control / feedback control) mit y(t): Regelgröße u(t): Stellgröße e(t): error, Regelfehler / Regelabweichung 30

4 Regler Stellglied Strecke Messglied Regelkreis 9.3 Beispiel: invertiertes Pendel Winkelsensor Positionssensor Regler Motor Strecke Winkelsensor Zustandsschätzer Positionssensor 10 Anforderungen an Regelkreise 1. Regelkreis muss stabil sein. 31

5 2. Regelkreis muss genügend stationär genau sein: lim t e(t) =e(+ ) 3. Regelkreis muss genügend gedämpft sein. 4. Regelkreis muss hinreichend schnell sein zu Anforderung2 (stationäre Genauigkeit): Erinnerung: Regelkreis (hier mit linearen Systemen und Übertragungsfunktionen). Übertragungsfunktion des offenen Kreises: F 0 (s) =R(s) G(s) 32

6 Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: X(s) = F 0 (s) E(s) = F 0 (s) (W (s) X(s)) X(s)(1 + F 0 (s)) = F 0 (s) W (s) X(s) = F 0 (s) W (s) 1+F 0 (s) } {{ } F g(s) Für den Fehler E(s) gilt: E(s) = W (s) X(s) =W (s) F 0(s) 1+F 0 (s) W (s) 1 E(s) = 1+F 0 (s) W (s) Die Anforderung stationäre Genauigkeit bezieht sich auf die Regeldifferenz im eingeschwungenen Zustand (stationär) nach Änderung der Führungsgröße. Theoretisch muss man i. A. unendlich lange auf diesen Zustand warten. Forderung nach stationärer Genauigkeit: Min lim t e(t) Max Wie kann man lim t e(t) berechnen? (wenn F 0 (s) und W (s) gegeben sind) Grenzwertsätze der Laplace-Transformation Endwertsatz der Laplace-Transformation: Beispiel P-Regler mit PT 1 -Strecke PT 1 -Strecke: T dy dt + y = Ku lim f(t) = lim sf (s) t s 0 Problem: Zuerst Arbeitspunkt bestimmen: Ruhelage W =0, X =0 Dann: Sprungförmige Änderung von w: w = σ(t) 33

7 Berechnung: F 0 (s) = K R 1+s E(s) = 1 1+ K R 1+s W (s) Endwertsatz: lim e(t) = lim se(s) = lim s 1 t s 0 s 0 1+ K R 1+s 1 s = 1 1+K R Es gibt also Strecken, für die reicht ein P-Regler nicht aus, um die Regeldifferenz vollständig auszuregeln (absolute stationäre Genauigkeit zu erreichen). Je größer K R,umsokleinere(+ )S, aber ein großes K R führt zu Instabilität. Wie kann man absolute stationäre Genauigkeit erreichen? I-Regler Beispiel I-Regler mit PT 1 -Strecke Berechnung: F 0 (s) = K R s(1 + s) E(s) = 1 1+ K R s(1+s) 1 s Endwertsatz: lim e(t) =lim s 1 t s 0 1+ K R s(1+s) 1 s =lim s 0 1 s(1+s)+k R s(1+s) =lim s 0 s(1 + s) s(1 + s)+k R =0 Falls die Strecke nicht schon einen I-Anteil hat (sich integrierend verhält), kann mit einem I-Anteil im Regler absolute stationäre Genauigkeit erreicht werden. 34

8 Die Praxis hat gezeigt, dass man für die meisten Strecken mit drei Basiselementen im Regler auskommt, um die vier Anforderungen Stabilität, stationäre Genauigkeit, Dämpfung und Schnelligkeit zu erreichen. Zusätzlicher D-Anteil PID-Regler 10.2 PID-Regler u(t) = K R e(t)+k I t = K R e(t)+ 0 1 T I }{{} K I = K R TI e(τ)dτ + K D de(t) dt t 0 e(τ)dτ + T D }{{} K D =K R T D de(t) dt K R : Verstärkung T I : Nachstellzeit T D : Vorhaltezeit PID-Regler werden zu 95% in der Realität eingesetzt, meist sogar ohne D-Anteil Die folgende Tabelle beschreibt qualitativ die Auswirkungen der einzelnen Reglerglieder. Anstiegszeit Überschwingen Einstellzeit stationärer Fehler P-Glied I-Glied D-Glied 35

9 11 Bestimmung der Reglerparameter nach Ziegler und Nichols (1949) Empirische Vorgehensweise 11.1 Methode 1 Reglertypen K R T I T D P 0, 5K crit Methode 1 PI 0, 45K crit 0, 85T crit PID 0, 6K crit 0, 5T crit 0, 12T crit Methode 2 1 P K s Ta T t 0,9 PI K s Ta T t PID 3, 33T t 1,2 K s Ta T t 2T t 0, 5T t 1. Zuerst nur P-Regler: erhöhe K R bis Stabilitätsrand erreicht wird K R = K crit 2. Tabelle 11.2 Methode 2 1. Sprungantwort der Strecke Wendetangente Approximation 2. Wendepunkt := mind. 2. Ordnung 3. Approximation: 36

10 > 2. Ordnung wird ersetzt durch T t K 1+T s 4. Wie sieht die Sprungantwort aus: y = 1 e t T dy = 1 dt T e t T = 1 t=0 T y(t ) = 1 e T 1 T =1 e 11.3 Probleme beim praktischen Einsatz von digitalen PID-Reglern 1. Harte Synthese durch D-Anteil: Sprunganteil im idealen PID-Regler: Betrachtung ohne Strecke und Rückkopplung: 37

11 Annahme: y(0) = 0 G(s) = G PID 1+G PID In der Praxis werden reale PID-Regler eingesetzt: reales D-Glied: G(s) =T D s K 1+T Q s 2. Integrator Windup tatsächliche Stellgröße Ausgang 38

12 Abhilfe schafft der Antiwindup Reset: Antiwindup Antiwindup: I-Anteil einfrieren, sobald U max bzw. U min erreicht wird.!beim Schalten verlassen wir die Klasse der linearen Systeme! 12 Digitale Regelung Bisher rein kontinuierliche Betrachtung, Implementierung sieht anders aus: 39

13 e k = w k -y k Algorithmus Speicher D/A Stellglied Strecke u k = A(e k,x k ) Speicher A/D Messglied Rechner, z. B. µ-controller Was pasiert genau an den Schnittstellen zwischen diskretem und kontinuierlichem Teil? 1. Wertediskretisierung: R 16/32 bit Fixpunkt, im Normalfall unkritisch 2. Zeitdiskretisierung: Abtastung der Messgrößen Repetetive Ausführung des Regelalgorithmus Die beiden Dinge sollten zusammenpassen Zu oft neue Messwerte nützt nichts Zu lange Wartezeiten auf neue Messwerte auch schlecht Annahme einer einheitlichen Abtastrate T + neuer Messwert vorhanden neuer Stellwert berechnet Stellwert wird geändert 0 T 2T 3T 4T kt Start k-te Ausführung des Regelalgorithmus Abtastregeler, Faustregel: T< 1 10 dominierende (größte) Streckenzeitkonstante 40

14 12.1 Abtastvorgang Definition: Abtastung ist die Entnahme einzelner (diskreter) Funktionswerte aus einem kontinuierlichen Zeitverlauf (sampling) Vorraussetzung für das Folgende: Abtastung äquidistant f(t) Abtastung f(t) Speicherung f(t) f(t) f(3t) f(4t) f(2t) f(t) f(3t) f(4t) f(2t) f(t) f(3t) f(4t) f(2t) f(0) f(0) f(0) t t t 0 T 2T 3T 4T kontinuierliche Funktion f(t) 0 T 2T 3T 4T Zahlenfolge (f(kt))=(f k ) 0 T 2T 3T 4T Treppenfunktion f(t) T: Abtastperiode kt, k=0,1,2, : Abtastzeitpunkte Soll die Zahlenfolge weiterverarbeitet werden, ist Speicherung der Werte erforderlich, meist über die gesamte nachfolgende Periode der Länge T Blockdarstellung des Abtastvorgangs f(t) (f k ) f(t) Abtastung Speicherung kontinuierliche Zeitfunktion Zahlenfolge Treppen funktion 41

15 12.2 Zwei Vorgehensmöglichkeiten kontinuierliches Regelungsproblem (Strecke, Anforderungen an geschl. Kreis Entwurf im Kontinuierlichen Entwur im Diskreten z. B. z-transformation des Streckenmodells, Dead-Beat-Control kontinueierlicher Regler kann automatisiert werden Diskretisierung implementierter Regelalgorithmus 42