Regelungstechnik : Vorlesung 10

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1 Regelungstechnik : Vorlesung 10 Umgang mit Beschränkungen der Aktoren Alle Aktoren haben gewisse Beschränkungen. Sie sind beispielsweise in ihrer Amplitude oder Dynamik beschränkt. Das Missachten von Stellgrößenbegrenzung kann zu schwerwiegenden Performance-Verschlechterungen führen. Mögliche Lösungen: 1.) Reduzieren der Anforderungen an die Funktionalität, sodass ein linearer Regler die Beschränkungen niemals missachtet (konservativ, überbestimmtes System!). 2.) Modifikation des linearen Entwurfs, welcher Beschränkung berücksichtigt. 3.) Realisierung eines Entwurfs, der explizit Nicht-Linearitäten berücksichtigt (z.b. Optimale Regelung mit Beschränkungen). Wind-up -Effekt Falls ein Eingangssignal in Sättigung gerät, ist das fortwährende Integrieren des Integrators in einem Regler (man nehme an er besitzt einen) eine Auswirkung. Dies führt zu einem schlechten, zeitlichen Verhalten des Systems. 1

2 Anti-Wind-Up -Maßnahmen 1.) Der Zustand des Reglers sollte durch den (beschränkten) Eingang der Strecke ( u(t) ) gesteuert werden. 2.) Der Zustand des Reglers sollten eine stabile Realisierung haben, wenn er vom Eingang der Strecke gesteuert wird. Wir nehmen an, dass der Regler von relativen Grad Null sowie minimalphasig ist (d.h. alle Nullstellen befinden sich in dem stabilen Bereich). Definiere: c = lim C(s) und betrachte die folgende Übersicht: Ohne Sättigungseffekte (d.h. falls u (C) (t) < 1 gilt) kann die Übertragungsfunktion zwischen e(t) undu (G) (t) folgenderweise angegeben werden: C(s) = U(s) E(s) = c 1+ [ (C(s)) 1 c 1 Im Falle von Sättigung wird ( C(s) ) 1 c 1 durch eine Konstante gesteuert. Dazu ist ( ) 1 C(s) c 1 stabil und hat einen positiven Relativgrad. ] c Zusammenfassung C(s) beschreibt eine stabile und minimalphasige Übertragungsfunktion mit Relativgrad 0. c ist die Hochfrequenz-Verstärkung von C(s): c = lim C(s) 2

3 Falls G(s) Relativgrad 0 hat, dann gilt c 0 und daher ist c 1 endlich. Das Gesamtsystem ist äquivalent zu ( C(s) ) 1. Beispiel: PI-Regler C(s) =K p + K i s = K ps + K i s Hochfrequenz-Verstärkung: c lim C(s) =K p (C(s)) 1 c 1 s = 1 K p s + K i K p = K ps (K p s + K i ) ( ) K p Kp s + K i = ( ) K p Kp s + K i Diese Konzepte könnenauchfür andere statische Nicht-Linearitäten verwendet werden. Allerdings sind in allgemeinen Fällen direkte Verfahren zu bevorzugen ( Modellprädiktive Regelung). K i Digitale Regelung Die meisten Regelschleifen sind durch digitale Computer implementiert. Diese rechnen mit Zahlenfolgen, welche eine binäre Darstellung mit begrenzter Komplexität haben. Folglich müssen die analogen Ausgangssignale der Strecke: { quantisiert A/D = Zeit-diskretisiert werden. DerReglerhatnureingeschränkte Informationen über den Ausgang der Strecke. Desweiteren muss die Stellgröße am Eingang der Strecke in ein zeit-kontinuierliches Signal transformiert werden (D/A). Wir vernachlässigen Quantisierungs- und Übertragungsprobleme und legen den Schwerpunkt auf die Zeit-Diskretisierung. 3

4 Analog-Digital-Umsetzung y k = y(δ k), k N Δ = Abtastperiode Δ > 0 Die Abtastperiode Δ muss hinreichend klein gewählt werden, um Aliasing zu vermeiden (Interpretation von hohen Frequenzen als niedrige Frequenzen). Eine Faustformel für (Echtzeit-) Regelung von geschlossenen Regelkreisen ist, dass die Abtastrate 5-10 mal höher als die Bandbreite der Signale in der Schleife sein muss (höher als die Nyquistrate, da die Rekonstruktion in Echtzeit geschehen muss). Auf jeden Fall ist es vorteilhaft, wenn nicht notwendig, das zu diskretisierende Signal vorzufiltern. Prinzipiell sollte dies beim Reglerentwurf berücksichtigt werden. Es ist zu bemerken, dass die Strecke zwischen den Abtastzeitpunkten ein offener Regelkreis ist. Der Regler hat keine Informationen über das Verhalten zwischen den Abtastzeitpunkten. Digital-Analog-Umsetzung Die empfangene Sequenz {u k }, k N vom Reglerausgang muss in ein zeit-kontinuierliches Signal u(t), t R umgesetzt werden. Dies geschieht oftmals durch ein Abtasthalteglied (englisch: Zero Order Hold, ZOH): u s (t) = k u k δ(t k Δ), mit der δ Dirac-delta Funktion. u(t) ist ein treppenförmiges Signal. Es ist stückweise konstant. 4

5 u(t) =u k für k Δ t (k +1) Δ. 5