Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien

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1 Übungsaufgaben zur Vorlesung Regelsysteme Herbstsemester 25 Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien Prof. Dr. Manfred Morari, Prof. Dr. Florian Dörfler Institut für Automatik, ETH Zürich A 5.: Stabilität eines geschlossenen Systems Gegeben ist folgendes System G(s) = s(s + ) () und ein Regler Betrachten Sie nun den Standard-Regelkreis in Abbildung. C(s) = K s + α s 2 + ω 2. (2) R(s) + C(s) G(s) Y(s) Abbildung (zu A 5.): Standard-Regelkreis a) Verwenden Sie das Routh-Hurwitz Kriterium um diejenigen Kombinationen von K und α (in Abhängigkeit von ω) zu ermitteln, für die das geschlossene System stabil ist. b) Für welche Werte von K und α verschwindet der bleibende Regelfehler e(t) für t, falls r(t) = sin(ωt)?

2 Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien HS 25 A 5.2: Zuordnung von Stabilitätsaussagen zu Nyquist-Diagrammen [Prüfung HS 29] a) Assoziieren Sie die folgenden Nyquist-Diagramme und Pol-Nullstellen-Diagramme von fünf offenen Kreisen miteinander. Nyquist-Diagramme (offener Kreis) Pol-Nullstellen-Diagramme (offener Kreis) a b c d e Übungsaufgaben Regelsysteme 2 von 6

3 Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien HS 25 b) Nun sei der Regelkreis gemäss Abbildung 2 mit proportionalem Verstärkungsfaktor C(s) = K geschlossen. R(s) + C(s) G(s) Y(s) Abbildung 2 (zu A 5.2): Geschlossener Kreis mit Verstärkungsfaktor C(s) = K Ordnen Sie jedem Paar aus a) eine der folgenden Stabilitätsaussagen bezüglich des geschlossenen Kreises zu. Verwenden Sie dabei jedes System und jede Stabilitätsaussage nur genau einmal. Stabilitätsaussagen: (i) Der geschlossene Kreis ist stabil für alle K >.5. (ii) Der geschlossene Kreis ist stabil für K = 4. (iii) Der geschlossene Kreis ist stabil für K = 5, aber instabil für K =. (iv) Der geschlossene Kreis ist stabil für K = und K = 2.5. (v) Der geschlossene Kreis kann für kein K R stabilisiert werden. A 5.3: Stabilitätsanalyse eines magnetischen Transportsystems [Prüfung Herbst 28] Anhand von Stabilitätskriterien sollen die erlaubten Parameterbereiche eines Reglers C(s) für ein magnetisch gelagertes Transportsystem bestimmt werden. Die Abhängigkeit des Abstandes zwischen Lager und Transportwagen von der Erregerspannung der Magnetspulen kann als schwingungsfähiges System dritter Ordnung beschrieben werden: G(s) = s 3 + 2s 2 + 2s + = (s + )(s 2 + s + ) (3) Abbildung 3 zeigt das Blockdiagramm des geschlossenen Regelkreises. R(s) + C(s) G(s) Y(s) Abbildung 3 (zu A 5.3): Standard-Regelkreis Das System soll mit einem PI-Regler C(s) = K( +.25 s ) geregelt werden. Mit Hilfe des Nyquist Stabilitätskriteriums sollen die erlaubten Werte für den Verstärkungsfaktor K R bestimmt Übungsaufgaben Regelsysteme 3 von 6

4 Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien HS 25 werden, so dass die Pole des geschlossenen Kreises in einem gewünschten Bereich liegen. Dazu werden zwei Fälle i {, 2} untersucht, für die jeweils ein zulässiger Bereich der komplexen Ebene gegeben ist, der von einer Kurve C i C begrenzt wird. Ihnen steht jeweils die Abbildung Ĉ i C der Kurven C i zur Verfügung, d.h. die Auswertung der Übertragungsfunktion G (s) = ( +.25 s ) G(s) entlang der Kurve C i: s C i G (s) Ĉi (4) Hinweis: Beachten Sie gegebenenfalls den Kurvenschluss im Unendlichen! i=) Zunächst soll sichergestellt werden, dass das System stabil ist. Der nicht zulässige Bereich für die Pole des geschlossenen Kreises ist somit die rechte Halbebene, welche durch den unendlichen Halbkreis C in Abbildung 4 begrenzt ist. Für welche Werte von K R liegen alle Pole des geschlossenen Kreises ausserhalb des grau schattierten nicht zulässigen Bereichs? Hinweis: Die Schnittpunkte von Ĉ mit der reellen Achse liegen bei {.434, }. i=2) Aus Stabilitätsgründen soll der Realteil der Pole hinreichend klein sein. Ferner darf die magnetische Feldstärke aus konstruktiven und umwelttechnischen Gründen einen bestimmten Betrag nicht überschreiten, weshalb die Bandbreite des Systems begrenzt wird. Die resultierende zulässige Fläche umfasst einen Halbkreis mit Radius R 2 = 2 im Abstand d 2 =. von der Imaginärachse (Abbildung 5). Für welche Werte von K R liegen alle Pole des geschlossenen Kreises innerhalb des grau schattierten Bereichs, begrenzt von C 2? Hinweis: Die Schnittpunkte von Ĉ 2 mit der reellen Achse liegen bei {.832,.663,.242,.25}. A 5.4: Modifizierung des Routh-Hurwitz Kriteriums [FrPE94, Aufgabe 4.49] Verändern Sie das Routh-Hurwitz Kriterium so, dass es angewendet werden kann um zu überprüfen, ob sich alle Pole links von α mit α > befinden. Testen Sie das neue Kriterium an folgendem Polynom: s 3 + (6 + K)s 2 + (5 + 6K)s + (6 + 7K) = (5) und finden Sie alle Werte für K, so dass die Pole einen Realteil kleiner als besitzen. Übungsaufgaben Regelsysteme 4 von 6

5 Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien HS 25 Im(s) R Re(s) C Im Re Abbildung 4 (zu A 5.3): Für Stabilität nicht zulässiger Bereich C (oben) und Abbildungskurve Ĉ (unten) Übungsaufgaben Regelsysteme 5 von 6

6 Übung 5: Routh-Hurwitz und Nyquist Stabilitätskriterien HS 25 Im(s) R 2 = 2 Re(s) C 2 d 2 =..5.5 Im Re Abbildung 5 (zu A 5.3): Für die Pole des geschlossenen Kreises zulässiger Bereich (oben) und Abbildungskurve Ĉ2 (unten) Übungsaufgaben Regelsysteme 6 von 6