1. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise

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Henriette Grosse
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1 1. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A (a) Sind Fahrzeit und Distanz direkt proportional so entspricht der doppelten Fahrzeit die doppelte Distanz, der dreifachen Fahrzeit die dreifache Distanz usw. Aufgabe 1 Also gilt: 30 min 9 km (beide Seiten durch 6 dividieren) 5 min 1, 5 km 45 min 13, 5 km 60 min 18 km 80 min 24 km (b) Der Proportionalitätsfaktor in diesem Fall ist 9 km 30 min = 9 km 0,5 h = 18 km h. Das ist gerade die Geschwindigkeit, mit der Annika fährt. (2 Punkte) (c) Wenn Annika doppelt so schnell fährt, braucht sie nur die Hälfte der Zeit, ihre Fahrzeit ist dann 15 min. Fährt sie nur halb so schnell, dann braucht sie doppelt so lang, ihre Fahrzeit ist dann 60 min. Die Gröÿen Fahrzeit und Geschwindigkeit sind also indirekt proportional. (2 Punkte) (d) Multipliziert man die Zahl der Umdrehungen (n) mit dem Umfang des Rades (U), so erhält man den zurückgelegten Weg: U n = 9 km und somit U = 9 km n. Den Umfang erhält man, indem man den Durchmesser d des Rades mit π multipliziert, also folgt: π d = 9 km n und schlieÿlich: d = 9 km n π = 0, 66 m. 9 km 4338 π

2 Aufgabe 2 (a) Es gilt: Umfang gefärbte Figur = Umfang groÿer Halbkreis + Umfang mittlerer Halbkreis + 2 Umfang kleine Halbkreise Den Umfang eines Halbkreises ist π r, wobei r der Radius ist. Der Radius des groÿen Kreises ist 6 cm, der Radius des mittleren Kreises ist 6 cm : 2 = 3 cm und der Radius der kleinen Kreise ist 6 cm : 4 = 1, 5 cm und somit erhält man für den Umfang U gef. der gefärbten Figur: U gef = π 6 cm + π 3 cm + 2 π 1, 5 cm = π 12 cm 37, 70 cm Ist der Umfang des groÿen Kreises R, dann ist der Radius des mittleren Kreises R 2 und der Radius der kleinen Kreise ist R 4, also erhält man allgemein: U gef = πr + π R 2 + 2π R 4 = π (R + R R 4 ) = π 2R = 2πR (b) Für die Fläche A gef der gefärbten Figur gilt: (5 Punkte) A gef = Fläche groÿer Halbkreis Fläche mittlerer Halbkreis 2 Fläche kleine Halbkreise Da man die Fläche A K eines Kreises mit Radius r mit A k = π r 2 berechnet, erhält man: A gef = 1 2 π (6 cm)2 1 2 π (3 cm)2 π (1, 5 cm) 2 = π ( cm cm2 2, 25 cm 2 ) = π 11, 25 cm 2 35, 34 cm 2. Der Prozentsatz der gefärbten Fläche an der ganzen Figur ist: π 11, 25 cm 2 π 18 cm 2 = 11, , 625 = 62, 5%. (5 Punkte)

3 (a) Für die Werte in der Tabelle gilt immer x y = 72, aufgrund der Gleichheit des Produkts ist die Zuordnung also indirekt proportional. Die Zuordnungsvorschrift ist entsprechend: x y = 72 x. Aufgabe 3 Damit lässt sich die Tabelle ergänzen: x 0, ,2 4,5 y ,5 16 (b) Für die Werte in der Tabelle gilt immer y x = 1 7. Wegen der Gleichheit des Quotienten ist die Zuordnung direkt proportional. Die Zuordnungsvorschrift ist x y = 1 7 x. Damit lässt sich die Tabelle ergänzen: x 1 2,1 4,2 5,6 8,75 1 y 7 0,3 0,6 0,8 1,25 Aufgabe 4 (a) Die Grundäche des Aquariums beträgt 5 dm 4 dm = 20 dm 2. Wenn pro Minute 10 l aus dem Aquarium ieÿen nimmt deshalb der Wasserstand um 10 l 10 dm3 = = 0, 5 dm = 5 cm ab. 20 dm 2 20 dm 2 Damit ergibt sich folgender Funktionsgraph:

4 (b) Da der Wasserstand am Anfang 30 cm beträgt und jede Minute um 5 cm weniger wird, ist die Funktion w gegeben durch: w : t w(t) = 30 cm 5 cm min t. Um die Nullstelle zu ermitteln, muss man den Funktionsterm gleich Null setzen und dann auösen: 30 cm 5 cm min t = 0, also 30 cm t = 5 cm min = 6 min Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-achse zeigt an, wie groÿ der Wasserstand zu Beginn, zum Zeitpunkt 0 ist. Und der Schnittpunkt des Graphen mit der Zeit-Achse gibt an, wann das Becken leer ist.

5 Gruppe B (a) Sind Fahrzeit und Distanz direkt proportional so entspricht der doppelten Fahrzeit die doppelte Distanz, der dreifachen Fahrzeit die dreifache Distanz usw. Aufgabe 1 Also gilt: 30 min (beide Seiten durch 6 dividieren) 5 min 2 km 45 min 18 km 60 min 24 km 85 min 34 km (b) Der Proportionalitätsfaktor in diesem Fall ist 30 min Das ist gerade die Geschwindigkeit, mit der Annika fährt. = 0,5 h = 24 km h. (2 Punkte) (c) Wenn Annika doppelt so schnell fährt, braucht sie nur die Hälfte der Zeit, ihre Fahrzeit ist dann 15 min. Fährt sie nur halb so schnell, dann braucht sie doppelt so lang, ihre Fahrzeit ist dann 60 min. Die Gröÿen Fahrzeit und Geschwindigkeit sind also indirekt proportional. (2 Punkte) (d) Multipliziert man die Zahl der Umdrehungen (n) mit dem Umfang des Rades (U), so erhält man den zurückgelegten Weg: U n = und somit U = n. Den Umfang erhält man, indem man den Durchmesser d des Rades mit π multipliziert, also folgt: π d = n d = n π = 0, 71 m. und schlieÿlich: 5371 π

6 Aufgabe 2 (a) Es gilt: Umfang gefärbte Figur = Umfang groÿer Halbkreis + Umfang mittelgroÿer Halbkreis + 2 Umfang kleine Halbkreise Den Umfang eines Halbkreises ist π r, wobei r der Radius ist. Der Radius des groÿen Kreises ist 10 cm, der Radius des mittleren Kreises ist 10 cm : 2 = 5 cm und der Radius der kleinen Kreise ist 10 cm : 4 = 2, 5 cm und somit erhält man für den Umfang U gef. der gefärbten Figur: U gef = π 10 cm + π 5 cm + 2 π 2, 5 cm = π 20 cm 62, 83 cm Ist der Umfang des groÿen Kreises R, dann ist der Radius des mittelgroÿen Kreises R 2 und der Radius der kleinen Kreise ist R 4, also erhält man allgemein: U gef = πr + π R 2 + 2π R 4 = π (R + R R 4 ) = π 2R = 2πR (b) Für die Fläche A gef der gefärbten Figur gilt: (5 Punkte) A gef = Fläche groÿer Halbkreis Fläche mittelgroÿer Halbkreis 2 Fläche kleine Halbkreise Da man die Fläche A K eines Kreises mit Radius r mit A k = π r 2 berechnet, erhält man: A gef = 1 2 π (10 cm)2 1 2 π (5 cm)2 π (2, 5 cm) 2 = π ( cm cm2 6, 25 cm 2 ) = π 31, 25 cm 2 98, 17 cm 2. Der Prozentsatz der gefärbten Fläche an der ganzen Figur ist: π 31, 25 cm 2 π 50 cm 2 = 31, = 0, 625 = 62, 5%. (5 Punkte)

7 (a) Für die Werte in der Tabelle gilt immer x y = 81, aufgrund der Gleichheit des Produkts ist die Zuordnung also indirekt proportional. Die Zuordnungsvorschrift ist entsprechend: x y = 81 x. Aufgabe 3 Damit lässt sich die Tabelle ergänzen: x 0, ,6 4,5 y , ,5 18 (b) Für die Werte in der Tabelle gilt immer y x = 1 6. Wegen der Gleichheit des Quotienten ist die Zuordnung direkt proportional. Die Zuordnungsvorschrift ist x y = 1 6 x. Damit lässt sich die Tabelle ergänzen: x 1 1,8 4,2 4,8 7,5 1 y 6 0,3 0,7 0,8 1,25 Aufgabe 4 (a) Die Grundäche des Aquariums beträgt 6 dm 4 dm = 24 dm 2. Wenn pro Minute 12 l aus dem Aquarium ieÿen nimmt deshalb der Wasserstand um 12 l 12 dm3 = = 0, 5 dm = 5 cm ab. 24 dm 2 24 dm 2 Damit ergibt sich folgender Funktionsgraph:

8 (b) Da der Wasserstand am Anfang 40 cm beträgt und jede Minute um 5 cm weniger wird, ist die Funktion w gegeben durch: w : t w(t) = 40 cm 5 cm min t. Um die Nullstelle zu ermitteln, muss man den Funktionsterm gleich Null setzen und dann auösen: 40 cm 5 cm min t = 0, also 40 cm t = 5 cm min = 8 min Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-achse zeigt an, wie groÿ der Wasserstand zu Beginn, zum Zeitpunkt 0 ist. Und der Schnittpunkt des Graphen mit der Zeit-Achse gibt an, wann das Becken leer ist.

10 Punkteschlüssel: Punkte Note ,5 2 19,524,5 3 14, ,

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Proportionalität 1. Gegeben sind die folgenden Zuordnungen: 1) x - 3-1 0 0,5 4 y 9 3 0-1,5-6 -1 y : x - 3-3 ) km/h 30 45 60 70 85 100 min 45 30,5 13,5 min km/h 1350 1350 1350 3) s -,5 3,3 7, 8 9,1 4) t