Eingebettete Systeme

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1 Institut für Informatik Lehrstuhl für Eingebettete Systeme Prof. Dr. Uwe Brinkschulte Benjamin Betting Eingebettete Systeme 1. Aufgabe (Regelsystem) 3. Übungsblatt Lösungsvorschlag a) Das Fahrzeug kann seine Position am einfachsten anhand der gefahrenen Strecke bestimmen. Odometrie-Sensor (Inkrementalencoder): Eine Lichtschranke erkennt über eine Loch/-Codierscheibe an der Radachse die Bewegung des Rades. Jeder Hell-/Dunkelwechsel wird von der Lichtschranke wahrgenommen. Daraus kann der Drehwinkel des Rades bestimmt werden. Die Genauigkeit ist dabei abhängig von der Anzahl der Schlitze auf der Codierscheibe. Mit Hilfe des Raddurchmessers kann der zurückgelegte Weg anhand der gezählten Hell- /Dunkelwechsel berechnet werden. Wird die ermittelte Wegstrecke über die Zeit betrachtet, ist es möglich auch die Geschwindigkeit des Fahrzeuges zu ermitteln. Ein einfacher Odometrie-Sensor kann die Drehrichtung nicht bestimmen, dies ist aber mit einem Sensor mit 2 Lichtschranken (Quadratur-Decoder) möglich: Abbildung 1: Quadratur-Decoder 1

2 b) Elektromotoren können über Pulsweitenmodulation (PWM) angesteuert werden. Unter einer Pulsweitenmodulation versteht man die Erzeugung eines Signals mit konstanter Periode, aber variablem Tastverhältnis. Abbildung 2: PWM Tastverhältnis Das Tastverhältnis gibt das Verhältnis wie lange das Signal innerhalb einer Periode eingeschaltet ist an. Mit dem Tastverhältnis kann die Leistung des Motors näherungsweise bestimmt werden: P Motor = t ges t P W M t ges P max c) Regelkreis: w(t) Sollwert, x(t) Istwert, x d (t) Regelabweichung, y(t) Stellwert Abbildung 3: Regelkreis Reglertypen (Parameter: K R Proportionalverstärkung, Nachstellzeit, T V Vorhaltzeit): P: Regler bildet Stellgröÿe durch Verstärkung der Regeldierenz. y(t) = K R x d (t) x d (s) = K R Vorteile: Schnelligkeit und einfacher Aufbau Nachteile: bleibende Regeldierenz, Regelgröÿe erreicht nicht (exakt) den Sollwert 2

3 PD: Stellgröÿe wird aus Regeldierenz und dessen Ableitung gebildet. T 1 dy(t) dt ( dx d (t) + y(t) = K R T V dt x d (s) = K R ) + x d (t) 1 + s T V 1 + s T 1 Ideal ist T 1 = 0, dies ist aber nicht technisch realisierbar. Daher wird in der Praxis ein P DT 1 -Regler verwendet. Ein PD-Regler ohne P-Anteil (also D-Regler) reagiert nur auf Änderungen der Regeldierenz. Vorteile: Schnellerer Regelkreis, verbesserte Stabilität. Reagiert besonders auf hohe Frequenzen. Nachteile: Auch bleibende Regelabweichung, empndlich gegen Rauschen I: Bildet mit dem Integral der Regeldierenz die Stellgröÿe. y(t) = 1 dy(t) = K IR x d (t) dt x d (t)dt = K I x d (t)dt x d (s) = K I s Vorteile: keine bleibende Regelabweichung. Bei Sprungaufschaltung wird der Sollwert exakt erreicht. Nachteile: langsames Regelverhalten PI: Zusätzlich zum Integralanteil wird ein Proportionalteil zur Bildung der Stellgröÿe hinzugefügt. Durch den Proportionalanteil ergibt sich ein schnelleres Regelverhalten. y(t) = K R ( x d (t) + 1 x d (s) = K R ) x d (t)dt 1 + s s Vorteile: Verbindet Vorteile des P- und I-Reglers (P: Bei auftretender Regeldierenz wird sofort eine korrigierende Stellgröÿe gebildet. I: bleibende Regeldierenz wird für t gleich Null) PID: Stellgröÿe wird aus proportionalen, integralen und dierenzialen Anteil bestimmt. Additive Form: ( y(t) = K R x d (t) + 1 x d (s) = K R dx d (t) ) x d (t)dt + T V dt 1 + s + s 2 T V s 3

4 Multiplikative Form: y(t) = K R ( TN + T V x d (t) + 1 dx d (t) ) x d (t)dt + T V dt x d (s) = K R(1 + s)(1 + T V s) s Ideales dierentielles Verhalten ist auch im PID-Regler technisch nicht realisierbar. Der Regler muss daher um ein kleines Verzögerungselement ergänzt werden (mit Zeitkonstante T 1 ) Multiplikative Form: x d (s) = K R(1 + s)(1 + T V s) s (1 + st 1 ) Vorteile: Vereint die Vorteile der P-, I-, D-(bzw. DT 1 )Regler (schnelle Reaktion auf Änderungen), Flexibel einsetzbar. Empfehlung: PI-Regler, weil hinreichend schnell und bei Sprungantwort (Angabe der Position ist eine Sprungfunktion) ohne bleibende Regelabweichung. 2. Aufgabe (DA-Wandlung) a) Allgemeine Gleichung: y y = Z 2 6 U Ref = Z 64 10V Für : y = V y = 1, 5625V Für : y = V y = V Für : y = V y = V 4

5 b) Minimale Spannung: 0V (für ), Maximale V (für ), U LSB = c) Kompensation von Fehlern bei der Ausgabe: Bestimmung der Geradengleichung: y = m Z 2 6 U Ref + n (1) 8V = m V + n (2) 4, 25V = m V + n 6 (1) 8V = m 5V + n (2) 4, 25V = m 2, 5V + n (1 2) 3, 75V = 2, 5V m m = 1, 5 (2) n = 4, 25V 2, 5V m n = 0, 5 Kompensation der Ausgabewerte: y komp y komp = y n m = y 0,5 1,5 d) Toleranzen bei Bauelementen, Temperaturabhängigkeiten, nicht ideale Bauelemente. Die Wandlungsfunktion liegt daher nicht auf einer Geraden sondern auf einer Kurve. 3. Aufgabe (AD-Wandlung) a) 7 Bit werden benötigt: 10V 0V 0, 125V = < 80 < 2 7 b) Formel: 2 n U in U ref U in U LSB U LSB : U U LSB = max 2 n 10 U LSB = 2 7 U LSB = V = 1 12,8 5

6 1,4V 1,4V U LSB = 17 = b 9,5V 9,5V U LSB = 121 = b 5,1V c) Quantisierungsfehler ist bei: 5,1V U LSB = 65 = b ± U LSB 2 = ± V 2 = ± V = ±39, 1mV d) SNR: SNR SNR SNR 1, 8dB + n 6dB 1, 8dB + 7 6dB 43, 8dB Zur Verringerung des Quantisierungsrauschens kann ein AD-Wandler mit einer höheren Auösung (mehr Bit) verwendet werden. 4. Aufgabe (Signalabtastung) Abtast-/Halteglied a) Ein Abtast-/Halteglied wird benötigt, um das Eingangssignal während der Digitalisierung konstant zu halten. Denn wenn es sich bei der Digitalisierung ändert, wird das Ergebnis verfälscht. b) Während der Abtastung wird der Schalter S geschlossen und so ein Kondensator mit der Eingangsspannung aufgeladen. Der Operationsverstärker entkoppelt das Abtastglied vom Eingang, da sonst die Messung die Eingangspannung verfälscht. Danach wird der Schalter S wieder geönet. Der Kondensator bleibt geladen, da der Operationsverstärker Kondensator und AD-Wandler entkoppelt (und so einen Stromuss, welcher zur Entladung führt praktisch verhindert) und das Signal kann abgetastet werden. Abtastfrequenz: 6

7 Abbildung 4: Abtast-/Halteglied c) Zur Rekonstruktion des Signals muss es mit mindestens der doppelten Frequenz abgetestet werden (Abtasttheorem). f abtast > 2f max f abtast > 40kHz d) Abbildung 5: Normale Abtastung, Frequenz wird erkannt 7

8 Abbildung 6: Normale Abtastung, Frequenz wird erkannt Abbildung 7: Signalfrequenz hat die kritische Grenzfrequenz (Die Amplitide des Signals kann nicht bestimmt werden.) 8

9 Abbildung 8: Das Signal hat eine höhere Frequenz als die Hälfte der Abtastfrequenz. Es kann nicht korrekt erkannt werden. Es tritt der Alias-Eekt auf. Abbildung 9: Das Signal hat eine höhere Frequenz als die Hälfte der Abtastfrequenz. Es kann nicht korrekt erkannt werden. Es tritt der Alias-Eekt auf. 9