Vorlesungsvertretung Analysis II, H. P. Kiani, SoSe 2014 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Vorlesungsvertretung Analysis II, H. P. Kiani, SoSe 214 Ergänzungen/Erläuterungen zu den Folien von Prof. Iske

2 Kurvenintegrale Zur Erinnerung: Kurve = stetige Funktion c : [a,b] R n, c(t) = c 1 (t) c 2 (t). c n (t) ċ(t) = ċ 1 (t) ċ 2 (t). ċ n (t) Kurvenlänge einer stückweise C 1 -Kurve: b L(c) = 1 ċ(t) dt =: 1 ds. a c Im R 2 : c(t) = ( ) c1 (t) c 2 (t) = ( ) x(t) y(t) 2

3 Polarkoordinaten: (Folie 159) r, φ statt x, y ( ) r(t) cos(φ(t)) c(t) = r(t) sin(φ(t)) ċ(t) = ċ(t) 2 = 3

4 Kardioide: (Folie 16) 6 Kardioide r= a(1+ cos(φ ), a=.5,1,2, r = a (1+cos(φ), a >, φ 2π t = φ, L(c) = 2π d dφ φ = 1, d dφ r(φ) = ṙ 2 + r 2 φ 2 dφ = 4

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6 Von eine Kurve umschlossene Fläche: (Folie 16) ( ) x(t) c(t) =, t [a,b] y(t) F(c) = b a ( x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)) dt Zur Erinnerung: F = ( det v1 w 1 v 2 w 2) 5

7 F i = 1 2 det ( c(t i ) c(t i+1 ) = 1 2 det ( ) x(ti ) x(t i+1 ) y(t i ) y(t i+1 ) = 1 2 (x(t i)y(t i+1 ) x(t i+1 ) y(t i )) =: 1 2 (x i y i+1 x i+1 y i ) 6

8 F = n 1 k= F i = 1 2 n 1 (x i y i+1 x i+1 y i ) k= = 1 2 n 1 k= x i y i+1 x i+1 y i t i+1 t i (t i+1 t i ) = 1 2 = 1 2 n 1 k= n 1 k= x i y i+1 x i y i + x i y i x i+1 y i t i+1 t i (t i+1 t i ) ( x yi+1 y i i y xi+1 x ) i i t i+1 t i t i+1 t i (t i+1 t i ) 7

9 Beispiel: Archimedische Spirale: Folie 162 Prof. Iske Hier: Ellipse ( ) acos(t) c(t) = bsin(t) = ( ) x(t) y(t) ċ(t) = ( ) asin(t) bcos(t) = (ẋ(t) ) ẏ(t) 8

10 F(c) = 2π ( x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)) dt 9

11 Folie Prof. Iske: Kurvenintegrale c : [a,b] D, D R n, stückweise C 1 Kurve f : D R stetige skalare Abbildung. Dann ist das Kurvenintegral (Linienintegral) von f über c definiert durch c f ds := c f(x)ds := b a f(c(t)) ċ(t) dt = b a f(x(t)) ẋ(t) dt. Beispiele: Länge: f(c(t)) = 1 = c f ds = Länge der Kurve, 1

12 Masse: f(c(t)) = ρ(c(t)) = Dichte (Masse pro Längeneinheit) b = M =: f ds = ρ(c(t)) ċ(t) dt c = Masse der Kurve (z.b. Drahtstück). Herleitung: Approximiere Kurve durch Polygonzug, Dichte auf [c(t i 1 ),c(t i )] ρ(c(t i )). Masse des Stücks [c(t i 1 ),c(t i )] M i ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i 1 ). a Gesamtmasse: m M := M i = i=1 m i=1 ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i 1 11

13 Für den Schwerpunkt gilt b ρ(c(t))c(t) ċ(t) dt ρ(x) xds X s = a b a ρ(c(t)) ċ(t) dt = c c ρ(x) ds =: X s. wobei das Integral im Zähler komponentenweise ausgwertet wird. Trägheitsmoment des Massebelgten Drahtes bei der Rotation um eine Achse A b θ A = ρ(x)r 2 (x)ds = ρ(c(t))(r(c(t))) 2 ċ(t) dt. c wobei r(c(t)) der Abstand zur Rotationsachse ist. a 12

14 Parametrisierungsinvarianz von Kurvenintegralen (Folie 164, Prof. Iske) wird genauso bewiesen wie Parametrisierungsinvarianz der Kurvenlänge auf Folie 154 (Kettenregel/Substitution) 13

15 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Vorlesung Analysis II, H. P. Kiani, SoSe 214 Folien von Prof. Iske mit Ergänzungen SoSe 214

16 Periodischer Funktionen Abbildung 1: sin (x) und sin (2x) f periodisch mit der Periode T > : f(t+t) = f(t) t R 2

17 Beobachtungen: Seien f und g T periodisch = f ist auch k T peridisch, k N f(t+t) = f(t) = f(t+kt) = f(t) f(kt) ist auch T periodisch Beispiel: sin(kt), cos(kt), k N sind 2π periodisch αf + βg ist T periodisch Beispiel: Die Funktionen n k=1 (a k cos(kt) + b k sin(kt)) sind 2π periodisch 3

18 Die Funktionen sin(kωt), cos(kωt) sind T = 2π ω periodisch ω = 2π T heißt Kreisfrequenz sin(kω(t+t)) = sin(kωt+kωt)) = sin(kωt+k 2π T T)) = sin(kωt+k2π)) = sin(kωt) 4

19 Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Armin Iske Fachbereich Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Sommersemester 214 Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 1

20 Kapitel 12: Fourier-Analysis 12 Fourier-Analysis 12.1 Grundlegende Begriffe Definition: Eine Funktion f : R R (oder f : R C) heißtperiodisch mit der Periode T (oder T-periodisch), falls f(t + T) =f(t) für alle t R. Ziel: Entwicklung einer periodischen Funktion f in eine Fourier-Reihe f(t) = a 2 + k=1 Grundschwingungen: cos(ωt), sin(ωt) [a k cos(kωt)+b k sin(kωt)] Oberschwingungen: cos(kωt), sin(kωt), k = 2, 3,... Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 166

21 Zur Erinneung: etwas L.A. Definiere auf (geeignetem) Funktionenraum V mit Unterraum T n := { g : g(t) = a 2 + n k=1 (a k cos(kωt) + b k sin(kωt)) a k,b k R, } aller T periodischen trigonometrischen Polynome vom (Höchst-)Grad n das Skalarprodukt < f,g >:= 2 T T f(t) g(t)dt. und die Norm g := 2 T T (g(t)) 2 dt = < g,g >. Dann ist { } 1 2, cos(kωt),sin(kωt), k = 1,,n ein Orthonormalsystem. 5

22 Für eine gegebene Funktion f aus V ist f n (x) := a 2 + n k=1 (a k cos(kωt) + b k sin(kωt)) mit T a k := 2 T b k := 2 T T f(t) cos(kωt)dt, k N f(t) sin(kωt)dt, k N. die beste Approximation aus T n, dass heißt f f n f g g T n. 6

23 Kapitel 12: Fourier-Analysis Bemerkungen. Ist T eine Periode von f, soauchkt, k Z, eineperiodevonf. Sind T 1 und T 2 Perioden von f, sosindauch k 1 T 1 + k 2 T 2 für k 1,k 2 Z Perioden von f. Existiert eine kleinste positive Periode T>von f, soistdiemengeder Perioden von f gegeben durch kt, k Z. Jedenichtkonstante,stetigeund periodische Funktion f besitzt eine solche kleinste Periode. Sind f und gt-periodisch, so ist auch αf + βg, α, β R, T-periodisch. Ist ft periodisch und integrierbar (über kompakten Intervallen), so gilt T f(t) dt = a+t a f(t) dt für beliebige a R. Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 167

24 Beweis zum letzten Punkt aus Folie 167 a = k T +α mit einem k Z und einem < α < T a+t a f(t)dt = α+kt+t α+kt f(t)dt Sustitution τ = t k T = = = = = α+t α T α T α T α T f(τ +kt)dτ = f(τ)dτ + f(τ)dτ + f(τ)dτ + f(τ)dτ α+t T α α α+t α f(τ)dτ f(v +T)dv f(v)dv f(τ)dτ Periodizität Sustitution v = τ T Periodizität 7

25 Kapitel 12: Fourier-Analysis Periodische Fortsetzungen. Definition: Eine Funktion g(t), t [, T] bzw. t [, T/2] läßt sich zu einer T-periodischen Funktion f : R R wie folgt fortsetzen. Direkte Fortsetzung. f(t) :=g(t kt) für kt t<(k + 1)T Gerade Fortsetzung. Seig(t) auf [, T/2] gegeben. Dann setze ( ) ( ) 2k 1 2k + 1 f(t) :=g(t kt) für T t< T, 2 2 wobei g zunächst an der y-achse gespiegelt wird: g(t) :=g( t), für T 2 t<. Ungerade Fortsetzung. Wieoben,aberSpiegelungumUrsprung: g(t) := g( t), für T 2 t<. Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 168

26 Kapitel 12: Fourier-Analysis Fourier-Reihen und trigonometrische Polynome. Definition: Eine Reihe der Form f(t) = a 2 + k=1 [a k cos(kωt)+b k sin(kωt)] mit a k,b k R (oder C) heisst Fourier-Reihe (oder trigonometrische Reihe). Dabei sei Die zugehörigen Partialsummen f n (t) = a 2 + n k=1 ω = 2π T >. [a k cos(kωt)+b k sin(kωt)] mit a k,b k R (oder C) der Fourier-Reihe f(t) heißen trigonometrische Polynome vom Grad n. Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 169

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28 Kapitel 12: Fourier-Analysis Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihe. Es gilt die Eulersche Formel e ix = cos(x)+i sin(x) für alle x R, womit cos(x) = 1 2 ( e ix + e ix) und sin(x) = 1 2i ( e ix e ix) Damit lassen sich die trigonometrischen Polynome wie folgt darstellen. f n (t) = a 2 + n = a 2 + n [a k cos(kωt)+b k sin(kωt)] k=1 [ ak k=1 = a 2 + n k=1 2 ( e ikωt + e ikωt) + b k 2i [ ak ib k 2 e ikωt + a k + ib k 2 ( e ikωt e ikωt)] e ikωt ] Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 17

29 Kapitel 12: Fourier-Analysis Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihe. Somit kann man die trigonometrischen Polynome schreiben als n f n (t) = γ k e ikωt für t R mit den Koeffizienten womit gilt k= n γ = 1 2 a, γ k = 1 2 (a k ib k ), γ k = 1 2 (a k + ib k ), a = 2γ, a k = γ k + γ k, b k = i(γ k γ k ). Für die Darstellung der Fourier-Reihe bekommt man somit n f(t) = lim γ k e ikωt = γ k e ikωt = γ k e ikωt für t R. n k= n k= k Z Wichtige Frage: Konvergiert die Fourier-Reihe (punktweise oder gleichmäßig)? Analysis II TUHH, Sommersemester 214 Armin Iske 171