MATHEMATIK 1 VERSION 17. Dezember f(t)e st dt. F (s) = f(t)e st dt =

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1 MATHEMATIK VERSION 7. Dezember 28 ISIBACH ANDRÉ 4. aplacetranformation 4.. Definition. Sei f(t gegeben. Die Funktion F ( f(te t dt heit aplacetranformation der Funktion f(t. Symbolich chreiben wir F ( (f(t, oder f(t F (. Wir nennen f(t die Originalfunktion und F ( die Bildfunktion. In Anwendungen it t oft die Zeit und f(t bechreibt eine zeitabhängige Gröe. In dieem Fall wird f(t auch Zeitfunktion genannt. Bemerkung: Im allgemeinen it C Erte Beipiele. Unter der proviorichen Annahme da R berechnen wir erte Beipiele von Tranformationen. (i Sei f(t. Dann haben wir F ( f(te t dt e t dt. Für die weiteren Berechnungen in dieem Beipiel untercheiden wir die Fälle und. Im Fall haben wir F ( e dt und omit exitiert F ( ( für nicht. Im Fall haben wir F ( Gilt nun > o haben wir Gilt aber < o haben wir dt e t dt lim T e T T F (. lim T e T e T lim. T und in dieem Fall exitiert F ( ( auch nicht. Wir finden alo { ( >, nicht definiert. In der iteratur wird oft auch die Notation (mit gechweiften Klammern F ( {f(t} verwendet.

2 (ii Sei f(t t. Dann haben wir F ( f(te t dt te t dt t e t + e t dt, wobei wir für die letzte Zeile partielle Integration verwendet haben. Da verbleibende Integral it gleich ( und exitiert omit nur für >. In dieem Fall verchwindet der erte Term und wir finden omit { >, (t 2 nicht definiert. (iii Sei f(t e at. Dann haben wir F ( e at e t dt e (a t dt e(a t a. Dieer Audruck exitiert nur fall a <. Wir finden alo ( e at { a a <, nicht definiert a Konvergenzbereich. In dieem Teilabchnitt widmen wir un den Fragen: (i Für welche Funktionen f(t exiitiert eine aplacetranformation? (ii Wie ieht der Definitionbereich von F ( (f(t au, i.e. für welche C exitiert F (? Wir illutrieren die Ideen zuert an den bereit beprochenen Beipielen f(t und f(t e at indem wir die Annahme R weglaen. Sei f(t. Wir haben F ( e t e T dt lim. T Wir chreiben α + jβ (mit α, β R. Wir haben e T e (α+jβt e αt e jβt e αt (co( βt + j in( βt. Der Faktor co( βt + j in( βt befindet ich in der komplexen Ebene auf dem Einheitkrei und der Betrag davon it omit kontant. Für den reellen Vorfaktor e αt gilt und wir finden lim T e αt α >, α, α < { Re( >, lim T e T nicht definiert Re(. I.e. die aplacetranformation von f(t mit der Angabe de Definitionbereich H C it (, H { C Re( > }. 2

3 Der Konvergenzbereich entpricht der komplexen rechten Halbene (ohne die Gerade Re(. Al nächte betrachten wir f(t e at. Wir haben F ( e (a t e (a T dt lim. T a Für Konvergenz benötigen wir Re(a <. Somit it die aplacetranformation von f(t e at mit der Angabe de Definitionbereich H C gegeben durch ( e at a, H { C Re( > Re(a}. Im folgenden verallgemeinern wir die Betrachtung. Dazu benötigen wir Funktionen exponentieller Ordnung. Eine Funktion f(t it von exponentieller Ordnung, fall e Kontanten a, M gibt, o da f(t Me at. I.e. eine Funktion f(t it von exponentieller Ordnung fall ie höchten exponentiell wächt. Wir nennen da kleinte a für welche die obige Ungleichung gilt die exponentielle Ordnung von f(t. Beipiele ind: Funktion Exponentielle Ordnung f(t f(t co(ωt f(t in(ωt f(t e bt b Ein Gegenbeipiel für eine Funktion welche nicht von exponentieller Ordnung it, it (diee Funktion wächt zu chnell. f(t e t2 Theorem 4.. Für f(t von exponentieller Ordnung a konvergiert die aplacetranformation F ( (f(t für alle C mit Re( > a. Bewei: Wir nehmen an da f(t von exponentieller Ordnung it, i.e. f(t Me at und da ich im Definitionbereich befindet, i.e. Re( > a. Nun it zu zeigen da die aplacetranformation exitiert. Da Re( > a, lät ich chreiben al (a + α + jb mit α >. Wir haben f(te t f(te t f(te (a+αt e jbt f(te (a+αt f(t e (a+αt Me at e (a+αt Me αt, wobei wir für die zweite Zeile verwendet haben da e jbt. Die Tranformation it gegeben durch F ( f(te t dt. Wegen obiger Ungleichung it aber die Funktion welche integriert wird im Betrag von oben bechränkt durch eine Funktion welche integrierbar it und omit elbt integrierbar. I.e. die Tranformation von f(t exitiert, i.e. (f(t konvergiert. 3

4 Bemerkungen: (i Alle von un in dieer Vorleung betrachteten Funktionen ind von exponentieller Ordnung und beitzen omit eine aplacetranformation. (ii In den Anwendungen pielt t meiten die Rolle der Zeit. Da der Exponent im Audruck e t dimenionlo ein mu, pielt die Rolle einer (komplexen Frequenz. (iii a wird auch Konvergenzabzie genannt inearität und trigonometriche Funktionen. Theorem 4.2 (inearität. Seien C, C 2 Kontanten und f (t, f 2 (t gegebene Funktionen. Dann gilt (C f (t + C 2 f 2 (t C (f (t + C 2 (f 2 (t, i.e. die aplacetranformation it linear. Der Bewei folgt direkt au der inearität de Integral: (C f (t + C 2 f 2 (t (C f (t + C 2 f 2 (te t dt C f (te t dt + C 2 f 2 (te t dt C f (te t dt + C 2 f 2 (te t dt. C (f (t + C 2 (f 2 (t. Somit kann bei Summen gliedweie tranformiert werden. Beipiel: (7 + 3t (7 + (3t 7 ( + 3 (t Wir betimmen die Tranformation der trigonometrichen Funktionen in(t, co(t. Dazu verwenden wir Wir haben co(t ejt + e jt 2, in(t ejt e jt. 2j (co(t ( ( e jt + ( e jt 2 ( 2 j + + j 2 +, wobei wir in der erten Zeile inearität und für die zweite Zeile die Tranformation ( e at a verwendet haben. Analog zu dieer Rechnung findet man die Tranformation von in(t. Wir haben (in(t 2 +, (co(t

5 4.5. Tranformation von f(t t n. Wir haben bereit geehen (, (t 2. Sei f(t t 2. Wir haben ( t 2 t 2 e t dt t2 e t (t te t dt 2 3. Man beachte den Audruck in der zweitletzten Zeile, i.e. man beachte da gilt ( t 2 2 (t. Sei nun f(t t 3. Wir haben ( t 3 t 3 e t dt t3 e t ( t t 2 e t dt Man beachte auch hier den Audruck in der zweitletzten Zeile, i.e. man beachte da gilt ( t 3 3 ( t 2. Analog findet man für n N (t n n ( t n. Somit haben wir (t n n ( t n n n ( t n 2 n n }{{ ( n! } n Ähnlichkeit und Dämpfung. Theorem 4.3 (Ähnlichkeit. Sei f(t eine gegebene Funktion, a > eine Kontante und ei F ( (f(t. Dann gilt (f(at ( a F. a 5

6 Der Bewei beruht auf der Subtitution u at: (f(at f(ate t dt f(ue u a du a }{{} F( a ( a F. a Al Anwendungbeipiel betrachten wir die Tranformation von co(ωt. Wir haben f(t co(t und au F ( (co(t 2 + folgern wir durch Ähnlichkeit (co(ωt ( ω F ω ω ω ( ω ω 2. Theorem 4.4 (Dämpfung. Sei f(t eine gegeben Funktion, a > eine Kontante und ei F ( (f(t. Dann gilt Der Bewei it die Rechnung ( e at f(t F ( + a. ( e at f(t F ( + a. e at f(te t dt f(te (a+t dt Al Anwendungbeipiel betrachten wir die Tranformation von e 3t in(t. Wir haben f(t in(t und au folgern wir F ( (in(t 2 + ( e 3t in(t F ( + 3 ( Die Heaviidefunktion. Die Heaviidefunktion H(t it definiert durch { t <, H(t t. H(t In Anwendungen wird diee Funktion meit verwendet um da (idealiierte Einchalten (oder Auchalten eine Signal oder einer Störung zu modellieren. Beipielweie kann 6 t

7 eine Gleichpannung U, welche zum Zeitpunkt t t eingechaltet wird durch die Funktion modelliert werden: U(t U H(t t U U(t t t Bemerkungen: (i In der Realität ändern Gröen meiten nicht prungartig ondern tetig. Trotzdem liefert die Heaviidefunktion in vielen Fällen eine gute Approximation. (ii In der iteratur wird für die Heaviidefunktion H(t oft auch die Notation θ(t und der Name Thetafunktion, Sprungfunktion oder Schrittfunktion verwendet. (iii Oft wird beim Zeichnen de Graphen der Heaviidefunktion kein Unterchied zwichen den getrichelten und augezogegenen Teilen gemacht, i.e. der ganze Graph wird mit augezogenen Geradentücken gezeichnet. Mit der Heaviidefunktion lät ich die folgende Fenterfunktion zuammenetzen (wir etzen vorau da a < b: f(t H(t a H(t b t < a, a t < b, b t. a H(t a t b t H(t b H(t a H(t b a b t Al Beipiel für die Anwendung der Heaviidefunktion chreiben wir die tückweie definierte Funktion t <, f(t t t <, t 2 t al 4.8. Zeitverchiebung. f(t t ( H(t H(t + t 2 H(t. Theorem 4.5 (Zeitverchiebung. Sei f(t gegeben, ei a > eine Kontante und ei F ( (f(t. Dann gilt (H(t af(t a e a F (. 7

8 Der Bewei beruht auf der Subtitution u t a: (H(t af(t a a H(t af(t ae t dt f(t ae t dt f(ue (u+a du e a f(ue u du } {{ } F ( e a F (. Bemerkung: Für die aplacetranformation einer Funktion f(t it nur da Verhalten der Funktion für t relevant, da die Tranformation durch ein Integral gegeben it, deen untere Integrationgrenze t entpricht. Somit gilt F ( (f(t (H(tf(t und die Funktion H(t af(t a entpricht in der Tat der zeitlichen Verchiebung von H(tf(t. Al Beipiel betrachten wir die Tranformation von H(t 2 in(t 2. E handelt ich um eine um 2 (nach recht verchobene Sinufunktion, welche bei t 2 eingechaltet wird: H(t 2 in(t 2 2 t Wir haben und omit folgt F ( (in(t Ableitungeigenchaften. (H(t 2 in(t 2 e 2 F ( e Theorem 4.6 (Ableitung Zeitbereich. Sei f(t gegeben und ei F ( (f(t. E gilt ( df dt (t F ( f(. Bewei: ( df dt (t df dt (te t dt f(te t + f(te t dt }{{} F ( f( + F (, 8

9 wobei wir für die zweite Zeile partiell integriert haben. Bemerkung: Analoge Audrücke laen ich für Ableitungen höherer Ordnung herleiten. Beipielweie folgt der Audruck für die zweite Ableitung rekuriv au dem Audruck für die erte Ableitung: ( d 2 f dt 2 (t ( df dt (t f ( (F ( f( f ( 2 F ( f( f (. Der Audruck für die Ableitung n-ter Ordnung it ( d n f dt n (t n F ( n f( n 2 f ( n 3 f (... f (n (. Al Anwendungbeipiel berechnen wir die Tranformation der Funktion co(t au der Tranformation der Funktion in(t. Sei alo f(t in(t. Wir haben f(, df dt (t co(t und F ( (f(t. E folgt 2 + ( df (co(t dt (t F ( f( 2 +, in Übereintimmung mit der un bekannten Tranformation. Theorem 4.7 (Ableitung Bildbereich. Sei f(t gegeben und ei F ( (f(t. E gilt df ( ( tf(t. d Bewei: df d ( d f(te t dt d f(t d ( e t dt d f(tte t dt } {{ } (tf(t ( tf(t. Bemerkung: Analoge Audrücke laen ich für Ableitungen höherer Ordnung herleiten. E gilt d n F d n ( (( tn f(t. Al Anwendungbeipiel betrachten wir die Tranformation von tf(t mit f(t in(t, i.e. wir betrachten die Tranformation von t in(t. Wir haben (t in(t d d (in(t d ( d (

10 Analog findet man 4.. Integral im Zeitbereich. (t co(t 22 ( Theorem 4.8 (Integral Zeitbereich. Sei f(t gegeben und ei F ( (f(t. Dann gilt ( t f(udu F (. Bewei: Wir benutzten die Definition der Tranformation und integrieren partiell 2 : ( t ( t f(udu f(udu e t dt ( t ( f(udu e t + }{{} F (. f(te t dt } {{ } F ( 4.. Dartellung der Eigenchaften in Kommutativen Diagrammen. Eine für die Anwendung zugängliche und überichtliche Form der obigen Eigenchaften it die Dartellung in kommutativen Diagrammen. Die Diagramme heien kommutativ, weil e möglich it auf beliebigem Wege (und in beliebiger Richtung von einem Ort im Diagramm zu einem anderen Ort zu gelangen. Im folgenden it jeweil f(t eine gegebene Funktion und F ( (f(t. Weiter it a > eine gegebene Kontante Ähnlichkeit. Die Eigenchaft wird dargetellt al (f(at a F ( a t at f(t f(at F ( a F ( a Die Anwendung diee Diagramm auf die Tranformation (co(ωt it co(t 2 + t ωt co(ωt ω ω ( ω ω 2 Die Kommutationeigenchaft de Diagramm wird in dieem Fall augenutzt, indem man die Funktion co(ωt zuert im Zeitbereich auf die elementare Funktion co(t zrückführt, diee Funktion dann tranformiert und die gefundene Funktion im Bildbereich 2 Wir verwenden F (tg (tdt F (tg(t mit F (t t f(udu und G(t e t. F (tg(tdt

11 entprechend anpat, antelle von direkter Tranformation der Funktion co(ωt in den Bildbereich Dämpfung. Die Eigenchaft wird dargetellt al ( e at f(t F ( + a f(t F ( e at e at f(t +a F ( + a Zeitverchiebung. Die Eigenchaft (H(t af(t a e a F ( wird dargetellt al H(tf(t F ( t t a H(t af(t a e a e a F ( Ableitung Zeitbereich. Die Eigenchaft ( df dt (t F ( f( wird dargetellt al f(t F ( d dt f (t F ( f( Ableitung Bildbereich. Die Eigenchaft df ( ( tf(t d wird dargetellt al f(t F ( ( t tf(t d d F ( Integral Zeitbereich. Die Eigenchaft ( t f(udu wird dargetellt al f(t F ( F ( t f(udu F (

12 4..7. Kombination von Diagrammen. Wir illutrieren an zwei Beipielen. (i Wir kombinieren die Diagramme der Eigenchaften Ähnlichkeit und Dämpfung um ( e 3t in(ωt zu betimmen. t ωt in(t in(ωt ω 2 + ( ω 2 + e 3t e 3t in(ωt Au dieem Diagramm folgt ( e 3t in(ωt ω ( +3 ω ω ( +3 ω ω ( ω 2. (ii Wir kombinieren da Diagramm der Eigenchaft Ableitung im Zeitbereich mit ich elbt um (f (t zu betimmen. f(t F ( d dt f (t F ( f( d dt f (t ( F ( f( f ( d dt f (t ( ( F ( f( f ( f ( Au dieem Diagramm folgt ( f (t ( ( F ( f( f ( f ( 3 F ( 2 f( f ( f ( Stückweie definierte Funtionen. Wie bereit geehen laen ich tückweie definierte Funktionen mittel der Heaviidefunktion auf eine Zeile umchreiben. Wir illutrieren die Tranformation einer tückweie definierten Funktion und die darin enthaltene Anwendung de Diagramme der Zeitverchiebung am Beipiel: f(t Umgechrieben mittel Fenterfunktionen: t <, t 2 t <, t. f(t (H(t H(t t 2 H(tt 2 H(t t 2. 2

13 Der erte Term kann direkt tranformiert werden: ( H(tt 2 ( t Für den zweiten Term verwenden wir da Diagramm der Zeitverchiebung: H(t(t + 2 H(t(t 2 + 2t Somit haben wir t t e H(t t 2 e ( Periodiche Funktionen. (f(t 2 3 e ( Theorem 4.9 (Periodiche Funktionen. Sei gegeben, o da für eine Kontante T >. Dann gilt (f(t f : [, R t f(t f(t + T f(t e T T f(te t dt. Für den Bewei leiten wir zuert einen Audruck für die geometriche Reihe her. Eine (endliche geometriche Reihe it gegeben durch N x n + x + x 2 + x x N. n Multiplizieren wir diee Gleichung mit x, o erhalten wir N x x n x + x 2 + x 3 + x x N+. n Die Differenz dieer beiden Gleichungen it N ( x x n x N+. n Au dieer Gleichung ergibt ich der folgende Audruck für die endliche geometriche Reihe: N x n xn+ x. n Sei nun x <. Wir betrachten den Grenzwert N. Mit lim N x N+ ergibt ich der folgende Audruck für die geometriche Reihe: x n x. n 3

14 Bewei der obigen Eigenchaft der aplacetranformation für periodiche Funktionen: Wir haben (f(t n f(te t dt (n+t nt f(te t dt, wobei wir für die zweite Zeile den Integrationbereich [, in Intervalle der änge T unterteilt haben. Die Subtitution u t nt führt auf (n+t T f(te t dt f(u + nt e (u+nt du n nt n T n f(ue (u+nt dt T e nt f(ue u du n wobei wir für die zweite Zeile verwendet haben da f(t periodich it, i.e. da gilt f(t + T f(t. Die Summe vor dem Integral lät ich chreiben al e nt ( e T n n n e T, wobei wir für die zweite Zeile den Audruck für die geometriche Reihe mit x e T < verwendet haben. Mit dieem Audruck für die Summe vor dem Integral folgt die Eigenchaft der aplacetranformation für periodiche Funktionen. Al Anwendungbeipiel betrachten wir die Funktion { t < a, f(x a t < 2a, periodich fortgeetzt durch f(t + 2a f(t. a f(t t Die aplacetranformation it gegeben durch (f(t e T e 2a e 2a T f(te t dt ( a e t dt + a ( ( e t a 4 2a e t ( e t dt 2a a

15 ( 2e a ( e 2a + e 2a e a ( + e a Partialbruchzerlegung. Al Vorbereitung auf die Rücktranformation von gebrochenrationalen Funktionen rekapitulieren wir die Partialbruchzerlegung. Sei eine gebrochen rationale Funktion gegeben. Da Vorgehen der Partialbruchzerlegung it wie folgt: (i It die gegebene gebrochenrationale Funktion nicht echt gebrochen rational, wird ie in eine olche durch Polynomdiviion überführt. (ii Die Nulltellen de Nenner werden betimmt. (iii Nach folgender Vorchrift wird ein Anatz gemacht: Nulltelle(n x, einfach x, n-fach x und x (komplex einfach x und x (komplex n-fach Term(e in Anatz A x x A x x + A 2 A+Bx x 2 +px+q, (x x An (x x n wobei x 2 + px + q (x x (x x A +B x x 2 +px+q + A +B x A +B x, (x 2 +px+q 2 (x 2 +px+q n wobei x 2 + px + q (x x (x x (iv Die auftretenden Kontanten werden durch Koeffizientenvergleich betimmt. (v Einetzen der Kontanten in den Anatz ergibt die Partialbruchzerlegung. Wir illutrieren an Beipielen: (i Sei f(x x x 2. Die Funktion it echt gebrochen rational. Die Nulltellen de Nenner ind x, x 2. Der Anatz lautet x x 2 Multiplikation mit x 2 ergibt A x + B x +. x A(x + + B(x. Koeffizientenvergleich führt auf da Gleichungytem { A + B Die öung davon it A B (ii Sei A 2, B 2. Somit it die Partialbruchzerlegung f(x x x 2 2(x + 2(x +. f(x x 2 x 2 2x +. 5

16 (iii Sei Polynomdiviion ergibt f(x + 2x x 2 2x +. Der Nenner de echt gebrochen rationalen Ret beitzt die doppelte Nulltelle x. Somit it der Anatz 2x x 2 2x + Multiplikation mit x 2 2x + ergibt A x + 2x A(x + B. Koeffizientenvergleich führt auf { 2 A Die öung davon it A + B A 2, B. Somit it die Partialbruchzerlegung B (x 2. f(x + 2 x + (x 2. f(x 5x2 + 2x + x 3. + x Die Funktion it echt gebrochen rational, die Nulltellen de Nenner ind x, x 2 j, x 3 j. Somit lautet der Anatz 5x 2 + 2x + x 3 + x Multiplikation mit x 3 + x ergibt 5 A + C 2 B A Die öung davon it A x + B + Cx (x 2 +. A, B 2, C 4. Somit it die Partialbruchzerlegung 5x 2 + 2x + x 3 + x x x x Invere aplacetranformation. Die invere aplacetranformation bechreibt die Tranformation einer gegebenen Funktion F ( im Bildbereich zurück auf die Funktion f(t im Originalbereich, o da (f(t F (. In Anlehnung an die Notation für invere Funktionen verwendet man dazu die Notation oder (F ( f(t F ( f(t. 6

17 Prinzipiell it die invere Tranformation direkt möglich. In der Praxi wird die invere Tranformation aber durch Tabellen betimmt. Beipielweie folgt au da I.e. t t 2, Ein weitere Beipiel it ( 2 3 t 2. ( 2 in(t Rücktranformation von gebrochen rationalen Funktionen. Wie wir päter ehen werden liefern Bechreibungen von dynamichen Sytemen oft eine gebrochen rationale Funktion im Bildbereich. Die Rücktranformation dieer Funktionen in den Originalbereich erfolgt durch Partialbruchzerlegung der gebrochen rationalen Funktion und Rücktranformation der erhaltenen Partialbrüche. etztere gechieht an Hand von gegebenen Tranformationen von elementaren Funktionen und Eigenchaften der aplacetranformation. Beipiel: Sei F ( ( 2 2. Die Nulltellen de Nenner ind omit,2 und 3,4 2 (jeweil doppelt. Der Anatz für die Partialbruchzerlegung lautet ( 2 2 A + B 2 + C 2 + D ( 2 2. Multiplikation mit 2 ( 2 2 führt auf A( B( C 2 ( 2 + D 2 und Koeffizientenvergleich führt auf A + C 2 4A + B 2C + D Die öung davon it und die Partialbruchzerlegung it 4 4A 4B 4 4B A, B, C, D 3 F ( ( ( 2 2. Nun führen wir die Rücktranformation gliedweie durch: ( ( ( 2 t, e 2t, 3 2 ( te 2t,

18 wobei wir für den dritten Term die Eigenchaft der Dämpfung verwendet haben: Somit finden wir e 2t te 2t t ( f(t (F ( t + e 2t + 3te 2t. Wir illutrieren da Vorgehen an weiteren Beipielen (die Bildfunktionen der erten drei Beipiele entprechen den beprochenen Beipielen im Teilabchnitt Partialbruchzerlegung: (i Sei F ( 2. Die Partialbruchzerlegung it F ( 2 2( + 2( +. (ii Sei Die invere aplacetranformation it f(t (F ( ( 2 + ( et + 2 e t. F ( Die Partialbruchzerlegung it F ( Die invere aplacetranformation it ( 2. f(t (F ( ( + 2 ( δ(t + 2e t + te t. + ( ( 2 Für die Rücktranformation de erten Terme verweien wir auf den päter folgenden Teilabchnitt zur Deltafunktion. Für den dritten Term verwenden wir die Eigenchaft der Dämpfung te t ( 2 (iii Sei e t t 2 + F (

19 (iv Sei Die Partialbruchzerlegung it F ( Die invere aplacetranformation it f(t (F ( ( ( ( + 2 in(t + 4 co(t. + 2 ( 2 + ( F ( Der Nenner beitzt nur komplexe Nulltellen, omit it dieer Audruck bereit ein Partialbruch. Quadratiche Ergänzen liefert und wir chreiben ( F ( ( Die Kombination der Diagramme der Ähnlichkeit und Dämpfung liefert in(t 2 + (v Sei t 2t in(2t e 3t e 3t in(2t 2 ( ( Somit it die invere aplacetranformation f(t (F ( e 3t in(2t. F ( e Die Kombination der Diagramme der Ähnlichkeit und Verchiebung liefert H(t 2 3 in(t t 3t H(t 2 3 in(3t t t ( e 2 H(t in(3t 6 e

20 Bemerkung: Im Diagramm der Ähnlichkeit haben wir verwendet da H(t H(3t Somit it die invere aplacetranformation f(t (F ( H(t 2 2 in(3t Differentialgleichungen. Da Vorgehen beim öen von Differentialgleichungen mittel aplacetranformation it da folgende: (i Tranformation der Differentialgleichung in den Bildbereich. Bereit hier werden die Anfangbedingungen de Problem berückichtigt (iehe die Eigenchaft Ableitung Zeitbereich. (ii öen de Problem im Bildbereich. Hierbei handelt e ich um die öung einer algebraichen Gleichung (oder eine Gleichungytem. (iii Rücktranformation in den Originalbereich. Meit it dieer Schritt der aufwendigte. Jedoch können wichtige Informationen über die öung (zum Beipiel aymptotiche Verhalten,... bereit au der öung im Bildbereich gewonnen werden und die Rücktranformation it in vielen Fällen nicht nötig. Wir illutrieren an Beipielen: (i Sei da folgende Anfangwertproblem gegeben: y (t + y(t y( y ( In einem erten Schritt tranformieren wir die Differentialgleichung. Dazu werden alle Terme einzeln tranformiert. Wir haben (y(t Y (, ( y (t Y ( y( Y (, ( y (t (Y ( y ( 2 Y ( und die Differentialgleichung wird zu 2 Y ( + Y (. Wie oben erwähnt tecken in dieer Gleichung bereit die Anfangbedingungen (die im Gegenatz zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichung wo meiten zuert eine allgemeine öung geucht wird und danach eine partikuläre öung mittel der Anfangbedingungen betimmt wird. Die öung dieer algebraichen Gleichung it Y ( 2 +. Die Rücktranformation it elementar durchführbar und liefert y(t (Y ( co(t. (ii Sei da folgende Anfangwertproblem gegeben: y (t 6y (t + 9y(t t 2 e 3t y( 2 y ( 6 2

21 Wir haben (y(t Y (, ( y (t Y ( y( Y ( 2, ( y (t (Y ( 2 y ( 2 Y ( 2 6, ( t 2 e 3t 2 ( 3 3, wobei wir für die letzte Zeile da Diagramm der Dämpfungeigenchaft verwendet haben: e 3t t 2 e 3t 2 ( 3 3 t Die Differentialgleichung wird omit zu Darau folgt +3 2 Y ( 2 6 6Y ( Y ( Y ( 2 ( ( 3 3. (der Audruck auf der rechten Seite wird nicht auf einen Bruch gebracht, da dieer Schritt durch eine Partialbruchzerlegung rückgängig gemacht werden müte. Wir haben ( e 3t, t4 e 3t ( 3 ( 3 5 wobei wir für den zweiten Term da Diagramm der Eigenchaft der Dämpfungeigenchaft verwendet haben: 4!, t 4 e 3t 4! ( 3 5 Somit folgt e 3t t 4 4! 5 y(t (Y ( +3 (2 + 2t4 e 3t. 4! 4.8. Syteme von Differentialgleichungen. Da Vorgehen beim öen von Differentialgleichungytemen it anaolg zum Vorgehen bei nur einer Gleichung. Wir illutrieren am Beipiel da Anfangwertproblem: x (t + 2y (t + x(t y(t in(t 2x (t + 3y (t + x(t y(t e t x( y( 2

22 Die Tranformation in den Bildbereich it (für überichtlichere Dartellung laen wir da Argument de Bildbereich bei den Funktionen X(, Y ( weg In Matrixdartellung: Wir haben Darau folgt X + 2Y + X Y 2 + 2X + 3Y + X Y ( ( + 2 X Y }{{} A A (2 ( ( X A Y 2 + ( 2 + ( 3 (2 (2 + + (2 ( Wir laen die weitere Betrachtung der Funktion Y ( weg und vereinfachen den Audruck für X(. Wir haben X( (3 ( (2 (2 + (2 ( 2 + ( Rücktranformation ergibt x(t (X( e t + e 2t + co(t + in(t. Die Rechnungen zur Betimmung von y(t ind analog. Die obigen Rechnungen ind aufwendig und für groe Syteme numerich durchzuführen. Da obige Beipiel illutriert aber da e bei der Anwendung der aplacetranformation zur öung von Differentialgleichungen keine prinzipiellen Unterchiede zwichen der Betrachtung von Sytemen oder einzelnen Gleichungen gibt Deltafunktion. Wir betrachten die Funktion f a (t ( H(t + a H(t a, a >. 2a /(2a f a (t a a t Unabhängig von a gilt f a (tdt. 22

23 Formal it die Deltafunktion definiert durch δ(t lim a f a (t. E gilt δ(t für t, jedoch kann dem Argument t kein Funktionwert zugeordnet werden. E handelt ich alo bei der Deltafunktion nicht um eine Funktion im üblichen Sinn. Die obige Integraleigenchaft von f a (t überträgt ich auf den Grenzwert, i.e. auf die Deltafunktion: δ(tdt. Für die verchobene Deltafunktion δ(t b gilt δ(t b für t b. Weiter gilt die wichtige Eigenchaft: Theorem 4. (Fundamentale Eigenchaft Deltafunktion. Sei f(t eine gegebene Funktion und ei δ(t die Deltafunktion. Dann gilt f(tδ(t bdt f(b. Heuritiche Herleitung: Wir haben f(tδ(t b für t b. Somit verchwindet der Integrand für t b und wir können den Integrationbereich auf ein Intervall [b ε, b + ε] einchränken, wobei wir ε > beliebig klein wählen können: f(tδ(t bdt b+ε b ε f(tδ(t bdt Somit it für die Berechnung de Integral die Funktion f(t nur im Intervall [b ε, b+ε] magebend. Diee Intervall können wir aber beliebig klein wählen (indem wir ε beliebig klein wählen und omit it f(t nur an der Stelle t b relevant, i.e. man kann f(t f(b etzen, i.e. f(t al kontant betrachten und vor da Integral chreiben: b+ε b ε f(tδ(t bdt f(b b+ε b ε δ(t bdt. Da verbleibende Integral it gleich Ein und omit folgt da Reultat. Theorem 4. (aplacetranformation Deltafunktion. Bewei: (δ(t (δ(t. δ(te t dt H(, H(tδ(te t dt wobei wir für die dritte Zeile die fundamentale Eigenchaft der Deltafunktion verwendet haben. Au der Eigenchaft Zeitverchiebung folgt (δ(t b e b. Beipiel: Wir uchen die Rücktranformation von F (

24 Polynomdiviion liefert F ( und die Rücktranformation it ( 4 f(t (F ( ( δ(t 2 in(2t. Bemerkungen: (i Wir wien δ(t H(t Zwichen den Funktionen im Bildbereich gibt e einen Faktor. aut dem Diagramm für die Integration Zeitbereich entpricht dieer Faktor im Originalbereich einer Integration: δ(t t δ(udu In dieem Sinn entpricht die Deltafunktion der Ableitung der Heaviidefunktion. (ii Wir betrachten die zwei Anfangwertprobleme: y + y y + y v δ(t y( y( y ( v y ( Phyikalich entprechen die Differentialgleichungen beipielweie einem ungedämpften Ozillator, einmal mit Anfanggechwindigkeit v, einmal ohne Anfanggechwindigkeit aber mit einwirkender externer Kraft der Form v δ(t. Die aplacetranformation liefert für beide Anfangwertprobleme die folgende Gleichung im Bildbereich für Y (: Y ( v 2 +, i.e. die aplacetranformationen timmen überein. Somit verhalten ich die Syteme phyikalich gleich. Da heit da der Audruck v δ(t einer infiniteimal kurzen, jedoch unendlich groen Krafteinwirkung entpricht, welche auf den Ozillator einen Impul von v überträgt Faltung. Oft tellt ich bei der Rücktranformation vom Bild- in den Orignalbereich die Aufgabe der Rücktranformation einer Funktion F ( F (F 2 (, i.e. eine Produkt, wobei die Rücktranformation der einzelnen Faktoren bekannt it, i.e. man kennt f (t (F ( und f 2 (t (F 2 (. Nun it die Rücktranformation de Produkte F (F 2 ( nicht gegeben al Produkt der Rücktranformationen. Jedoch gilt (F (F 2 ( (f f 2 (t. 24

25 In dieer Gleichung it (f f 2 (t da Faltungprodukt der beiden Funktionen f (t, f 2 (t. Diee it definiert al (f f 2 (t Da Faltungprodukt it (i kommutativ: (ii aoziativ: (iii ditributiv: t f (uf 2 (t udu, für t. f f 2 f 2 f, (f f 2 f 3 f (f 2 f 3, f (f 2 + f 3 f f 2 + f f 3. Al Beipiel betimmen wir die Faltung von e at und e bt : e at e bt t e au e b(t u du t e bt e (a bu du e bt e(a bu a b eat e bt a b. Die obige Eigenchaft der Rücktranformation eine Produkte formulieren wir in der Form: Theorem 4.2 (Faltungatz. Seien f (t, f 2 (t gegebene Funktionen. E gilt Al Diagramm H(tf (t (f f 2 (f (f 2. (f f 2 (t t H(tf 2 (t F ( F ( F 2 ( F 2 ( Al Anwendungbeipiel betimmen wir die Rücktranformation der Funktion F ( ( }{{}}{{} F ( F 2 ( mit dem Faltungatz. Wir haben ( f (t (F ( 2 in(t, + ( f 2 (t (F 2 (. Somit it die Rücktranformation de Produkt f(t (F ( (F (F 2 ( (f f 2 (t 25

26 Die Faltung mit der Deltafunktion it (f δ(t t t f(t, t t f(tδ(u tdu f(tδ(t udu f (uf 2 (t udu in(udu co(t +, wobei wir für die zweite Zeile verwendet haben da die Deltafunktion ymmetriche it, i.e. δ(t δ( t. Somit gilt f δ δ f f und in dieem Sinn it die Deltafunktion die Identität de Faltungprodukt Tranferfunktion TI-Syteme. Sei u(t eine gegebene Funktion und ei n > m. Wir betrachten eine Differentialgleichung für die Funktion y(t der Form a n y (n (t + a n y (n (t a y (t + a y(t b m u (m (t + b m u (m (t b u (t + b u(t, wobei a i, b j gegebene Kontanten ind. Diee Differentialgleichung bechreibt ein lineare, zeitinvariante Sytem, ein ogenannte TI-Sytem 3. Schematich dargetellt (Blockdiagramm: u(t TI-Sytem y(t In dieem Zuammenhang nennt man u(t die Einganggröe oder da Eingangignal und y(t die Auganggröe oder da Augangignal. Wegen der inearität de Sytem gilt da Superpoitionprinzip: Sei beipielweie y (t da Augangignal zum Eingangignal u (t und y 2 (t da Augangignal zum Eingangignal u 2 (t, dann it y (t + y 2 (t da Augangignal zum Eingangignal u (t + u 2 (t. Die aplacetranformation der obigen Differentialgleichung, unter der Annahme da alle Anfangbedingungen für y(t verchwinden, i.e y( y ( y (... y (n (, liefert ( an n + a n n a + a Y ( ( bm m + b m m b + b U(. Darau folgt Y ( b m m + b m m b + b a n n + a n n a + a U(. 3 TI: Au dem englichen: linear-time-invariant. 26

27 Die Funktion G( Y ( U( b m m + b m m b + b a n n + a n n a + a heit Tranferfunktion (oder Übertragungfunktion de Sytem. Bemerkungen: (i G( bechreibt die (multiplikative Beziehung zwichen dem Eingang- und Augangignal im Bildbereich: Y ( G(U( oder chematich (Blockdiagramm: U( G( Y ( (ii G( it echt gebrochen rational. (iii G( hängt nur vom Sytem, aber nicht vom Eingang u(t oder Augang y(t ab. (iv G( bechreibt da Verhalten de Sytem volltändig. Somit it die Kenntni der Tranferfunktion äquivalent zur Kenntni der Differentialgleichung de Sytem. Al Beipiel betrachten wir da RC-Glied: i(t u R (t u(t R C y(t Da Kirchhoffche Geetz zuammen mit i(t C dy dt (t ergibt die Differentialgleichung RCy (t + y(t u(t. Die aplacetranformation davon it RCY ( + Y ( U( und omit folgt Y ( RC + U(. Die Tranferfunktion it omit G( RC +. Wir ehen an dieem Beipiel exemplarich wie die phyikalichen Gröen wie Widertand R und Kapazität C de RC-Glied in der Tranferfunktion auftreten Schrittantwort. Sei u(t H(t (Heaviidefunktion. Da zugehörige Augangignal y(t heit Schrittantwort de Sytem. Mit u(t H(t folgt U( (u(t (H(t und die Tranferfunktion it G( Y ( Y (. U( 27

28 Mit dem Diagramm der Ableitung im Zeitbereich y(t Y ( folgt d dt y (t Y ( y( G( ( y (t + y(. Diee Gleichung it von Bedeutung im Zuammenhang mit der folgenden praktichen Anwendung: An einem (unbekannten Sytem wird al Eingangignal eine Schrittfunktion H(t angelegt. Der Augang de Sytem wird gemeen, die it die Schrittantwort. Einetzen der Ableitung der gemeenen Schrittantwort in die obige Gleichung liefert die Tranferfunktion und omit die komplette Bechreibung de dynamichen Sytem Impulantwort. Sei u(t δ(t (Deltafunktion. Da zugehörige Augangignal y(t heit Impulantwort de Sytem. Mit u(t δ(t folgt und die Tranferfunktion it i.e. U( (u(t (δ(t G( Y ( U( Y (, G( (y(t. Die Bedeutung dieer Gleichung it analog zur Bedeutung im Zuammenhang mit der Schrittantwort, jedoch wird nun dem Sytem ein Impul (Deltafunktion al Eingangignal gegeben Grenzwerte. Oft intereiert vom Augangignal y(t eine dynamichen Sytem nur der Wert für t (Initialantwort oder der Wert für t (aymptotiche Verhalten. Zur Betimmung dieer Werte haben wir: Theorem 4.3 (Grenzwerte. Seien f(t, F ( Funktionen o da F ( (f(t. E gilt lim f(t lim F (, t F (, lim t f(t lim fall die auftretenden Grenzwerte exitieren. Der Wert lim t f(t wird al Anfangwert und der Wert lim t f(t wird al Endwert bezeichnet. Beipiele: (i Sei Der Anfangwert beträgt F ( (f(t 2 + a 2. lim f(t lim F ( t 2 lim 2 + a 2. 28

29 Wir überprüfen dieen Wert anhand der Funktion im Originalbereich: ( f(t (F ( 2 + a 2 co(at, e gilt in der Tat lim t f(t. (ii Sei Der Endwert beträgt F ( ( + 4. lim f(t lim F ( t lim Wir überprüfen dieen Wert anhand der Funktion im Originalbereich: ( f(t (F ( 3 + 2e 4t, ( + 4 e gilt in der Tat lim t f(t 3. (iii Sei F ( 2 +. Wir haben lim F ( lim 2 +. Jedoch entpricht die nicht dem Endwert, da der Grenzwert ( lim f(t lim t t 2 lim in(t + t nicht exitiert Stationäre Vertärkung. Die tationäre Vertärkung eine Sytem it der aymptotiche Wert der Schrittantwort. I.e. da Eingangignal it u(t H(t und die tationäre Vertärkung it lim y(t. t Von der Betrachtung der Schrittantwort wien wir Y ( G(U( G(. Somit it die tationäre Vertärkung lim y(t lim Y ( t lim G(, fall diee Grenzwerte exitieren. Die tationäre Vertärkung folgt alo direkt au der Tranferfunktion. Beipielweie it die tationäre Vertärkung für ein Sytem mit Tranferfunktion gleich 2. G( 2(

30 4.26. Kombination von Tranferfunktionen. Die folgenden Betrachtungen werden anhand von Blockdiagrammen durchgeführt. Für ein einfache Sytem mit Tranferfunktion G( it da entprechende Diagramm: U( G( Y ( Serie. Für ein Sytem der Form haben wir U( V ( Y ( G ( G 2 ( V ( G (U(, Y ( G 2 (V ( G 2 (G (U(. Somit it die Tranferfunktion de kombinierten Sytem Parallel. Für ein Sytem der Form haben wir G( G (G 2 (. U( + Y ( G ( + G 2 ( Y ( G (U( + G 2 (U( (G ( + G 2 (U(. Somit it die Tranferfunktion de kombinierten Sytem G( G ( + G 2 ( Mit Rückführung. Für ein Sytem der Form haben wir Au der letzten Gleichung folgt U( + V ( Y ( G ( G 2 ( V ( U( G 2 (Y ( Y ( G (V ( G ( ( U( G 2 (Y ( G (U( G (G 2 (Y (. Y ( G (U( + G (G 2 ( Somit it die Tranferfunktion de kombinierten Sytem G( G ( + G (G 2 (. 3

31 Für den Spezialfall de Sytem U( + G ( Y ( folgt G( G ( + G ( Stabilität. Wir betrachten den Augang y(t eine Sytem mit Eingang u(t. Da Verhalten eine Sytem unter dieer Bedingung heit Eigenverhalten de Sytem. Weiter heit da Sytem (i aymptotich tabil, wenn für alle Anfangwerte y(, (ii bedingt tabil, wenn lim y(t t y(t C für alle t und alle Anfangwerte y(, (iii intabil, wenn lim y(t t für mindeten einen Anfangwert y( Stabilitätkriterium TI-Sytem. E gilt: Da Eigenverhalten (und omit die Stabilität eine Sytem wird betimmt durch den Nenner der Tranferfunktion und die Anfangbedingungen. Wir illutrieren die am Beipiel de Sytem Die Tranferfunktion it y (t + y(t u (t + u(t. G( Mit u(t (und omit auch u (t it da Sytem aplacetranformation liefert y (t + y(t. 2 Y ( y( y ( + Y (. Mit den Anfangbedingungen y ( y, y( v it die öung im Bildbereich gegeben durch Y ( 2 + (v + y. Der erte Term beinhaltet nur den Nenner der Tranferfunktion G( und der zweite Term beinhaltet nur die Anfangbedingungen y(, y ( de Sytem. Zur Betimmung von y(t wird der obige Audruck (betehend au dem Nenner der Tranferfunktion und den Anfangbedingungen in Partialbrüche zerlegt und gliedweie rücktranformiert. Für die Partialbrüche it alleine der Nenner der Tranferfunktion entcheidend. 3

32 Für die weiteren Unteruchungen betrachten wir eine allgemeine Tranferfunktion eine TI-Sytem: G( b m m + b m m b + b a n n + a n n a + a. Zur Betimmung der oben erwähnten Partialbrüche müen die Nulltellen de Nenner betimmt werden. Die Nulltellen de Nenner ind gegeben al öungen der charakteritichen Gleichung: a n n + a n n a + a. Jede öung dieer Gleichung führt zu einem Partialbruch und dieer Partialbruch führt wiederum zu einem Term in y(t. Im folgenden unteruchen wir die möglichen Fälle. Wir nennen die Nulltelle (entpricht einer Poltelle der Tranferfunktion jeweil p. (i p entpricht einem Partialbruch der Form A. Im Zeitbereich entpricht die einem Term der Form y(t A. (ii p λ, λ > entpricht einem Partialbruch der Form A λ. Im Zeitbereich entpricht die einem Term der Form y(t Ae λt. (iii p λ < entpricht einem Partialbruch der Form A +λ. Im Zeitbereich entpricht die einem Term der Form y(t Ae λt. (iv p ± ±jω entpricht einem Partialbruch der Form A+B. Im Zeitbereich entpricht die einem Term der Form y(t C in(ωt + ϕ, für zwei Kontanten 2 +ω 2 C, ϕ. (v p ± λ ± jω entpricht einem Partialbruch der Form A+B ( λ 2 +ω 2. Im Zeitbereich entpricht die einem Term der Form y(t Ce λt in(ωt + ϕ, für zwei Kontanten C, ϕ. (vi p ± λ ± jω entpricht einem Partialbruch der Form A+B (+λ 2 +ω 2. Im Zeitbereich entpricht die einem Term der Form y(t Ce λt in(ωt + ϕ, für zwei Kontanten C, ϕ. Wir ehen: (i Re(p führt auf einen zeitlich kontanten Anteil. (ii Re(p > führt auf einen zeitlich wachenden Anteil. (iii Re(p < führt auf einen zeitlich fallenden Anteil. Die Erkenntnie diee Teilabchnitt führen auf: Theorem 4.4 (Stabilitätkriterium. Ein TI-Sytem it genau dann aymptotich tabil, wenn alle Poltellen der Tranferfunktion negativen Realteil beitzen. 32

33 5. Übungen zu aplacetranformation Übung Aufgrund der Definition betimme man die aplacetranformation von f(t in(t und g(t co(t. Man verwende zweifache partielle Integration. Übung 2 Unter Verwendung der Definition der aplacetranformation betimme man (i ( e kt (ii (coh(2t (iii (3 + t (iv ( t 2 (v ( te t Hinwei zu (ii: coh(x (e x + e x /2 Übung 3 Unter Benutzung der Definition der aplacetranformation betimme man die Tranformation de Rechteckimpule t a f(t a < t b t > b Übung 4 (i Man benutze die Identität in 2 (x 2 ( co(2t um die Bildfunktion von in 2 (t zu betimmen. (ii Man betimme ( co 2 (t mit Hilfe der Pythagoraidentiät der Trigonometrie. Übung 5 Man betimme die folgenden aplacetranformationen: (Hinwei: Man verwende die Eigenchaften Ähnlichkeit und Dämpfung und verwende bekannte aplacetranformationen von Elementarfunktionen (i ( ( + t 2 (ii (co(4t (iii ( e t (t 2 + (iv ( (3t 5 (v ( e λt (vi ( e at co(ωt (vii ( e at in(ωt (viii ( Ae δt in(ωt Man chreibe die Funktion Übung 6 f(t (H(t H(t 54t + H(t 2t 2 + H(t 4 t3 4 al tückweie definierte Funktion. 33

34 Übung 7 Man verwende die Verchiebungeigenchaft und berechne die aplacetranformation von { t t t t f(t t < t wobei t >. Übung 8 Man verwende die Verchiebungeigenchaft und berechne die aplacetranformationen von (i f(t H(t 4(t 4 2 (ii f(t H(t T e t T (iii f(t H(t 3e t Übung 9 Von den Funktionen f(t t 2, f (t 2t ind die Anfangwerte f(, f ( bekannt. Sei F ( die Bildfunktion von f(t. Man berechne unter der Verwendung der Eigenchaft Ableitung im Originalbereich die aplacetranformation der Funktionen f (t und f (t. Übung Man löe da Anfangwertproblem y (t + 2y (t + y(t 9e 2t, y(, y (. Hinwei: Die Bildfunktion kann gechrieben werden al Y ( + 2 ( Übung Man löe da Anfangwertproblem {y (t 3y(t te t, y(. Übung 2 Augehend von ( e at a oll durch Anwendung der Eigenchaft Ableitung im Bildbereich (zwei mal angewendet die Bildunktion für f(t t 2 e at betimmt werden. Übung 3 34

35 Augehend von (in(t oll durch Anwendung der Eigenchaft Integration im Zeitbereich (zweimal angewendet die Rücktranformation von F ( 2 + ( betimmt werden. Übung 4 Man betimme die aplacetranformation der folgenden Funktionen (i f(t e 2t co(5t H(t 2 (ii g(t e 2t+4 co(5t H(t 2 Sei f(t Übung 5 { t t, t >. (i Man chreibe f(t mit Hilfe der Heaviidefunktion und zeige da (f(t 2 ( e e. (ii Unter der Vorauetzung x( betimme man die öung der Differentialgleichung für t. x (t + x(t f(t Übung 6 Man telle die folgenden Funktionen grafich dar, drücke ie durch Heaviidefunktionen au und betimme ihre aplacetranformationen: 3t 2 t < 4, t t <, f(t 2t 3 4 t < 6,, g(t 2 t t < 2, 5 t > 6. t > 2. Übung 7 Man betimme die Rücktranformationen der Funktionen (i (+3(+7 (ii +5 (iii (+( 3 2 (+3 (iv (v 2 ( 2 +6 (vi (vii 2 ( (viii ( ( (ix (x (xi (xii e ( ( 2( Übung 8 35

36 Man löe da Anfangwertproblem x (t x(t + y(t + e t, y (t x(t + y(t + e t, x( y(. Haltepunkt zur Überprüfung: Die Bildfunktionen X(, Y ( chreiben ich al 2 X( ( ( 2 2, Y ( ( ( 2 2. Übung 9 Man zeige da die aplacetranformation der (periodichen Sägezahnfunktion f(t: A f(t a 2a 3a 4a t gegeben it durch (f(t A( + a ea a 2 ( e a. 36

37 6. öungen zu den Übungen Wir haben öung zu Übung (in(t in(te t dt. Durch partielle Integration folgt in(te t dt in(t ( e t + co(te t dt co(te t dt. }{{} Für da auftretende Integral auf der rechten Seite verwenden wir nochmal partielle Integration: co(te t dt ( co(t e t }{{} 2 2 in(te t dt. Die eingeetzt in der obigen Gleichung eingeetzt ergibt in(te t dt 2 2 in(te t dt. Diee Gleichung lät ich nach in(te t dt auflöen: i.e. Analog findet man in(te t dt , (in(t 2 +. (co(t 2 +. in(te t dt öung zu Übung 2 (i (ii (iii 3+ 2 k 2 4 (iv 2 3 (v (+ 2 (f(t (e a e b öung zu Übung 3 öung zu Übung 4 37

38 (i ( in 2 (t ( ( co(2t 2 (ii 2 ( 2 (co(2t , ( wobei wir von der zweiten auf die dritte Zeile die Ähnlichkeiteigenchaft verwendet haben. ( co 2 (t ( ( in 2 (t ( ( in 2 (t öung zu Übung 5 (i ( ( + t (ii (co(4t 2 +6 (iii ( e t (t (+ 3 (iv ( (3t (v ( e λt λ (vi ( e at co(ωt (vii ( e at in(ωt (viii ( Ae δt in(ωt a ( a 2 +ω 2 ω ( a 2 +ω 2 Aω (+δ 2 +ω 2 f(t öung zu Übung 6 t < 4t t < 2 4t + t 2 2 t < 4 4t + t t3 4 t < 5 t t3 5 t (f(t e t 2 öung zu Übung 7 öung zu Übung 8 (i 2 3 e 4 (ii e T 38

39 (iii Wir haben f(t e 3 H(t 3e (t 3. Somit (f(t e 3 (H(t 3e (t 3 3 e 3 e + e 3(+ +, wobei wir für die zweite Gleichung den Verchiebungatz verwendet haben. (2t 2 2, (2 2. öung zu Übung 9 y(t (2t + e t + e 2t. öung zu Übung öung zu Übung y(t 4 (2t + et e3t ( t 2 e at 2 ( a 3. öung zu Übung 2 ( ( t in(t. öung zu Übung 3 öung zu Übung 4 (i (f(t (+2e (ii (g(t (+2e öung zu Übung 5 (i f(t (H(t H(t t. (f(t findet man durch da Diagramm der Verchiebung. (ii x(t t + e t H(t (t. öung zu Übung 6 (f(t 6 e 4 ( e 6 ( 4 + 2, (g(t 2 e + e öung zu Übung 7 39

40 (i 4 e 3t 4 e 7t (ii 2e 3t e t (iii 3 t 4 9 e 3t (iv 2 co(2t + 3 in(2t (v 6 t 64 in(4t (vi (co(t + 6 in(te 2t (vii 6 (co(2t + 2 in(2te 2t + 8 t + 6 (viii 2te t e t + e t (ix (co(2t + 3 in(2te t (x 2 e3t 3e 2t + 2 et (xi 2 in(t/2 (xii H(t co(t öung zu Übung 8 x(t 2 inh( 2t 2 coh( 2t + e t, y(t 3 2 inh( 2t + 4 coh( 2t 3e t, wobei inh(x (e x e x /2, coh(x (e x + e x /2 öung zu Übung 9 Die Funktion kann im Intervall t [, a gechrieben werden al f(t A a t. Somit it die Tranformation gegeben durch a (f(t e a te t dt. Da Reultat folgt durch partielle Integration. 4