Laplace-Transformation

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1 8 Laplace-Tranformation 8. Baic Die Fourier-Tranformation in allen ihren Formen (Kapitel 5 7 it ein mächtige analytiche Werkzeug unter anderem in den folgenden Bereichen: Partielle Differentialgleichungen: allgemeine Theorie, analytiche Dartellung der Löungen von betimmten PDE. Signaltechnik: Analye von periodichen und aperiodichen Zeitignalen, deren Filterung, Verdichtung, Speicherung, uw., und natürlich die zugehörige Theorie. Bildverarbeitung: intantane Verarbeitung und Viualiierung von rieigen Datenmengen dank FFT, zum Beipiel in der Strukturchemie oder der Computer-Tomographie. Die Objekte der Fourier-Analye ind alo auf dem theoretichen Feld abtrakte Funktionen f oder gedachte Löungen u, und in der Praxi ein- oder mehrdimenionale Datenätze, die mit Hilfe de Computer auf vielfältige Weie bearbeitet werden. Während die Fourier-Tranformierte f eine Zeitignal f phyikalich relevante und intuitiv interpretierbare Information über f audrückt, it die Laplace-Tranformation, abgekürzt: LT, L : f Lf

2 86 8 Laplace-Tranformation eine recht formale Angelegenheit, und niemand würde zum Beipiel den Graphen von Lf anehen wollen. E ind denn auch die formalen Eigenchaften von L, die diee Tranformation für den Ingenieur o intereant machen, in erter Linie der Faltungatz. Da die Formel für Lf bi auf einen Faktor i im Exponenten gleich auieht wie die Formel für f, ind auch die formalen Rechenregeln ähnlich wie bei der Fourier-Tranformation. Der entcheidende Unterchied it der, da nun die Signale für t nicht abklingen müen, ondern ogar exponentiell anwachen dürfen. Zum Augleich wird verlangt, da link von t = nicht tattfindet. Der hauptächliche Anwendungbereich der Laplace-Tranformation it die Input-Output-Analye von konkret gegebenen linearen und zeitinvarianten Sytemen. Da einfachte Beipiel hierfür ind lineare Differentialgleichungen mit kontanten Koeffizienten und einem Anregungterm K(t: Die Anfangbedingungen und K(t kontituieren zuammen den Input; gefragt wird nach dem für t reultierenden Output t y(t. Der Leer erinnert ich vielleicht an da Federpendel mÿ + bẏ + fy = K co(ωt, y( = y, ẏ( = v. ( In der praktichen Anwendung der Laplace-Tranformation geht e nicht um numeriche Daten, ondern um die rechneriche Manipulation von Funktiontermen, die entweder gegeben ind oder in LT-Katalogen aufgeucht werden müen. Die Objekte diee Kapitel ind, wie chon früher bemerkt, Einchwingoder Einchaltvorgänge, kurz: Evau. Hierunter vertehen wir Funktionen f : R C mit den folgenden drei Eigenchaften: (a f(t (t < ; (b e gibt ein α R und ein C > mit f(t Ce αt (t R ; (2 (c f it tetig bi auf iolierte Sprungtellen t j (j, wobei je die eineitigen Grenzwerte f(t j und f(t j + exitieren. Inbeondere exitiert f(+. Die Geamtheit dieer Funktionen bezeichnen wir mit E. Da Infimum aller α, für die eine Abchätzung der Form (2 gilt, heit Wachtumkontante von f und wird mit α f bezeichnet. Wir vereinbaren noch da folgende: It t j eine Sprungtelle von f E, o wird der Funktionwert f(t j nicht benutzt.

3 8. Baic 87 E wird nun eine komplexe Hilfvariable = x + iy eingeführt. Die Laplace- Tranformierte Lf eine Evau f E it eine Funktion der Variablen und it zunächt einmal in einer rechten Halbebene definiert: Lf( := f(te t dt (Re > α f. (3 (8. It f E, o it Lf in der rechten Halbebene P := { Re > α f } wohldefiniert und eine komplex-analytiche Funktion der Variablen ; ferner gilt lim Lf( =. (4 Re C. P = x + iy α f α x Fig. 8.. Betrachte ein = x + iy P (Fig Wegen x > α f gibt e ein α < x und ein C, o da (2 gilt, und hierau folgt f(te t = f(t e x t Ce (α x t. Wegen α x < klingt hiernach der Integrand f(te t mit t exponentiell ab, und die Exitenz von Lf( it garantiert, ja mehr noch: Man hat Lf( Ce (α xt dt = C x α, und hierau folgt (4. Mit der nötigen Voricht darf man Lf, o weit definiert, unter dem Integralzeichen nach differenzieren; e ergibt ich (Lf ( = tf(te t dt (Re > α f.

4 88 8 Laplace-Tranformation Wie bereit angedeutet, geht e hier in erter Linie um die Tranformation von konkreten Funktiontermen wie in(ωt, t 2 e t/2, t,,.... Derartige Terme werden zu Evau gemacht, indem man ie kurzer Hand für t < umdefiniert und dort etzt. Weiter: It f(t ein gewier Funktionterm und F ( der Funktionterm, der Lf repräentiert, o drücken wir da mit Hilfe de ogenannten Doetch-Symbol folgendermaen au: f(t F (. (5 Eine derartige Beziehung zwichen betimmten Funktiontermen wird gelegentlich al Korrepondenz bezeichnet. Die Originalfunktion f(t lebt im Zeitbereich, die Bildfunktion F ( im Bildbereich. Anmerkung: Die typographichen Konventionen bezüglich der LT ind in der Literatur nicht einheitlich. Wir halten un an (5. In dieem Sinn beagt zum Beipiel die Formel folgende: Da Evau f(t := co(ωt 2 + ω 2 (6 { co(ωt (t > (t < beitzt die Laplace-Tranformierte Lf( = 2 + ω 2 (Re >. (7 Zunächt einmal it f(t e αt (t R für beliebige α > und kein α <. Somit it α f =, und Lf it in der Halbebene Re > analytich. Man ieht übrigen, da da angegebene Lf an den Stellen ±iω je einen einfachen Pol hat, und hierau ergibt ich, da Lf nicht in eine gröere Halbebene analytich fortgeetzt werden kann. Um nun (6 bzw. (7 zu beweien, genügt e nach (3.7, reelle > zu betrachten. Wir tellen daher folgende Rechnung an: co(ωte t dt = Re e ( +iωt dt = Re e( +iωt + iω t= = Re iω = 2 + ω 2.

5 8. Baic 89 2 Die Funktion H(t := { (t < (t > heit Heaviideche Sprungfunktion. Ihre Laplace-Tranformierte berechnet ich zu LH( = e t dt = (Re >. (8 Gemä unerer Vereinbarung haben wir demnach die Korrepondenz. E ei nun allgemeiner n. Bei der Berechnung von L[t n ] dürfen wir wiederum > annehmen. E ergibt ich L[t n ]( = t n e t dt = ( τ ne τ dτ = n+ τ n e τ dτ. Da letzte Integral hat bekanntlich den Wert n!. Folglich betehen die Korrepondenzen t n n! n+ (n N. (9 3 Die Funktion f(t := / t it zwar für t + unbechränkt, beitzt aber trotzdem eine Laplace-Tranformierte: Lf( = t e t dt = τ e τ dτ = τ /2 e τ dτ. Da letzte Integral hat den Wert Γ ( 2 = π. Damit erhalten wir die Korrepondenz t π, wobei in der Halbebene Re > al Hauptwert zu interpretieren it.

6 9 8 Laplace-Tranformation 4 E ei λ = α + iω eine fet gegebene komplexe Zahl. Die Funktion e λt beitzt die Wachtumkontante α und it omit in E. Man berechnet L[e λt ]( = e λt e t dt = λ e(λ t t= = λ (Re > α und erhält damit die Korrepondenz e λt λ (λ C. ( Wozu da alle? E it höchte Zeit, den eigentlichen Zweck der Übung zu erläutern. Da Paradigma lät ich an dem Anfangwertproblem ( erklären. Geucht it dort ein gewie Evau t y(t (t. Diee Evau beitzt eine ebenfall unbekannte Laplace-Tranformierte Y (. Nun laen ich die Bedingungen ( mit Hilfe einfacher Rechenregeln in Bedingungen an Y ( überetzen. De facto reultiert eine einzige Bedingung, nämlich eine lineare Gleichung der Form a(y ( = c( mit gewien Funktiontermen a( und c(. Hiernach wäre alo Y ( wohlbetimmt und auch einfach zu berechnen. Um nun zu dem eigentlich geuchten Evau t y(t zu kommen, benötigt man zwei Dinge: (a Erten müte ichergetellt ein, da y(t durch eine Laplace-Tranformierte Y ( überhaupt eindeutig betimmt it. (b Zweiten braucht e eine Umkehrformel, die da Y ( al Input akzeptiert und die zugehörige Originalfunktion y(t augibt. Im Hinblick auf (a it klar, da der folgende Satz von Lerch einen Grundpfeiler der ganzen Theorie dartellt: (8.2 Die Laplace-Tranformation it injektiv, da heit: Sind f und g zwei verchiedene Evau, o ind auch ihre Laplace-Tranformierten Lf und Lg verchieden. Wir werden dieen Satz in Abchnitt 8.5 beweien. Dort wird dann auch von der in (b geforderten Umkehrformel die Rede ein. Mit dieer Formel

7 8.2 Rechenregeln und Beipiele 9 it e o eine Sache; ie läuft über Komplexe und wird eigentlich in der Praxi kaum benützt. Man hält ich vielmehr an einen Vorrat von Standardkorrepondenzen, die nun rückwärt geleen werden (auch da Doetch- Symbol lät ich umkehren:!, und macht wiederholten Gebrauch von den Rechenregeln. E gibt natürlich auch Korrepondenzen-Kataloge; am bekannteten und umfangreichten ind die folgenden: A. Erdélyi: Table of integral tranform, vol. I; McGraw-Hill, 954. F. Oberhettinger & L. Badii: Table of Laplace tranform; Springer, 973. In den meiten mathematichen Handbüchern für Ingenieure finden ich becheidenere Tabellen dieer Art. 8.2 Rechenregeln und Beipiele Bevor wir endlich die Laplace-Tranformation in action vorführen können, benötigen wir noch einige allgemeine Rechenregeln. (8.3 Die Laplace-Tranformation it komplex-linear: L(λ f + µ g = λ Lf + µ Lg (λ, µ C. E it in(ωt = eiωt + e iωt. Au 8..( ergibt ich daher die Korrepondenz 2i in(ωt ( 2i iω ω = + iω 2 + ω 2. (

8 92 8 Laplace-Tranformation (8.4 It f E, o ergeben ich au f(t F ( die folgenden weiteren Korrepondenzen: (a (b (c (d (e f(t h e h F ( (h >, f(αt ( α F α (α >, e λt f(t F ( λ (λ C. tf(t F (, t n f(t ( n F (n ( f(t t F (σ dσ, (f (g t f (t F ( f(+, f(τ dτ F (, Dabei wird in (e voraugeetzt, da f(t/t in E liegt, und in (f, da f für t > tetig it, owie natürlich f E. Die im folgenden ercheinenden Gleichungen in der Variablen gelten jeweil für alle mit hinreichend groem Realteil. (a Wegen h > it f(t h für t < h und folglich f(t he t dt = h = e h F (. f(t he t dt = f(t e (t +h dt Anmerkung: Für h < gibt e keine derartige Formel! Wird nämlich f nach link verchoben, o geht da Anfangtück von f verloren, und da hat einen unkontrollierbaren Einflu auf Lf. Den Bewei von (b und (c überlaen wir dem Leer. (d In der Gleichung f(te t dt = F ( darf man unter dem Integralzeichen nach differenzieren und erhält ( tf(te t dt = F (.

9 8.2 Rechenregeln und Beipiele 93 (e Setze zur Abkürzung f(t t =: g(t und Lg =: G. Die Regel (d liefert F ( = Lf( = L[t g(t]( = G ( ; folglich gilt für beliebige, mit hinreichend groem Realteil die Beziehung G( G( = F (σ dσ. Wegen 8..(4 ergibt ich hierau mit Re die Behauptung. (Damit it nun auch klar, wa mit gemeint war. (f Da f für t > tetig it, dürfen wir in der folgenden Rechnung partiell integrieren, auch wenn f Sprungtellen aufweit: Lf ( = f (t e t = F ( f(+. dt = f(te t t=+ + f(te t dt (g Die Funktion t f(τ dτ =: g(t it jedenfall in E, wie man ich leicht überlegt. E ei alo Lg =: G. Mit Hilfe der Regel (f erhält man dann F ( = Lf( = Lg ( = G( g(+ = G(, und die it äquivalent mit der Behauptung. Durch Iteration von (8.4(f erhält man leicht die folgende Regel für die Laplace-Tranformation der höheren Ableitungen eine Evau: (8.5 E ei n. Sind f, f,..., f (n für t > tetig und it f (n E, o folgt au f(t F ( die Korrepondenz f (n (t n F ( n f(+ n 2 f (+... f (n (+. 2 Wir beginnen mit einem Rechteckpul q := A [,h] der Breite h > und der Amplitude A C (Fig Au der Dartellung q(t = A ( H(t H(t h (t >

10 94 8 Laplace-Tranformation A q g h T 2T 3T t Fig folgt mit 8..(8 und Regel (8.4(a: Q( = ( e h A. (2 Antelle eine einzigen Pule betrachten wir nun eine bei t = beginnende Folge g von derartigen Pulen; ie ei periodich mit Periode T > h. Hiernach it g(t := q(t kt (t >, (3 k= wobei diee Reihe für alle t trivialerweie konvergiert. Wenden wir die Regel (8.4(a darauf an, o ergibt ich G( = e kt Q( = k= e h A Q( = e T e T. (4 f f T 2T 3T t Fig

11 8.3 Differentialgleichungen 95 3 In Verallgemeinerung de vorangehenden Beipiel betrachten wir nun ein beliebige periodiche Evau. Darunter vertehen wir ein f E mit f(t + T = f(t (t > für ein gewie T > (Fig Ein derartige f it volltändig betimmt durch ein Grundmuter { f(t ( < t T f (t :=, (t > T und zwar gilt f(t = f (t kt. k= Hierau ergibt ich durch dieelbe Rechnung wie im vorangehenden Beipiel: F ( = e T F ( = e T T f (te t dt. 8.3 Differentialgleichungen Dieer Abchnitt beteht im weentlichen au drei Beipielen Wir betrachten al erte da Federpendel 8..( und chreiben die Differentialgleichung in der folgenden auführlicheren Form: mÿ(t + bẏ(tfy(t = K co(ωt (t. ( Die Erfahrung agt un, da die Löungen höchten exponentiell mit t anwachen; mithin it da geuchte y(t ein Evau. Gemä uneren Rechenregeln und den angegebenen Anfangbedingungen haben wir daher die Korrepondenzen y(t Y (, ẏ(t Y ( y, ÿ(t 2 Y ( y v ;

12 96 8 Laplace-Tranformation ferner nehmen wir 8..(6 in Anpruch. Wir wenden nun auf beiden Seiten von ( die Tranformation L an und erhalten folgende Gleichung für die unbekannte Funktion Y (: m ( 2 Y ( y v + b ( Y ( y + fy ( = Umordnung liefert (m 2 + b + f Y ( = K 2 + ω 2. K 2 + ω 2 + (m + by + mv. (2 Wir betrachten nun einige Spezialfälle, wobei wir durchweg b = vorauetzen.. It K =, o geht (2 nach Diviion mit m über in ( 2 + ω 2 Y ( = y + v ; dabei haben wir noch f/m =: ω geetzt. Damit ergibt ich definitiv Y ( = y 2 + ω 2 + v 2 + ω 2. Wir führen nun die Rücktranformation durch: Mit 8..(6 und 8.2.( (oder durch Aufuchen in einer Tabelle erhalten wir y(t = y co(ω t + v ω in(ω t, und man verifiziert leicht, da diee y(t alle Bedingungen erfüllt. Beachte, da wir zur Befriedigung der Anfangbedingungen kein lineare Gleichungytem haben auftellen und löen müen. 2. Wir nehmen nun K an und zuätzlich y =, v =. Au (2 erhalten wir dann Y ( = K m ( 2 + ω 2(2 + ω 2. Um weiter zu kommen, benötigen wir die Partialbruchzerlegung der rechten Seite. Wir etzen ω ω vorau und machen den Anatz ( 2 + ω 2(2 + ω 2 = A + B 2 + ω 2 + C + D 2 + ω 2.

13 8.3 Differentialgleichungen 97 Nachdem man A, B, C, D hierau betimmt hat, ergibt ich Y ( = K m und Rücktranformation liefert ω 2 ω 2 ( 2 + ω ω 2, y(t = K m ω 2 ω 2 ( co(ω t co(ωt. Wir beobachten alo die Superpoition von zwei Schwingungen gleicher Amplitude; die eine hat die Eigen-Kreifrequenz de Ozillator, die andere die Frequenz der Anregung. Den Reonanzfall ω = ω überlaen wir dem Leer. 3. Wir bleiben bei y =, v =, wählen aber al Anregung einen Rechteckpul der Dauer τ > und der Höhe K := p/τ. Die Gröe p tellt den dabei ingeamt vermittelten mechanichen Impul dar. Auf Grund von 8.2.(2 ergibt ich dann für Y ( die Gleichung bzw. Partialbruchzerlegung liefert ( 2 + ω 2 Y ( = p e τ τm Y ( = p τm ( e τ ( 2 + ω 2. (3 Y ( = p τmω 2 ( ( e τ 2 + ω 2 Die müen wir nun rücktranformieren. Die groe Klammer beitzt al Originalfunktion den Audruck co(ω t = 2 in 2 (ω t/2; mit Hilfe der Regel (8.4(a ergibt ich daher y(t = 2p τmω 2 ( in 2 (ω t/2 in 2( ω (t τ/2, (4 wobei der zweite Summand in der groen Klammer für t < τ gleich zu etzen it. Wir wollen nun unteruchen, wa im Lime τ paiert. Phyikalich läuft da darauf hinau, da zur Zeit t = chlagartig der Impul p auf da.

14 98 8 Laplace-Tranformation Pendel übertragen wird. Führen wir dieen Grenzübergang an (3 durch, o erhalten wir (zum Beipiel mit der Regel von Bernoulli-de l Hôpital: Y ( := p m 2 + ω 2 ; die zugehörige Originalfunktion it y (t = p mω in(ω t. (5 Der analoge Grenzübergang an (4 hätte zu demelben Ergebni geführt. Man nennt (5 die Stoantwort de betrachteten Pendel. Wir werden auf dieen Punkt zurückkommen. L φ 2 m φ f L m Fig Wir betrachten nun ein Doppelpendel und verweien auf die Fig. 8.3., der auch die verwendeten Bezeichnungen zu entnehmen ind. Die beiden Maen chwingen unter dem Einflu der Schwerkraft und ind durch eine Feder aneinander gekoppelt. Solange die Auchläge φ, φ 2 klein ind, gelten die folgenden Bewegunggleichungen: ml φ = mgφ + fl(φ 2 φ, ml φ 2 = mgφ 2 fl(φ 2 φ, unter g die Gravitationkontante vertanden. Mit den Abkürzungen ω := g L, α := f m

15 8.3 Differentialgleichungen 99 geht die über in φ + ω 2 φ + α 2 (φ φ 2 = φ 2 + ω 2 φ 2 α 2 (φ φ 2 = }. (6 Stipuliert man zum Beipiel die Anfangbedingungen φ ( = A, φ 2 ( =, φ ( = φ 2 ( =, o it damit der weitere Ablauf eindeutig fetgelegt. t y(t := ( φ (t, φ 2 (t (t Diee Evau y(t oll nun mit Hilfe der unere Laplace-Apparate betimmt werden. Auf Grund der Rechenregeln haben wir die folgenden Korrepondenzen: φ (t Φ (, φ 2 (t Φ 2 (, φ (t Φ ( A, φ2 (t Φ 2 (, φ (t 2 Φ ( A, φ2 (t 2 Φ 2 (. Die Differentialgleichungen (6 gehen damit in ein lineare Gleichungytem für die beiden Funktionen Φ (, Φ 2 ( über: 2 Φ A + ω 2 Φ + α 2 (Φ Φ 2 = 2 Φ 2 + ω 2 Φ 2 α 2 (Φ Φ 2 = Die Auflöung (zum Beipiel mit Mathematica liefert Φ ( = A(2 + ω 2 + α 2 ( 2 + ω 2 + α 2 2 α 4 = A 2 Φ 2 ( = A(2 + ω 2 + α 2 ( 2 + ω 2 + α 2 2 α 4 = A 2 und die anchlieende Rücktranformation φ (t = A 2 ( co(ωt + co(ω t, φ 2 (t = A 2 } ( 2 + ω ω 2 + 2α 2 ( 2 + ω ω 2 + 2α 2. ( co(ωt co(ω t ; (7

16 2 8 Laplace-Tranformation dabei wurde zur Abkürzung ω 2 + 2α 2 =: ω geetzt. Wir nehmen nun an, die Kopplung ei nur ehr chwach. Dann it α ω, und mit der weiteren Abkürzung ω := ω + ω 2. = ω können wir (7 auf die folgende uggetive Form bringen: ( α 2 φ (t = A co t co(ω t, 2ω ( α 2 φ 2 (t = A in t in(ω t. 2ω Die beiden Pendel chwingen alo grundätzlich mit der Frequenz ω, die um wenige gröer it al die Eigenfrequenz der ungekoppelten Pendel. Ihre Amplitude it aber moduliert mit der langamen Frequenz α 2 /(2ω, und zwar findet ein unabläiger Energieautauch zwichen den beiden Pendeln tatt: Wenn da erte Pendel maximal auchlägt, ruht praktich da zweite, und umgekehrt. u C u L u R C L R A B U(t i Fig Wir betrachten den in Fig dargetellten elektrichen Schwingkrei. Jede Element diee Schwingkreie wird durch eine kontituierende Gleichung und eine poitive Kontante (L, R, C charakteriiert:

17 8.3 Differentialgleichungen 2 Element kontituierende Gleichung Induktivität L u L = L di dt Widertand R u R = R i Kapazität C u C = ( t q + C i(τ dτ Dabei bezeichnen u C, u L, u R die über den betreffenden Elementen gemeenen Spannungen, q die zur Zeit t = auf C itzende Ladung und i den in dem Stromkrei flieenden Strom. Wird der Schalter über den Klemmen A und B gechloen, o gilt nach dem zweiten Kirchhoffchen Geetz: u L + u R + u C = ; allgemein: Wird an die Klemmen A und B eine willkürlich modulierte Fremdpannung u(t angelegt, o gilt u L + u R + u C = u(t. Auf Grund der kontituierenden Gleichungen der einzelnen Elemente erhalten wir damit die folgende kontituierende Gleichung unere Schwingkreie: L di dt + R i + C t i(τ dτ = u(t q C. (8 Hier wird die angelegte Spannung u(t al Input betrachtet; der reultierende Strom i(t it der Output. Wir unterwerfen nun die Gleichung (8 der Laplace-Tranformation. Nach den Rechenregeln (8.4 ergibt ich L ( I( I(+ + RI( + C I( = U( q C und folglich ( L + R + C I( = U( q C + Li(+. Für da Weitere nehmen wir q =, i(+ = an; die letzte Gleichung geht damit über in eine Beziehung der Form I( = G( U(. (9

18 22 8 Laplace-Tranformation Der auf der rechten Seite erchienene Multiplikator G( := L + R + C heit Übertragungfunktion de hier betrachteten Sytem. Die Gleichung (9 beagt demnach folgende: Im Bildraum erhält man den Output durch Multiplikation de Input mit der Übertragungfunktion. Wir legen nun an den Klemmen A und B eine harmonich modulierte Spannung der Frequenz ω > an: Damit erhält (9 die pezielle Getalt u(t := u co(ω t. ( I( = u 2 (L 2 + R + /C( 2 + ω 2. Für die Rücktranformation müen wir hier die rechte Seite in Partialbrüche zerlegen: wobei ( A Ā I( = u + + B + B 2, iω + iω 2,2 := R ± R 2 4L/C 2L die beiden Pole der Übertragungfunktion dartellen. Diee beiden Pole beitzen negativen Realteil. Nun haben wir ja die Korrepondenz B k k B k e kt, und da bedeutet, da diee Terme im Zeitbereich exponentiell abklingen; ie ollen un daher nicht weiter intereieren. Damit verbleibt die Betimmung der Kontanten A = re ( I(/u iω. Mit Hilfe der Regel (4.3(b ergibt ich 2 A = L 2 = + R + /C :=iω 2iω ( 2 Liω + R + C. iω

19 8.4 Die Übertragungfunktion 23 Au Symmetriegründen ieht daher die tationäre periodiche Antwort de Sytem auf die Anregung ( im Zeitbereich folgendermaen au: i(t = u Re e iω t ( Liω + R + C. iω 8.4 Die Übertragungfunktion Nachdem wir nun die wichtigten Rechenregeln und auch ein paar Beipiele kennengelernt haben, wollen wir hier da Gechehene auch noch von einem grundätzlicheren Standpunkt au betrachten. Den Schlüel dazu bildet die Gleichung (9 de vorangehenden Abchnitt: I( = G( U(, ( die unere biherigen Erfahrungen mit der Laplace-Tranformation auf den Punkt bringt. Wa it der tiefere Grund für diee einfache Verknüpfung von Input U und Output I im Bildbereich? Zu der Formel ( kam e durch Anwendung der Regeln (8.4(f (g. Sie beagen, da die Laplace-Tranformation die Ableitungoperation D := d/dt im weentlichen in die punktweie Multiplikationoperation mal im Bildbereich überführt und entprechend da Aufintegrieren D in die punktweie Diviion durch. Damit ind wir dem Geheimni nähergerückt: D und D ind letzten Ende Faltungoperationen, und bezüglich der Faltung gibt e eben einen beonderen Satz. Dieer Faltungatz beagt, da die Laplace- Tranformation da Faltungprodukt f g(t := t f(t τg(τ dτ = t f(τg(t τ dτ von zwei Funktionen f, g E in ein gewöhnliche Produkt verwandelt:

20 24 8 Laplace-Tranformation (8.6 Sind f und g in E mit f(t F ( und g(t G(, o it auch da Faltungprodukt f g in E, und e gilt f g(t F ( G(. E gibt ein α R und ein C > mit f(t Ce αt, g(t Ce αt (t >. Wähle ein α > α. Für ein geeignete C > gilt dann f g(t t C e α t t f(t τ g(τ dτ C 2 e α(t τ e τ dτ = C 2 te αt (t > ; omit it f g E. Wir berechnen nun die Laplace-Tranformierte L(f g( = ( t f(τg(t τ dτ e t dt. Hier it die rechte Seite ein Doppelintegral über einen Sektor der (t, τ-ebene (Fig Vertauchung der Integrationreihenfolge liefert ( L(f g( = f(τg(t τ e t dt dτ wie behauptet. = τ f(τe τ ( τ g(t τe (t τ dt dτ = F ( G(, Al einfachte Beipiel bietet ich die Aufintegration D an: It f E, o gilt D f(t := t f(τ dτ = t H(t τf(τ dτ = H f(t, wobei H die Heaviideche Sprungfunktion bezeichnet. In Beipiel haben wir LH( = / berechnet. Auf Grund de Faltungatze it daher L(D f( = F (, in Übereintimmung mit Regel (8.4(g.

21 8.4 Die Übertragungfunktion 25 τ τ = t τ t t Fig Wir benutzen den Faltungatz, um die Laplace-Tranformierte der Funktion f(t := t zu betimmen. Zunächt berechnen wir f f (t = t τ(t τ dτ = t/2 dabei haben wir von der Subtitution t/2 τ := t ( 2 + x t 2 x t 2 ( t 2 x2 dx = πt2 2 8 ; Gebrauch gemacht und da enttehende Integral al Halbkreifläche interpretiert. Auf Grund de Faltungatze und 8..(9 it daher F ( F ( = π 8 und wir erhalten die Korrepondenz 2 3 = π 4 3, t π 2 3/2. Gibt e in E auch ein Einelement q bezüglich der Faltung? Angenommen, e wäre z.b. q H = H, o hätte man nach dem Faltungatz Q( (/ /, und da hiee Q(, im Widerpruch zu (8.. E gibt demnach kein Evau q, da al Einelement bezüglich in Frage kommt. E gibt hingegen

22 26 8 Laplace-Tranformation ein ideale Objekt, da wie ein Einelement wirkt und auch die Laplace- Tranformierte beitzt, nämlich den Deltato, der üblicher Weie mit δ bezeichnet wird. Diee δ it keine Funktion mehr, ondern eine ogenannte Ditribution, anchaulich: eine an der Stelle t = konzentrierte Einheitmae. Für die Zwecke der Laplace-Tranformation lät ich δ am einfachten durch Rechteckpule ( < t < ε q ε (t := ε (ε (t > ε approximieren (Fig Die Laplace-Tranformierte von q ε berechnet ich auf Grund von 8.2.(2 zu Q ε ( = e ε ε ; damit ergibt ich in der Tat lim ε Q ε( (2 wie angekündigt. /ε q ε q ε t Fig

23 8.4 Die Übertragungfunktion 27 Diee Überlegungen getatten nun, die im vorangehenden Abchnitt rein formal eingeführte Übertragungfunktion G( mit anchaulichem Gehalt zu verehen: (8.7 E ei da Anfangwertproblem y (n + a n y (n a y = f(t, y (k ( = ( k n (3 gegeben, und e ei Y ( = G(F ( (4 deen Löung im Bildbereich. Dann konvergieren die zu den Anregungen f(t := q ε (t gehörenden Löungen y ε (t mit ε gegen die zu G( gehörige Originalfunktion g(t. In der Folge bezeichnet man die Originalfunktion g(t der Übertragungfunktion G( al Stoantwort de Sytem. Beweien können wir (8.7 nur im Bildbereich, und da it e ganz einfach: It y ε (t die zur Anregung q ε gehörige Löung, o folgt au (3 und (2: Y ε ( = G( Q ε ( G( (ε. Überetzen wir die Gleichung ( bzw. (4 mit Hilfe de Faltungatze in den Zeitbereich, o können wir folgende Korollar von (8.7 formulieren: (8.8 Die zur beliebigen Anregung f(t gehörende Löung y(t de Anfangwertproblem (3 wird erhalten, indem man die Stoantwort g(t de Sytem mit der Anregung f(t faltet: y(t = (g f (t (t >. Da it nicht al eine weitere Löungmethode aufzufaen, ondern al eine betimmte analytiche Dartellung der exakten Löung, die in gewien Fällen weiterhelfen kann. Wir betrachten den ungedämpften harmonichen Ozillator ÿ + ω 2 y = f(t, y( =, ẏ( =. (5

24 28 8 Laplace-Tranformation In Abchnitt 8.3., Fallbeipiel 3, haben wir die Stoantwort y (t eine Federpendel berechnet und 8.3.(5 erhalten. Damit ergibt ich al Stoantwort de hier betrachteten Ozillator die Funktion g(t = ω in(ωt. Satz (8.8 liefert daher folgende explizite Dartellung der Löung von (5: y(t = ω t f(τ in ( ω(t τ dτ (t >. Diee Formel lät ich folgendermaen interpretieren: Der Output y(t it eine Superpoition der Schwingungen t ω in( ω(t τ, die von den ämtlichen infiniteimalen Stöen f(τ dτ herrühren, die vor dem betrachteten Zeitpunkt t erfolgt ind. Die Übertragungfunktion it ein äuert handliche Werkzeug in der Regeltechnik und der Netzwerk-Analye. Seinen Gebrauch lernt man am beten in den betreffenden Anwendunggebieten. Wir weien hier nur noch auf zwei Punkte hin: x(t L y(t L 2 z(t Fig Werden zwei Syteme L, L 2 von der Art, wie ie in Satz (8.7 betrachtet wurden, hintereinander gechaltet (Fig , o it der Output y(t de erten Sytem der Input de zweiten. E reultiert ein Geamtytem mit x(t al Input und z(t al Output. Im Zeitbereich haben wir nach (8.8 die Faltunggleichung z(t = g 2 y (t = g 2 g x (t (t >,

25 8.4 Die Übertragungfunktion 29 die z(t al ein Doppelintegral dartellt. Im Bildbereich ieht dieelbe Sache aber viel einfacher au: Z( = G 2 ( G ( X( ; (Fig , in Worten: Beim Hintereinanderchalten zweier Syteme multiplizieren ich die Übertragungfunktionen. In ähnlicher Weie laen ich auf kompliziertere Weie gekoppelte Syteme (z.b. eine Rückkopplung im Bildbereich durch algebraiche Gleichungen tatt durch Faltunggleichungen bechreiben. Y( X( G ( G 2 ( Z( Fig In der Analyi I haben wir lineare Differentialgleichungen vom Typ y (n + a n y (n a y + a y = (6 mit Hilfe de charakteritichen Polynom chp(λ := λ n + a n λ n a λ + a behandelt. Für jede komplexe Nulltelle λ j diee Polynom wurde eine Bailöung t e λjt angeetzt; die allgemeine Löung von (6 war dann gegeben durch n y(t = c j e λjt, c j C ( j n, (7 j= den Fall mehrfacher Wurzeln einmal auer Acht gelaen. E it leicht zu ehen, da da charakteritiche Polynom chp(λ mit der zu (3 gehörigen Übertragungfunktion G( verknüpft it durch die Gleichung G( = chp( ( C ; (8 die Nulltellen λ j de charakteritichen Polynom ind alo die Pole der Übertragungfunktion.

26 2 8 Laplace-Tranformation Man wird da durch (3 bzw. (6 bechriebene Sytem tabil nennen, wenn zufällig augewählte Anfangbedingungen (oder ein zufälliger Sto nicht zu einer Katatrophe führen können, und da it jedenfall dann der Fall, wenn ämtliche Löungen (7 mit t exponentiell abklingen. Da Kriterium hierfür it, da ämtliche Eigenwerte λ j negativen Realteil haben; denn mit λ = µ + iν hat man e λt = e µt ( co(νt + i in(νt = e µt. Aufgrund der Beziehung (8 zwichen G( und chp(λ kommen wir damit zu dem folgenden Prinzip: Da Sytem (3 it tabil, wenn ämtliche Pole λ j der Übertragungfunktion G( in der linken Halbebene Re < liegen. (Der Fall Re λ j = it heikel und erfordert beondere Betrachtungen. 8.5 Inverion In dieem letzten Abchnitt beweien wir den Satz von Lerch (8.2 und leiten dabei auch eine Umkehrformel für die Laplace-Tranformation her. Wie bereit geagt, tellt dieer Satz einen Grundpfeiler der Laplace-Doktrin dar. Er it der mathematich korrekte Audruck für die intuitive Idee, da unter der Laplace-Tranformation keine Information verloren geht, oder konkreter: die Garantie, da ein Sytem, da wir im Bildbereich volltändig beherrchen, auch im Zeitbereich in allen Stücken betimmt it und da e grundätzlich möglich ein ollte, eine explizite Bechreibung der reultierenden Abläufe im Zeitbereich herzutellen. Wir beginnen mit der komplexen Umkehrformel, wobei wir un auf die Fig beziehen: (8.9 Die Funktion f E genüge den weiteren Bedingungen f E, f(+ = ; ferner ei c > α f und γ c die von unten nach oben durchlaufene Vertikale Re = c. Dann gilt f(t = F ( e t d 2πi γ c (t >. (

27 8.5 Inverion 2 γ c C. α f α f c Fig Mit Hilfe der Parameterdartellung γ c : y (y := c + iy ( < y < chreibt ich die Behauptung ( folgendermaen: f(t = ect F (c + iy e iyt dy 2π (t >. (2 Wir vergewiern un zunächt, da da Integral (2 überhaupt exitiert: Nach Vorauetzung über f it f (te (c+iyt dt f (t e ct dt =: M (y R. (3 Wegen f(+ = gilt nach Regel (8.5 die Beziehung o da (3 die Abchätzung F (c + iy F ( = 2 ( Lf ( + f (+, c + iy 2 ( M + f (+ C y 2 ( y nach ich zieht. Damit it die Konvergenz von (2 garantiert. Betrachte nun die Funktion φ(t := { (t < f(te ct (t

28 22 8 Laplace-Tranformation Diee Funktion it integrabel und beitzt die Fourier-Tranformierte φ(y = f(te (c+iyt dt = F (c + iy (y R. Wir haben un eben vergewiert, da auch y F (c + iy integrabel it. Somit dürfen wir die Umkehrformel (6.2 anwenden und erhalten, da φ überall tetig it: φ(t = φ(ye iyt dy = F (c + iye iyt dy (t R. 2π 2π Multipliziert man hier auf beiden Seiten mit e ct, o folgt die Behauptung (2. Die Formel ( beagt eigentlich chon, da f(t durch eine Laplace-Tranformierte F ( eindeutig betimmt it; allerding waren da noch Zuatzbedingungen. Mit Hilfe eine einfachen Trick können wir aber den Satz von Lerch auf (8.9 zurückführen. Hier nocheinmal der Wortlaut: (8.2 Die Laplace-Tranformation it injektiv, da heit: Sind f und g zwei verchiedene Evau, o ind auch ihre Laplace-Tranformierten Lf und Lg verchieden. Wir argumentieren über da Evau f g, da wir wieder mit f bezeichnen. Die Behauptung lautet dann: It f E mit Lf =, da heit: F (, o it f(t. Indem wir f zweimal von au aufintegrieren, erhalten wir eine Funktion g, die den Zuatzbedingungen in (8.9 genügt. Wir bilden alo g(t := t ( τ f(τ dτ dτ = H H f (t mit der Laplace-Tranformierten G( = 2 F (. Wir wenden nun auf g den Satz (8.9 an und erhalten g(t. zweimalige Differenzieren folgt hierau f(t, wie behauptet. Durch

29 8.5 Inverion 23 Wir haben chon darauf hingewieen, da die Rücktranformation von konkreten Funktiontermen am einfachten mit Hilfe einer Tabelle erfolgt. Trotzdem ollen hier noch zwei Methoden vorgetellt werden, mit deren Hilfe man in betimmten Fällen die Originalfunktion mit Papier und Bleitift betimmen kann. Etwa Grundätzliche vorweg: It F ( eine rationale Funktion: F ( = P (, P, Q Polynome, Q( o it e am einfachten, eine Partialbruchzerlegung herzutellen. Partialbrüche tehen dann die Korrepondenzen Für die zur Verfügung. ( a n+ tn n! eat (n, a C It F ( in einem Ringgebiet > R analytich mit einer Laurent-Entwicklung der Form a n ( F ( = > R, n+ n= o liefert gliedweie Rücktranformation dieer Reihe den folgenden Audruck: (t < g(t = a n. (4 n! tn (t > n= Wir müen un davon überzeugen, da tatächlich g E und Lg = F it. Die a n genügen von vorneherein einer Abchätzung der Form a n C ρ n für ein geeignete ρ >. Hierau folgt leicht, da die Potenzeihe (4 für alle t C konvergiert, und überdie, da g(t Ce ρt (t > (5 it. Die Reihe (4 tellt omit eine ganz-analytiche Funktion dar, und zuammen mit (5 ergibt ich g E. Da chon die Partialummen N (t der Abchätzung (5 genügen, it e erlaubt, Lg durch gliedweie Tranformation

30 24 8 Laplace-Tranformation der Reihe (4 zu berechnen, und dabei kommt natürlich Lg = F herau. Alle in allem haben wir folgende bewieen: (8. It F ( für > R analytich mit einer Laurent-Entwicklung der Form a n ( F ( = > R, n+ o beteht die Korrepondenz n= F ( n= a n n! tn. E ei F ( := + 2 (Re >, wobei natürlich der für > poitive Zweig gemeint it. Wir können F ( auf die Form F ( = ( pv + /2 ( /2 2 = n 2n+ bringen. Die Binomialreihe rechter Hand konvergiert für > und lät ich daher al Laurent-Entwicklung von F auffaen. Die zu F ( gehörende Originalfunktion f(t it omit nach (8. gegeben durch ( /2 t 2n f(t = n (2n!. Wegen ( /2 = n ( 2 erhalten wir damit definitiv f(t = n= ( 3 2 n= n= ( 2n 2 = ( n (2n! n! 2 2n (n! 2 ( t2 n, (n! 2 4 eine auerordentlich gut konvergente Reihe. Die hier erchienene Funktion f it nicht elementar, tritt aber in den verchiedenten phyikalichen und technichen Zuammenhängen auf. E handelt ich um die ogenannte Beelche Funktion der Ordnung ; die übliche Bezeichnung dafür it J (t.

31 8.5 Inverion 25 Zum Schlu zeigen wir, wie ich auch der Reiduenatz zur Berechnung von Originalfunktionen heranziehen lät. Die Originalfunktion f(t genüge den Vorauetzungen von Satz (8.9, und die Bildfunktion ei meromorph auf ganz C. Sie wird dann link von der Vertikalen γ c gewie Pole a k beitzen (Fig , unter Umtänden unendlich viele. Diee Pole ollen nun in immer gröeren Rechtecken R N := [ r N, c ] [ r N, r N ] eingechloen werden; dabei darf kein Pol auf dem Rand eine R N liegen. γ ir N γ c R N γ 2 a k σ N r N c γ 3 ir N Fig Wir chreiben R N = σ N + R N, wobei σ N die auf γ c liegende Kante von R N und R N := γ + γ 2 + γ 3 die Summe der drei andern Kanten bezeichnet. Nun kommt die entcheidende Vorauetzung: Die r N müen ich o wählen laen, da auf den Wegen R N Abchätzungen der folgenden Art gelten: F ( C β ( R N ; (6 dabei ind C und β > unabhängig von N. Wir behaupten nun:

32 26 8 Laplace-Tranformation (8. Unter den genannten Vorauetzungen über f(t und F ( gilt f(t = k re ( F ( e t = ak (t >. Die Umkehrformel (8.9 it anwendbar. Nach dem Reiduenatz, angewandt auf R N, haben wir F (e t ( d = 2πi re F ( e t = ak F (e t d. σ N a k R R N N Mit N konvergiert hier die linke Seite nach (8.9 gegen γ c F (e t d = 2πif(t (t >. Die Behauptung it daher bewieen, wenn wir zeigen können, da für jede fete t > da folgende zutrifft: lim F (e t d =. (7 N R N Hierzu ind geeignete Abchätzungen notwendig, wobei wir un weiterhin auf die Fig beziehen. Mit (6 ergibt ich F ( e t d C c γ r p e t d C e tc N r N r β, t N und analog chliet man für γ 3. Für γ 2 erhalten wir mit (6 eine Abchätzung der Form F ( e t d C γ 2 r β 2r N e tr N. N Wegen r N it damit (7 beweien. 2 Wir betrachten gleich ein Beipiel mit unendlich vielen Polen, nämlich einen elektrichen Schwingkrei (vgl , der mit Rechteckpulen periodich angeregt wird. Die kontituierende Gleichung lautet: L di dt + R i + C t i(τ dτ = g(t q C ; (8

33 8.5 Inverion 27 dabei ei die Anregung g gegeben durch 8.2.(3 mit h := T/2, A := U. Setzen wir q =, i(+ = vorau, o ergibt ich durch Laplace-Tranformation von (8 die Gleichung ( L + R + C I( = G(. Die rechte Seite entnehmen wir 8.2.(4 und erhalten damit folgende Löung von (8 im Bildbereich: I( = L + R + C T /2 e U e T = U L 2 + R + /C. (9 + e T /2 Die Bildfunktion I( it meromorph in ganz C; ie beitzt Pole in den beiden Nulltellen ζ, ζ 2 de Polynom L 2 + R + /C owie in den Punkten k := 2kπi T (k Z, ungerade. ( Indem wir r N := 4Nπ (N T wählen, orgen wir dafür, da die Rechteckwege R N präzi zwichen den Polen k hindurchgehen: In den Punkten := (τ := τ ± ir N ( r N τ c von γ und γ 3 hat man die Abchätzung und für die Punkte ( e T /2 T (τ ± 4Nπi/T = exp = e T τ/2 >, 2 := (τ := r N + iτ ( r N τ r N auf γ 2 hat man e T /2 = e T r N /2. Alle in allem ziehen wir den Schlu, da wir (8. auf die Bildfunktion (9 anwenden dürfen: 2 i(t = re ( I(e t = ζk + re ( I(e t = k k= k ungerade (t >.

34 28 8 Laplace-Tranformation Da nun die beiden ζ k negativen Realteil haben, erhalten wir von daher zwei mit t exponentiell abnehmende Terme, die wir nicht weiter verfolgen. Die Reiduen in den Polen k berechnen ich nach Regel (4.3(b und ( wie folgt: re ( I(e t = k = = = U e t L 2 + R + /C 2 T e 4k2 π 2 T 2 U e 2kπit/T T /2 =k 2 T L + 2kπi T R + C 2U T T 2 /C 4k 2 π 2 L + 2kπRT i e2kπit/t. Damit erhalten wir chlielich die tationäre periodiche Löung in Getalt einer Fourier-Reihe zur Periode T : i tat (t = k ungerade c k e 2kπit/T, c k := 2U T T 2 /C 4k 2 π 2 L + 2kπRT i. Wegen c k = c k it die o dargetellte Funktion t i tat (t reellwertig, wie e ich gehört. Wir überlaen e dem Leer, ie in Coinu- und Sinu-Terme aufzuchlüeln.