e sx y(x)dx 2. Direkt gemäss der Definition unter Verwendung der in der Vorlesung angeführten Eigenschaften

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1 Kapiel LAPLACE Tranformaion Die Laplace Tranformaion erwei ich al nüzlich zur Löung von linearen Dgln und Dgl- Syemen mi konanen Koeffizienen Dabei werden die Anfangbedingungen gleich miberückichig Definiion L[y(x)] e x y(x)dx Mehoden zur Beimmung der Laplace Tranformieren Direk gemä der Definiion 2 Direk gemä der Definiion uner Verwendung der in der Vorleung angeführen Eigenchafen 3 Mehode der Reihenenwicklung: Durch Einezen der Poenzreihe von y(x), y(x) k a kx k, in da Inegral und gliedweier Inegraion erhäl man k!a k k+ k (Die gliedweie Inegraion i erlaub, wenn die Reihe der Tranformieren für > γ konvergier) Beipiel: J i die Beel Funkion der Ordnung Null, dh: Dann folg: n (2n)!( ) n 2 2n n!n! y(x) J (x) 2n+ n ( ) n x 2n 2 2n n!n! n (2n )(2n 3)3 ( ) n 2 n n! 2n ( ) ( ) n 2 n n 2 +

2 4 Verwendung der Differenialgleichung von y(x): I die Laplace Tranformiere von y(x) zu berechnen, o ha man alo eine Dgl mi Anfangweren, welche y(x) erfüll, zu beimmen und die Dgl nach Laplace zu ranformieren Beipiel: Beimme L[y(x)] für y(x) in( x) Mi y (x) 2 x co( x) und y (x) 4x x co( x) 4x in( x) erhäl man die Dgl 4xy + 2y + y Der AW i y() (iehe Angabe) Die Laplace Tranformaion der Dgl liefer: 4 d d ( 2 F () f() f () ) + 2 (F () f()) F + (6 )F Trennung der Variablen und Inegraion liefern C e /4 3/2 Um die Inegraionkonane zu beimmen, verwende man den verallgemeineren Anfangweraz ( L[f(x)] und G() L[g(x)]): f(x) lim x g(x) F () lim G() Dami der Lime von F einen konanen Wer ergib, mu G() C G / 3/2 Wir wählen alo g(x) x, womi man G() L[ x] 2 π 3/2 erhäl Darau folg: F () lim G() lim C 3/2 e /4 2 π 3/2 C 5 Differeniaion bzw Inegraion nach einem Parameer: π 2 L[in( x)] π 2 3/2 e /4 Wenn y(x, a) von einem Parameer a abhängig i, dann folg au F (, a) L[y(x, a)] durch Differeniaion nach a: [ ] y(x, a) F (, a) L a a bzw durch Inegraion nach a: [ a ] L y(x, ã)dã a a a F (, ã)dã Beipiel: Beimme die Laplace Tranformiere von y(x) x co( ax) Gemä dem lezen Beipiel gil nach dem Ähnlichkeiaz, dh L[y(x)] L[y(ax)] F ( ), a con: a a L[in( aπ ax)] 2 3/2 e a/4 Differeniaion nach dem Parameer a liefer: Darau folg: L[ x co( ax) 2 ] a π 4 a 3/2 e a/4 L[ x co( ax)] aπ 2 3/2 4 e a/4 π(2 a) 4 5/2 e a/4 π(2 a) 8 a 5/2 e a/4

3 Aufgabe: Berechne L[ co( ax) x ] durch Inegraion von L[in(a x)] nach a Löung: ( ) π exp a2 4 6 Verwendung von Tabellen und Compuerprogrammen Anfang- und Grenzweräze Dabei i: L[f(x)] und G() L[g(x)] Zunäch gil: lim Anfangweräze: x f(x) lim F () x f (x) lim ( 2 F () f()) x f (n) (x) lim ( n+ F () n f() n f () f (n ) () ) f(x) x g(x) Grenzweräze: F () lim G() x f(x) lim F () F () G() f(x) lim x g(x) verallgemeinerer Anfangweraz verallgemeinerer Grenzweraz BEISPIELE Beimme die Laplace Tranformiere der Funkion f() e co Löung: (a) Direk: L[f()] e (+) co d Für par die Inegraion mi u und v e (+) co und noch eine weiere par Inegraion benöig man da Inegral I e α [a co(β) + b in(β)]d eα [(αa βb) co(β) + (αb + βa) in(β)], α 2 + β2

4 welche durch zweimalige par Inegraion herleibar i Speziell mi folg dann α ( + ), β, a und b e (+) co d e (+) ( + ) 2 + Durchführung der par Inegraion im Inegral für F () liefer: [ ( + ) co() + in()] e (+) ( + ) 2 + [ ( + ) co + in ] ( + ) 2 + e (+) [ (+) co +in ]d Au I erhäl man mi den Parameern α ( + ), β, a ( + ) und b für da leze Inegral: { } e (+) ( + ) 2 + ( + ) 2 + [( + )2 ] co + [ ( + ) ( + ) in ] ( + )2 [( + ) 2 + ] 2 (b) Miel verchiedener Eigenchafen der Laplace Tranformaion: Mi g(), g() e co folg: G () Weier folg mi g() e co und h() co : G() H( + ) nach dem Dämpfungaz und wegen L[co ] /( 2 + ) erhäl man d d + ( + ) 2 + ( + )2 [( + ) 2 + ] 2 2 Beimme die Laplace Tranformiere der Funkion Löung: f() coh(a) + a 2 inh(a), a R Wegen der Lineariä der Laplace Tranformaion gil L[f()] L[coh(a)] + a L[ inh(a)] 2 und weier wegen L[g()] G (), owie wegen L[coh(a)] /( 2 a 2 ) und L[inh(a)] a/( 2 a 2 ): 2 a a ( ) d a d 2 a 2 ( 2 a 2 ) 2 3 Beimme die Laplace Tranformiere de Inegral-Sinu: Si() : in τ τ dτ

5 Löung: Wegen dem Inegralaz und wegen [ ] L f(τ)dτ F () [ ] g(τ) L τ G(σ)dσ (iehe Vorleung) folg dann mi g(τ) in τ und L[in τ] /(σ 2 + ): L[Si()] dσ σ 2 + ( π 2 arcan ) arcco 4 Beimme die Laplace Tranformiere der Funkion { c für a f() für > Löung: L[f()] e f() d a e c d c [ e a ] 5 Beimme die Laplace Tranformiere der Funkion Löung: f() e c, c < Mi der Subiuion τ 2 geh da Laplace Inegral in L[f()] 2 über Quadraiche Ergänzung im Exponenen liefer e c/ d e τ 2 c/τ 2 dτ 2e 2 c Da vorliegende Inegral i vom Typ e ( τ c/τ) 2 dτ I(a, b) e (ax b/x)2 dx

6 (Erlaube) Differeniaion nach b liefer I ( b ( 2) ax b ) ( ) x x e (ax b/x)2 dx 2 4aI 2 (a + bx 2 ) e (ax b/x)2 dx [ 2a (a + bx )] e (ax b/x)2 dx 2 Subiuion: ξ(x) ax b/x (dξ/dx a + b/x 2 (an den Grenzen: ξ() und ξ( ) ) (a + bx ) e (ax b/x)2 dx e ξ2 dξ π 2 Dami erhäl man für I die gew Dgl mi der allgemeinen Löung I b 4aI 2 π, I(a, b) C(a)e 4ab + π/(2a) Um die Inegraionkonane zu beimmen, ez man b und erhäl I(a, ) e a2 x 2 dx C(a) + π/(2a) Da da Inegral den Wer π/(2a) ha, i C(a), womi folg I(a, b) e (ax b/x)2 dx π 2a Dami erhäl man mi a und b c : π c e 2 6 Beimme Löung: [ ] f() L Die raionale Funkion F () wird in Parialbrüche zerleg: Wegen der Lineariä der Umkehrranformaion folg f() L [F ()] [ ] 2 L + 2 [ ] 3 L + 5 [ ] + 6 L e e2

7 7 Beimme f() o, da gil L[f()] + 2 e Löungweg : E gil: + e d e 2 d, worau wegen L[h()] H () mi H() e / zunäch f() h() folg Zur Beimmung von h() verwende man die Lineariä : [ ] [ ] [ ] [ ] e L e L e + L L + Verwende man Beipiel 4, o gil: [ ] e L { für für > Ingeam erhäl man f() { für für > Löungweg 2: Wegen der Lineariä gil L [ + 2 Für den eren Aneil gil (iehe oben): ] [ ] [ ] e L e + L 2 e L [ e ] { für für > Den zweien Aneil zerleg man muliplikaiv und verwende den Falungaz 2 e P ()Q(), P (), Q() [ ] e L 2 e p() q() : g() Dabei i p() L [/] und q() L [e /] (iehe oben) Nach dem Falungaz i dann g() q(τ)dτ Für [, ] i dann g() und für > gil dτ Ingeam folg dann: { für f() für >

8 8 Beimme jene Funkion f(), deren Laplace Tranformiere durch gegeben i Löungweg: Wegen a b, < a < b, a b 2 (iehe Vorleung) erhäl man dann: f() ( fa () 2 [ ] g() L f ) b() ( ) dσ σ a σ b G(σ)dσ [ ], f c () : L c Wegen L [/ ] / π folg dann ingeam uner Verwendung de Dämpfungaze: [ ] f() L a b 2 π 3 [ea e b ] 9 Beimme die Funkion f(), deren Laplace Tranformiere i ( a) 3, a R Löungweg: ( a) + a a + 2a d ( ) ( a) 3 a ( a) 3 a d a Wegen L[g()] G () erhäl man mi Verwendung de Dämpfungaze, owie wegen L [/ ] / π [ ] f() L ( + 2a) ea ( a) 3 π Beimme die Funkion f(), deren Laplace Tranformiere ( ) a ln, a, b R, b i Löungweg: ln ( ) a b ( σ b ) dσ σ a

9 Wegen folg worau man erhäl [ ] g() G(σ)dσ L [ g() L b ] e b e a, a f() eb e a Beimme jene Löung y() der Dgl y 2y 4y, < <, die den Anfangbedingungen y() 3, y () 2 und y () genüg mi Hilfe der Laplace Tranformaion Löungweg: Die Laplace Tranformiere der Dgl: L[y ()] 2L[y ()] 4L[y()] Sez man Y () : L[y()], o folg darau wegen der Relaionen L[y ()] 3 L[y()] 2 y() y () y () und L[y ()] L[y()] y() ( 3 4)Y () Y () ( + ) 2 + ( + ) 2 + Die Umkehrranformaion liefer uner Verwendung de Dämpfungaze und der Lineariä [ ] [ ] [ ] y() 2L + L + L 2e 2 + e co e in 2 ( + ) 2 + ( + ) Beimme jene Löung y() der Dgl y + y 2y in, < <, die den Anfangbedingungen y(), y () /2 genüg mi Hilfe der Laplace Tranformaion Löungweg: Seze: Y () : L[y()] Mi L[y ()] 2 L[y()] y() y () und L[y ()] L[y()] y() (uner Verwendung der Anfangwere) laue die Laplace Tranformiere der Dgl ( 2 + 2)Y () ( 2 + ) 2

10 Durch Vereinfachung und Parialbruchzerlegung folg darau Y () ( 2 + ) 2 Da die Umkehrranformaion linear i, ennimm man au der Tabelle der Laplace Tranformaion y() L [Y ()] e 2 + 2e in co + + co in 2 3 Auf einem harmonichen Ozillaor (zb ein Federpendel) mi der Mae m, der Kreifrequenz ω der Anfangaulenkung y owie der Anfanggechwindigkei v wirk ab eine äuere Kraf f() Die mahemaiche Modellierung ergib dann da AWP d 2 y d + 2 ω2 y f() m : g(), y() y, y () v Uner Verwendung der Laplace Tranformaion i die Löung diee AWP peziell für eine konane Kraf f zu beimmen Löungweg: Seze: Y () : L[y()], G() : L[g()] Weier gil: L[y ()] 2 L[y()] y() y () und L[y ()] L[y()] y() Wegen der Lineariä folg ( 2 + ω 2 )Y () y v + G() Y () x 2 + ω + v ω + G() ω 2 Verwende man die lineare Umkehrranformaion und den Falungaz, o folg bzw auführlich y() L [Y ()] x co(ω) + v ω in(ω) + ω y() x co(ω) + v ω in(ω) + ω I peziell f() f con, o folg mi g(τ) f /m: in(ω) g() in[ω( τ)]g()dτ y() x co(ω) + v ω in(ω) + f [ co(ω)] mω2 Bemerkung: Au der Löung ieh man, da e ich um eine harmoniche Schwingung um die neue Ruhelage handel Dabei bezeichne k die Federkonane, au der bekannlich ω k f f mω 2 k m folg

11 4 Beimme - uner Verwendung der Laplace Tranformaion - jene Löung x x(), y y() de Differenialgleichungyem ẋ x + y, ẏ 8x + 3y, da den Anfangbedingungen x() y() 2 genüg Löungweg: X() : L[x()], Y () : L[y()] Tranformier man die Dgln nach Laplace, o erhäl man Dh X 2 X + Y, Y 2 8X + 3Y ( )X Y 2, 8X + ( 3)Y 2 Al Löung diee algebraichen Gleichungyem erhäl man (nach Eliminaion bzw Gau- Algorihmu) X() Rückranformaion: und Y () x() e + e 5 und y() 2e + 4e 5