Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

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1 Isiu für Aalysis SS7 Arbeisgruppe Agewade Aalysis 997 PD Dr Peer Chrisia Kusma Höhere Mahemaik I für die Fachrichug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug Aufgabe : (a) (i) Kurze Rechug liefer Folglich gil z = i, z 3 =, z 4 = i, =, z 5 = i z = (z + z 3 ) = i + = i ( + i)( i) = i ud somi Re(z) =, Im(z) = ud z = (ii) Die Rechug im leze Aufgabeeil läss die Vermuug z = ( i) N zu Diese wird durch vollsädige Idukio wie folg bewiese IA ( = ud = ): Es gil z = i = ( i), sowie z = = ( i) IS (,, + + ): Sei N Für alle k {,, + } gele die IV z k = ( i) k Da gil für + z + = z + iz + (b) Seze y = ( ) x Da gil 4 (x ) = = (IV) = ( i) + i ( i) = [ (x ) ] = Die Formel vo Cauchy-Hadamard liefer sup R = lim = = ( i) = ( i) + = y für de Kovergezradius R der Poezreihe i y Folglich is die Poezreihe (absolu) koverge für alle y = ( ) x (, ) ud diverge für alle y R \ [, ] Im reche Radpuk y = is die Poezreihe als harmoische Reihe diverge Wege y is die Poezreihe also geau für ( ) x y = [, ) x (, 3) koverge

2 Aufgabe : (a) Für jedes x R is wege der Seigkei des Cosiuses ( lim cos x + ) ( ) = cos x + lim = cos(x) =: f(x) Also gil f f pukweise auf R Ferer gil für jedes N ud jedes x R f (x) f(x) = (x cos + ) ( ) ( ) cos(x) = cos(x) cos si(x) si cos(x) ( ) ( cos(x) cos + si(x) si ) ( ) ( ) cos + si =: α Wege der Seigkei des Cosiuses ud des Siuses gil lim α = Folglich kovergier (f ) sogar gleichmäßig gege f (b) Seze vorbereied h(x) = si(x) x für jedes x R Gesuch is offebar die Nullsellemege N vo h Da si(x) = x x = si(x) für jedes x R, gil N [, ] Offesichlich is N Ageomme, es gäbe ei weieres x N \ {} Nach dem Mielwersaz exisiere da ei ξ ech zwische ud x (isbesodere < ξ < ) mi = h(x ) h() = h (ξ)(x ) = (cos(ξ) )x Da x, müsse cos(ξ) = bzw ξ πz gele Dies is ei Widerspruch, da ud ξ Also is asächlich N = {} πz (, ) = {} (c) Nach der leze Teilaufgabe is die eizige Nullselle vo si(x) x Folglich is g a für jedes a R als Komposiio seiger Fukioe auf R \ {} seig I gil ach der Regel vo l Hospial lim g x 4 a(x) x x l Hospial x si(x) x 4x cos(x) = Also is g a geau für a = seig (i ) l Hospial 4x 3 l Hospial x x cos(x) x si(x) Nach der Quoieeregel is g a auf R \ {} differezierbar, da dor si(x) x I gil ach der Regel vo l Hospial g (h) g () lim h h h 3 l Hospial 3h l Hospial h si(h) h h cos(h) h l Hospial 6 h cos(h) = 6 6h si(h) Also is g (i ) sogar differezierbar

3 Aufgabe 3: (a) (i) Subsiuio s =, ds = 6 4 ( ) d = d liefer 4 s ds = [l(s )]4 s= = l(3) (ii) Es gil (Phöix-aus-der-Asche-Trick TM ) }{{} e Par I cos() d = e cos() }{{} f g ud folglich (b) Sei α > Es gil e cos() d = }{{} si() d }{{} f g e Par I = e cos() + e si() 4 π l() l Hospial lim α Deshalb gib es ei C > derar, dass 5 e ( si() cos()) e cos() d = e π 5 l() α [, C] kompak is, gib es ei C > derar, dass Dami folg, dass l() α C + e cos() d α (α ) α α = für alle > C ausfäll Da das Iervall l() α für alle [, ) gil, also die Güligkei der Aussage im Hiweis Isbesodere (α = ) exisier ei C > so, dass für jedes si() l() l() l() C 3 3 gil Ferer gil 3 [ d b ] b = C für alle [, C] ausfäll = < Folglich kovergier das ueigeliche Iegral ach dem Majoraekrierium (absolu) (c) Bei der Differeialgleichug hadel es sich um eie Differeialgleichug mi geree Veräderliche Folglich dy dx = e y(x) si(x) e y dy = si(x) dx y(x) y() [e ξ] y(x) e ξ dξ = ξ=y() x si(η) dη = [cos(η)] x η= e y(x) = cos(x) y(x) = l ( cos(x)) 3

4 Aufgabe 4: (a) Bei der Differeialgleichug hadel es sich um eie ihomogee lieare Differeialgleichug zweier Ordug Das charakerisische Polyom laue p(λ) = λ + λ ud ha die Nullselle λ = 4 + =, λ = Dami ha die allgemeie Lösug der homogee Differeialgleichug die Gesal wobei C, C R freie Kosae sid y h (x) = C e x + C e x, Da keie Nullselle des charakerisische Polyoms is, laue der Asaz vo der Form der reche Seie für eie parikuläre Lösug y p der ihomogee Differeialgleichug y p (x) = Ce x, mi der zu besimmede Kosae C R Eiseze i die Differeialgleichug liefer Dami is Ce x Ce x Ce x = e x C = y(x) = y p (x) + y h (x) = e x + C e x + C e x die allgemeie Lösug der ihomogee Gleichug mi der Ableiug y (x) = e x C e x + C e x ud freie Kosae C, C R Eiseze der Afagsbediguge führ auf y() = + C + C =, y () = C + C = C = 3, C = 6 Also is y(x) = y p (x) + y h (x) = e x + 3 e x + 6 ex die Lösug des gegebee Afagswerproblems (b) Brige zuächs die erweiere Marix (A b) durch Zeileumformuge auf Zeilesufeform 5 ( ) ( ) ( ) α + α α α α α α : I diesem Fall is die Zeileormalform durch α α ( ) α+ α gegebe Ma lies ab, dass das Gleichugssysem A x = b eideuig lösbar is mi α+ x = + α+ α+ 4 α+ α+

5 α = : I diesem Fall is die Zeileormalform durch gegebe Mi dem ( )-Ergäzugsrick lies ma Ker(A) = spa ab Weieres Ablese liefer eie parikuläre Lösug x = des Gleichugssysems A x = b Allgemeie Lösug laue demach x = + λ mi freiem Parameer λ R α = : I diesem Fall is die Zeileormalform durch gegebe Ma lies ab, dass das Gleichugssysem A x = b keie Lösuge ha hp://wwwmahkiedu/iaa/lehre/hmphys6w/ 5