Aufgabe 32 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen und bestimmen Sie ihr Konvergenzverhalten

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1 Lösuge zur Fuktioetheorie Aufgabe 32 Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe ud bestimme Sie ihr Kovergezverhalte am Rade des Kovergezkreises: (): (2): (3): 2 Hiweis: Beutze für (2) ( N ) ( ) a b =b N+ a k + a k (b b + ) k= k= Lösug: Erierug: Weierstraßsches Majoratekriterium (für Fuktioereihe): a kovergete Reihe mita R + N 0,U C,f :U C Fuktioe mit f := sup z U f (z) a N 0. Da gilt: f ist gleichmäßig koverget aufu zu (): (geometrische Reihe) Behauptug: { koverget, z < ist diverget, z Beweis: Der Kovergezradius r lässt sich etweder mit der Formel vo Cauchy-Hadamard r = lim sup N a = lim sup N = oder mit der Quotieteformel r a = a + bereche. Beide Methode liefer us de Kovergezradius r =. Damit kovergiert die geometrische Reihe für jedesz aus dem Iere der offee (Eiheits-)KreisscheibeB (0) = E ={z C z <} absolut ud divergiert für jedes z aus dem Äußere dieser Kreisscheibe. Es bleibt das Kovergezverhalte auf dem Rad des KovergezkreisesB (0) zu utersuche.. Möglichkeit: Seiz C mit z =, alsoz B (0). Da gilt: ( z ) N keie Nullfolge = ( ) N keie Nullfolge = diverget Damit ist die Reihe auf dem gesamte Rad B (0) diverget. 2. Möglichkeit: (Polarkoordiate). Seiz C mit z =, alsoz B (0). Da lässt sichz i Polarform eideutig darstelle durchz=e iϕ mitϕ ] π,π]. Es gilt: = (e iϕ) = cos(ϕ) +i si(ϕ)

2 Lösuge zur Fuktioetheorie Die Reihe auf der like Seite dieser Gleichug kovergiert, falls jede der reelle (!!!) Reihe auf der rechte Seite kovergiert. Die Reihe auf der like Seite dieser Gleichug divergiert, falls midestes eie der reelle Reihe auf der rechte Seite divergiert. Es gilt u: ϕ ] π,π]\{ π 2,π 2 } = (cos(ϕ)) N keie Nullfolge = cos(ϕ) divergiert ϕ ] π,π]\{0,π} = (si(ϕ)) N keie Nullfolge = si(ϕ) divergiert Damit gilt für jedes Argumetϕ ] π,π], dass midestes eie der Reihe auf der rechte Seite (ud folglich auch die Reihe auf der like Seite) divergiert. Damit ist die Reihe auf dem gesamte Rad B (0) diverget. zu (2): Behauptug: koverget, z < ist koverget, z = udz diverget, z = udz= diverget, z > Beweis: Der Kovergezradius r lässt sich etweder mit der Formel vo Cauchy-Hadamard r = lim sup N a = = lim sup N oder mit der Quotieteformel r a a = bereche. Beide Methode liefer us de Kovergezradius r =. Damit kovergiert die Reihe für jedesz aus dem Iere der offee (Eiheits-)KreisscheibeB (0) = E ={z C z <} absolut ud divergiert für jedes z aus dem Äußere dieser Kreisscheibe. Es bleibt das Kovergezverhalte auf dem Rad des KovergezkreisesB (0) zu utersuche. Dazu seiz C mit z =, alsoz B (0). Da lässt sichz i Polarform auch eideutig darstelle durchz=e iϕ mitϕ ] π,π]. Wir uterscheide u zwei Fälle:. Fall: (z B (0) mitz=bzw.ϕ=0). I diesem Fall erhalte wir die harmoische Reihe, die bekatlich divergiert z = = = Damit divergiert die Reihe im Radpukt z =. 2. Fall: (z B (0) mitz bzw.ϕ ] π, 0 ]0,π]). Zuächst gilt wege des Hiweises ud der (edliche) geometrische Summe: ( Hiweis z k + z k ( N + ) )] + k= k= ( N z z k + z z k ( N + ) )] + k=0 k=0 z zn N N + z + ] z z ( + ) 2

3 Lösuge zur Fuktioetheorie z N z lim N N + + z lim z N N + lim ( e iϕ ) N + lim z z + z ] ( + ) N + }{{} =0 N + + lim + lim cos(ϕn) + lim +i lim N + }{{} =0 ] ( + ) (+) ] ( + ) si(ϕn) N + }{{} =0 ( + ) lim + ( + ) }{{} = ] ( + ) z C mit z = udz Es bleibt zu zeige, dass kovergiert. Dazu verwede wir das Weierstraßsche Majoratekriterium (für Fuktioereihe). Betrachtea := (+) für N. Offebar gilta R + N. Desweitere wisse wir (aus der Aalysis ), dass die Reihe gege kovergiert. Betrachte uu := B (0)\{} udf : B (0)\{} C mitf (z) := Abschätzug für das Supremum durch f = sup f (z) = sup z B (0)\{} z = ( + ) = sup z = z z z (+) (+) z ( + ) = ( + ) Das Weierstraßsche Majoratekriterium (für Fuktioereihe) liefert us jetzt ( + ) ist absolut koverget z C mit z = udz ] ud N. Da erhalte wir die N ud daher ist auch fürz C mit z = udz absolut koverget. Damit ist die Reihe auf dem gesamte Radbereich B (0)\{} koverget ud iz= diverget. Zusatz: Es gilt sogar l( z) = l( z) + + z C mit z = udz ( + ) z ud damit isgesamt = l( z) z C mit z = udz zu (3): Behauptug: 2 ist { koverget, z diverget, z > Beweis: Der Kovergezradius r lässt sich etweder mit der Formel vo Cauchy-Hadamard r = lim sup N a = = lim sup N 2 oder mit der Quotieteformel r a a + 2 (+) 2 ( + ) = 3

4 Lösuge zur Fuktioetheorie bereche. Beide Methode liefer us de Kovergezradius r =. Damit kovergiert die Reihe für jedesz aus dem Iere der offee (Eiheits-)KreisscheibeB (0) = E ={z C z <} absolut ud divergiert für jedes z aus dem Äußere dieser Kreisscheibe. Es bleibt das Kovergezverhalte auf dem Rad des KovergezkreisesB (0) zu utersuche. Dazu seiz Cmit z =, alsoz B (0). Um die Kovergez auf dem Rad zu zeige, verwede wir ereut das Weierstraßsche Majoratekriterium. Betrachtea := für N. Offebar gilta 2 R + N. Weiter wisse wir (aus der Aalysis ), dass die Reihe gege π2 2 6 kovergiert. Betrachte uu := B (0) udf : B (0) Cmit f (z) : ud N. Da erhalte wir die Abschätzug für das Supremum durch 2 f = sup f (z) = sup z B (0) z = 2 = sup z = z 2 = 2 N Das Weierstraßsche Majoratekriterium (für Fuktioereihe) liefert us daher ist absolut koverget z C mit z = 2 Damit ist die Reihe auf dem gesamte Rad B (0) absolut koverget. Aufgabe 33 Seif eie i gaz C holomorphe Fuktio, die auf R reellwertig ist. Zeige Sie: f(z) =f(z) Lösug: Daf : C Cholomorph auf gaz C ist (def ist eie gaze Fuktio), lässt sichf i jedem beliebige Puktz 0 C (ach dem Potezreiheetwicklugssatz) i eie Potezreihe etwickel, d.h. z 0 C :f(z) = Speziell fürz 0 = 0 erhalte wir also: f(z) = a (z z 0 ), wobeia = f () (z 0 )! a, wobeia = f () (0)! (Die Ableituge ia existiere, da wir zum eie wisse, dassf holomorph i C ist ud zum adere wisse, dass eie Fuktio, die eimal komplex-differezierbar ist, da auch uedlich oft komplexdifferezierbar ist.) Da f reellwertig i R ist, sid auch alle Ableituge i R reellwertig, d.h. f(r) R = f () (R) R N (De: Betrachte wirf(z) = Re(f(z)) +i Re(f(z)), da gilt zuächst Im(f(z)) = 0 z R (daf i R reellwertig). Da uf () (z) = (Re(f(z))) () +i Im(f(z))) () gilt (daf holomorph i C), muss (Im(f(z))) () = 0 N gelte.) Daher gilt jetztf () (0) R N ud somit a R N Komme wir schlussedlich zu userer Gleichug: f(z) () = a (5) a = a (2) a () =f(z) a (3) z C 4 a (4) a

5 Lösuge zur Fuktioetheorie (): Potezreiheetwicklug vof iz 0 = 0, (2): z; z, (3): Additivität der komplexe Kojugatio, (4): Multiplikativität der komplexe Kojugatio, (5):a R N. Aufgabe 34 Bestimme Sie die Nullstelleordug vo (): si(z) (2): ta(z) (3): si 2 (z) (4): si(z 2 ) i de jeweilige Nullstelle. Lösug: Erierug: Nullstelleordug:U C offe,f :U C holomorph iu,z 0 U mitf(z 0 ) = 0 (d.h.z 0 ist eie Nullstelle vof). Da besitztf iz 0 eie Nullstelle der Ordugk N f () (z 0 ) = 0 N 0 mit 0 <k : ud f (k) (z 0 ) = 0 zu (a): Nach Aufgabe 9(c) ist die Fuktio si(z) auf gazu := C holomorph ud weiter ist die Nullstellemege des komplexe Sius si : C C gegebe durch πz ={kπ k Z} Seik Z beliebig, so gilt si(kπ) = 0 ] d dz si(z) (kπ) = cos(kπ) 0 Damit ist die Ordug der Nullstellekπ für jedesk Z gleich, d.h. ord kπ (si(z)) = zu (b): Nach Aufgabe 9(d) ist die Fuktio ta(z) aufu := C\{ π 2 +kπ k Z} holomorph ud weiter ist die Nullstellemege des komplexe Tages ta : C\{(k + si(z) 2π k Z)} C (wege ta(z) = cos(z) ) gegebe durch πz ={kπ k Z} Seik Z beliebig, so gilt ta(kπ) = 0 ] d dz ta(z) (kπ) = cos2 (kπ) + si 2 (kπ) cos 2 = (kπ) cos 2 (kπ) 0 Damit ist die Ordug der Nullstellekπ für jedesk Z gleich, d.h. ord kπ (ta(z)) = zu (c): Nach Aufgabe 9(c) ist die Fuktio si(z) (ud daher auch si 2 (z)) auf gazu := C holomorph ud weiter ist die Nullstellemege der Fuktio si 2 (z) gegebe durch πz ={kπ k Z} 5

6 Lösuge zur Fuktioetheorie. Möglichkeit: (Ordugsfuktio). Aus de Recheregel der Ordugsfuktio ord ud aus Aufgabeteil (a) folger wir leicht ord kπ (si 2 (z)) = ord kπ (si(z) si(z)) = ord kπ (si(z)) + ord kπ (si(z)) = + = 2 }{{}}{{} = = 2. Möglichkeit: (Differeziere). Es gilt: si 2 (kπ) = 0 d (z)] dz si2 (kπ) = 2 si(kπ) cos(kπ) = 0 ] d 2 dz 2 si2 (z) (kπ) = 2 cos 2 (kπ) 2 si 2 (kπ) 0 Damit ist die Ordug der Nullstellekπ für jedesk Z gleich 2, d.h. ord kπ (si 2 (z)) = 2 zu (d): Nach de Aufgabe 9(a) ud 9(c) sid die Fuktioz 2 ud si(z) auf gaz C holomorph. Somit ist die Kompositio si(z 2 ) auch auf gazu := C holomorph ud weiter ist die Nullstellemege der Fuktio si(z 2 ) gegebe durch ± πz ={± kπ k Z} Seik Z beliebig.. Fall: (k = 0). si(0) = 0 d )] dz si(z2 (0) = 0 ] d 2 dz 2 si(z2 ) (0) 0 Damit ist die Ordug der Nullstelle 0 gleich 2, d.h. ord 0 (si(z 2 )) = 2 2. Fall: (k 0). si((± kπ) 2 ) = 0 mitk 0 d )] dz si(z2 (± kπ) 0 mitk 0 Damit ist die Ordug der Nullstellekπ für jedesk Z mitk 0 gleich, d.h. ord kπ (si(z 2 )) = mitk 0 Aufgabe 35 SeiR>0udf :B R (0) Ceie icht kostate ud holomorphe Fuktio. Zeige Sie, dass die Abbildug ρ :]0,R R mitr sup f(z) =: ρ(r) z =r eie streg mooto wachsede Fuktio ist. Lösug: 6

7 Lösuge zur Fuktioetheorie Erierug: Maximumprizip:G CGebiet,f :G Cholomorph igudf besitze ei Betragsmaximum im Iere vod(d.h. a D z D : f(z) f(a) ). Da istf kostat id. Idetitätssatz für aalytische Fuktioe: G C Gebiet udf,g :G C holomorph. Da sid die folgede Aussage äquivalet: ():f(z) =g(z) z G (2): Die Mege{z G f(z) =g(z)} hat eie Häufugspukt ig (3): c G N 0 :f () (c) =g () (c) Potezreiheetwicklugssatz:U C offe,f :U C holomorph. Weiter seiec Cudr ]0, + mitb r (c) U. Da lässt sichf lokal (d.h. auf der offee KreisscheibeB r (c)) durch eie Potezreihe darstelle f(z) = a (z c) z B r (c), wobeia = f () (c)! = f(z) 2πi B r(c) (z c) +dz, N 0. Möglichkeit: (Maximumsprizip, Idetitätssatz). i) z.z.:ρmooto wachsed (d.h. r,r 2 ]0,R mitr <r 2 :ρ(r ) ρ(r 2 )) Wir zeige zuächst, dass f de betragsmäßig größte Wert auf dem Rad aimmt: Ageomme f besitzt im Iere vob R (0) ei Betragsmaximum, da folgt aus dem Maximumprizip, dassf i B R (0) kostat ist, was ei Widerspruch zur Voraussetzug der Aufgabe ist. Damit befidet sich das Betragsmaximum vof auf dem Rad vob R (0). Wähler ]0,R ud betrachte die kompakte TeilmegeB r (0) ={z C z r } B R (0). Daf holomorph ib R (0) ist, istf isbesodere holomorph ib r (0) ud stetig ib r (0). Ageommef immt sei Betragsmaximum im Iere vob r (0) a, so folgt aus dem Maximumprizip, dassf i B r (0) kostat ist, ud weiter folgt mit dem Idetitätssatz für aalytische Fuktioe, dassf sogar ib R (0) kostat ist, was ei Widerspruch zur Voraussetzug der Aufgabe ist. Daher immtf sei Betragsmaximum ib r (0) auf dem Rad a. Daraus folgt: r,r 2 ]0,R mitr <r 2 :ρ(r ) = sup z =r f(z) sup z =r 2 f(z) =ρ(r 2 ) ii) z.z.:ρstreg mooto wachsed (d.h. r,r 2 ]0,R mitr <r 2 :ρ(r )<ρ(r 2 )) Seier,r 2 ]0,R mitr <r 2. Ageomme es gilt sup f(z) = sup f(z) z =r z =r 2 da besitztf im Iere vob r2 (0) ei Betragsmaximum (d.h. es gibt eia B r2 (0) z D: f(z) f(a) ). Nach dem Maximumprizip istf damit kostat ib r2 (0) ud somit folgt aus dem Idetitätssatz für aalytische Fuktioe, dassf sogar ib R (0) kostat ist, was eie Widerspruch zur Voraussetzug der Aufgabe liefert. Damit ka die ageommee Gleichheit icht gelte ud folglich ist ρ streg mooto wachsed, d.h. r,r 2 ]0,R mitr <r 2 :ρ(r ) = sup z =r f(z) < sup z =r 2 f(z) =ρ(r 2 ) 2. Möglichkeit: (Potezreiheetwicklugssatz, Polarform). z.z.:ρstreg mooto wachsed (d.h. r,r 2 ]0,R mitr <r 2 :ρ(r )<ρ(r 2 )) Nach Voraussetzug istf ib R (0) holomorph. Daher lässt sichf ach dem Potezreiheetwicklugssatz lokal (d.h. auf der offee KreisscheibeB R (0)) durch eie Potezreihe mit Etwicklugspuktc=0 darstelle durch f(z) = a z B R (0), wobeia = f () (0), N 0! 7

8 Lösuge zur Fuktioetheorie Betrachte die eideutige Darstellug i Polarform voz=re iϕ mitr= z ]0,R udϕ ] π,π. Seie ur,r 2 ]0,R mitr <r 2, da gilt ρ(r ) = sup f(z) = sup a z =r z =r = ( < sup a r 2 e iϕ) = sup ϕ ] π,π] sup ϕ ] π,π] z =r 2 ( a r e iϕ) a = sup z =r 2 f(z) =ρ(r 2 ) Da die Wahl vor,r 2 ]0,R mitr <r 2 beliebig war, istρfolglich streg mooto wachsed auf ]0,R. 8