Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

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Günter Sommer
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1 Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla Aufgabe 8 Übung a Die Kurve γ : 1,1 R 3 sei durch arcsin γ = 1 1,1 gegeben. Is γ eine reguläre Kurve? Besimmen Sie ihre Länge Lγ und naürliche Parameerisierung. b Sei f : R 3 R definier durch x y z, x,y,z R 3 \ {0,0,0}, f x,y,z := x 4 +y 4 +z 4 0, x,y,z = 0,0,0. Besimmen Sie alle x,y,z R 3 in denen f pariell differenzierbar is. a Es gil 1 1 γ = 1 1 bzw. γ 1 = = für alle 1,1. Deshalb is γ regulär. Ferner gil: s := γ τ dτ = arcsin arcsin 1 = arcsin + π 1 für alle [ 1,1]. Es is also Lγ = s1 = π. Die Umkehrfunkion s 1 : [0, π] R is durch s 1 = sin π = cos für alle [0, π] gegeben. Die naürliche Parameerisierung von γ is dann durch γ s 1 = γ cos = cos sin π 1

2 für alle [0, π] gegeben. b Behaupung: f is pariell differenzierbar auf R 3 und differenzierbar auf R 3 \ {0,0,0}. Beweis: Sei x,y,z R 3 \ {0,0,0}. Nach den Ableiungsregeln für skalarwerige Funkionen gil x,y,z = xy zx 4 + y 4 + z 4 4x 5 y z x 4 + y 4 + z 4, x,y,z = x yzx 4 + y 4 + z 4 4x y 5 z x 4 + y 4 + z 4 und z x,y,z = x y x 4 + y 4 + z 4 4x y z 4 x 4 + y 4 + z 4. Diese pariellen Ableiungen sind seig auf R 3 \ {0,0,0}. Dami is f differenzierbar auf R 3 \ {0,0,0}. Sei nun x,y,z = 0,0,0. Für 0 gil 1 f,0,0 f 0,0,0 = 0 0 für 0. Somi is 0,0,0 = 0. Analog erhäl man 0,0,0 = 0 = 0,0,0. Insgesam is z dami f pariell differenzierbar auf R 3. Wir zeigen nun noch, dass f in 0,0,0 nich differenzierbar is. Angenommen f is in 0,0,0 differenzierbar. Dann gil nach Saz 19.6, dass für h R 3 \ {0,0,0} 1 h f h 1,h,h 3 f 0,0,0 A h 1 h h 3 0 für h 0,0,0 mi A = 0,0,0, 0,0,0, z 0,0,0 = 0,0,0. Zusammen mi f 0, 0, 0 = 0 ergib sich durch h n := 1 n, 1 n, 1 n für alle n N. Es gil h n 0,0,0 und für n, was 0,0,0. f h lim 1,h,h 3 = 0. Sei nun h n h 1,h,h 3 0,0,0 h definier n N f h n n 5 3n h n = 4 = 1 3n f h lim 1,h,h 3 = 0 widersprich. Also is f nich differenzierbar in h 1,h,h 3 0,0,0 h Aufgabe 9 Tuorium a Die Kurve γ : [0,π] R 3 sei durch cos γ = sin π [0,π]

3 gegeben. Is γ eine reguläre Kurve? Besimmen Sie ihre Länge Lγ und naürliche Paramerisierung. b Seien n N, k R \ {0} und f : R n R definier durch x k,x 0, f x := 0,x = 0. Besimmen Sie alle x R n in denen f pariell differenzierbar is und geben Sie, wenn möglich, f an. a Es gil sin γ = cos π bzw. γ = für alle [0,π]. Deshalb is γ regulär. Ferner gil: sin + cos + 4π = s := γ τ dτ = π π 0 für alle [0,π]. Es is also Lγ = sπ = π + 4. Die naürliche Parameerisierung von γ is durch cos π 4+π γ s 1 π = γ = sin π 4 + π 4+π für alle [0, π + 4] gegeben. 4+π b Für x 0 gil f x = x x n k, womi f dor pariell differenzierbar is mi j x = x j x x n k 1 = x j x k j {1,...,n}. In x = 0 gil für 0 f 0 + e j f 0 = k. Somi exisier df j 0 für k 1 nich für k < 1 sreb der Ausdruck dem Berage nach gegen unendlich, für k = 1 ergeben sich unerschiedliche einseiige Grenzwere ±1. Folglich is f für k 1 auf R n \ {0} pariell differenzierbar, da alle pariellen Ableiungen exisieren und seig sind. In 0 exisier keine parielle Ableiung, womi f nich pariell differenzierbar is. 3

4 Für k > 1 exisier der obige Grenzwer für 0 und liefer j 0 = 0. x = x j x k x x k = x j k 1 x 0 0, womi alle pariellen Ableiungen auf ganz R n exisieren und seig sind. In diesem Fall is f also auf ganz R n pariell differenzierbar. Die Ableiung von f is gegeben durch x k x,x 0, f x = 0,x = 0 für k > 1. Aufgabe 30 Übung Berachen Sie die Funkion f : R R, welche durch für alle x,y R gegeben is. a Zeigen Sie, dass f auf R seig is. y 3 x y für x,y 0,0 f x,y = x +y 0 für x,y = 0,0 b Berechnen Sie für alle x,y R alle pariellen Ableiungen von f. c Sind die pariellen Ableiungen von f im Punk 0,0 seig? d Besimmen Sie die Richungsableiung 0,0 für jede Richung v, für die das möglich is. Für welche v gil 0,0 = f 0,0 v? a Klar: f is als Komposiion seiger Funkionen seig in allen x,y 0,0. Ferner gil y3 x y x + y = y y x x + y y y + x x + y = y für alle x,y 0,0. Deshalb gil in der Ta lim x,y 0,0 f x,y = 0 = f 0,0. Also is f seig auf R. b Für x,y 0 gil nach der Quoienenregel bzw. Im Punk 0,0 gil hingegen x,y = y xx + y y x x x + y = 4xy3 x + y x,y = 3y x x + y y 3 x yy x + y = y4 + 4x y x 4 x + y. f h,0 f 0, ,0 = 0 h 0 h h 0 h 4

5 bzw. h f 0,h f 0,0 3 h 0,0 h 0 h h 0 h = 1. c Berache x k,y k := 1 k, 1 k 0,0 für k. Es is Also is unseig bei 0,0. x k,y k = 4 1 k k 4 = 1 0 = 0,0. Berache x k,y k = 1 k,0 0,0 für k. Es is Also is auch unseig bei 0,0. x k,y k = 1 k 4 1 d Sei v = v x,v y R \ {0}. Nach Definiion gil: Ferner is f 0,0 v = v y. Also gil: k 4 = 1 1 = 0,0. f v f 0,0 3 vy 3 vxv y 0, vx + vy = v3 y vxv y vx + vy 0,0 = f 0,0 v v3 y v xv y v x + v y = v y v 3 y v xv y = v xv y + v 3 y v xv y = 0 v x = 0 v y = 0 Aufgabe 31 Tuorium Berachen Sie die Funkion g : R R, welche durch für alle x,y R gegeben is. a Zeigen Sie, dass g auf R seig is. sinx 3 +y 3 für x,y 0,0 gx,y = x +y 0 für x,y = 0,0 b Berechnen Sie für alle x,y R alle pariellen Ableiungen von g. c Sind die pariellen Ableiungen von g im Punk 0,0 seig? d Besimmen Sie die Richungsableiung 0,0 für jede Richung v, für die das möglich is. Für welche v gil 0,0 = g0,0 v? 5

6 a Klar: g is als Komposiion seiger Funkionen seig in allen x,y 0,0. Es is sinx = sin x für alle x [ π,π]. Ferner gil sinx x für alle x [0,. Es folg sinx3 + y 3 x + y = sin x3 + y 3 x + y x3 + y 3 x + y max{x,y} 3 { }} { x 3 + y 3 x + y } {{ } max{x,y} max{x,y} für alle x,y 0,0 mi max{x,y} 1. Wenn x + y = x,y 0, so gil sowohl x 0 als auch y 0, somi auch max{x,y} 0. Deshalb gil in der Ta lim x,y 0,0 gx,y = 0 = g0,0. Also is g seig auf R. b Wegen gx,y = gy,x für alle x,y R, reich es aus, lediglich auszurechnen. Es is dann x,y = y,x für alle x,y R. Für x,y 0 gil nach der Quoienenregel Im Punk 0,0 gil hingegen x,y = 3x x + y cosx 3 + y 3 x sinx 3 + y 3 x + y. gh,0 g0,0 sinh 3 l Hospial 3h cosh 3 0,0 h 0 h h 0 h 3 h 0 3h = 1. c Berache x k,y k := 0, 1 k 0,0 für k. Es is Also sind und unseig bei 0,0. d Sei v = v x,v y R \ {0}. Nach Definiion gil: x k,y k = 0 1 k 4 = 0 1 = 0,0. gv g0,0 sin 3 vx 3 + vy 3 0, vx + vy Ferner is g0,0 v = v x + v y. Also gil: l Hospial 3 vx 3 + vy 3 cos 3 vx 3 + vy vx + vy = v3 x + vy 3 vx + vy 0,0 = g0,0 v v3 x + v 3 y v x + v y = v x + v y v 3 x + v 3 y = v 3 x + v 3 y + v xv y + v x v y v xv y = v x v y v x = 0 v y = 0 v x = v y 6

7 Aufgabe 3 Übung Berachen Sie die Funkionen f : D R 3 und g : E R mi D = { x,y R : x,y > 0 } und E = { x,y,z R 3 : z > 0 }, sowie f x,y = logxy,cosx + y,e x und gx,y,z = e x + yz + logz a Berechnen Sie die Ableiungen f,g. b Berechnen Sie mi Hilfe der Keenregel die Ableiung g f. c Berechnen Sie die Ableiung g f, indem Sie g f explizi berechnen und dann ableien. a Da alle parielle Ableiungen seig sind, is f differenzierbar und es gil für alle x,y D: 1 x,y 1 x,y 1 1 x y f x,y = x,y x,y = x sinx + y sinx + y 3 x,y 3 x,y e x 0 Ebenfalls is g differenzierbar und es gil für alle x,y,z E: g x,y,z = x,y,z x,y,z z x,y,z = e x z y + 1 z b Für alle x,y D gil g f x,y = xy e x cosx y + e x. Demensprechend ergib sich mi Hilfe der Keenregel g f x,y = g f x,y f x,y = y xe x sinx + y e x cosx + y x e x sinx + y für alle x,y D. c Direke Rechnung ergib für alle x,y D. Demensprechend is für alle x,y D. g f x,y = = y + e x cosx + y x sinx + y + 1 x e x sinx + y g f x,y = xy + e x cosx + y + x g f g f = y + e x cosx + y xe x sinx + y + 1 x e x sinx + y = y + e x cosx + y x sinx + y + 1 x e x sinx + y 7

8 Aufgabe 33 Tuorium Berachen Sie die Funkionen f,g,h : R R, welche durch f x,y = x,y, gx,y = sinxy,e x+y, hx,y = e x cosy,sinhx für alle x,y R gegeben sind. a Berechnen Sie die Ableiungen f,g,h. b Berechnen Sie mi Hilfe der Keenregel die Ableiungen g f,h g. c Berechnen Sie die Ableiungen g f,h g, indem Sie g f bzw. h g explizi berechnen und dann ableien. a Da alle parielle Ableiungen seig sind, sind f, g und h differenzierbar und es gil für alle x,y R 1 f x,y = x,y 1 x,y x 0 x,y x,y =, 0 y 1 g x,y = x,y 1 x,y y cosxy x cosxy x,y x,y = e x+y e x+y, sowie h 1 h x,y = x,y h 1 x,y e h x,y h x,y = x cosy e x siny. coshx 0 b Für alle x,y R gil g f x,y = h gx,y = y cosx y x cosx y e x +y e x +y, sowie e sinxy cose x+y e sinxy sine x+y. coshsinxy 0 Demensprechend ergib sich mi Hilfe der Keenregel xy g f x,y = g f x,y f cosx y x y cosx y x,y = xe x +y ye x +y, sowie = h g x,y = h gx,y g x,y y cosxycose x+y e sinxy e x+y e sinxy sine x+y x cosxycose x+y e sinxy e x+y e sinxy sine x+y y cosxy coshsinxy x cosxy coshsinxy für alle x,y R. c Direke Rechnung ergib g f x,y = sinx y e x +y, sowie h gx,y = e sinxy cose x+y sinhsinxy. 8

9 für alle x,y R. Demensprechend is g f x,y = g f 1 g f g f 1 g f = y + e x cosx + y xe x sinx + y + 1 x e x sinx + y = y + e x cosx + y x sinx + y + 1 x e x sinx + y, sowie = h g 1 h g 1 h g x,y = h g h g y cosxye sinxy cose x+y e sinxy e x+y sine x+y x cosxye sinxy cose x+y e sinxy e x+y sine x+y y cosxy coshsinxy x cosxy coshsinxy für alle x,y D. 9

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