Fakultät Grundlagen. s = t. gleichförm ig

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Dagmar Kirchner
vor 7 Jahren
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1 Experimenierfeld Freier Fall und Würfe. Einführung Die Kinemaik al Lehre der Bewegungen befa ich nich mi den Urachen on Bewegungabläufen, ondern lediglich mi den Bewegungen an ich. Auch die Audehnung und Srukur der beracheen bewegen Körper bleib unberückichig indem die Körper al Maenpunke berache werden. Ein derariger Anaz kann, je nach Bewegung de Maenpunke für ein Elemenareilchen, ein Flugzeug oder aber für einen Himmelkörper ahaf ein. Zunäch ollen Kreibewegungen (Roaionen) augechloen werden und lediglich geradlinige Bewegungen berache werden (Tranalaionen). Eindimenionale Bewegungen Die weenlichen Merkmale der Bewegung eine Maenpunke laen ich berei bei einer Bewegung in einer Dimenion darellen. Einfache und gleichzeiig anchauliche Beipiel i die Fahr eine Pkw enlang einer geraden Sraße. Beweg ich da Fahrzeug in gleichen Zeiabänden um gleiche Sreckenabchnie weier, o prich man on einer gleichförmigen Bewegung. Da Verhälni on zurückgelegem Weg zur errichenen Zei wird in einem Weg-Zei-Diagramm (--Diagramm) dargeell. Mahemaich ergib dieer Quoien die Seigung der Geraden. Phyikalich bezeichnen wir dieen Quoienen al die Gechwindigkei de Pkw. gleichförm ig Man erkenn, da die Gechwindigkei zweifello konan i. Somi lä ich leich da Gechwindigkei-Zei-Diagramm (--Diagramm) de Vorgang zeichnen. Au der Grafik i der au der Bewegunggleichung erichliche Zuammenhang zwichen zurückgeleger Srecke und Zei und beracheem Zeiabchni anchaulich mi dem Flächeninhal uner der Kure kon. erkennbar.

2 Da --Diagramm einer gleichförmigen Bewegung / m gramm, da Bechleunigung-Zei-Diagramm (a--diagramm) ein riialer Zuam. >!. / Da --Diagramm einer gleichförmigen Bewegung / m/ Fläche. Fläche. / Da e ich um eine gleichförmige Bewegung handel ergib ich für da drie Dia-

3 menhang. Selberändlich darf bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung keine Bechleunigung aufreen, da da Fahrzeug on eine Gechwindigkei erniedrigen, erhöhen, oder die Richung einer Gechwindigkei ändern würde. Da a--diagramm i omi eine Gerade mi a() für alle beracheen Zeien. Wenn wir on gleichförmigen Bewegungen zu ungleichförmigen Bewegungen ü- bergehen, reich die Definiion der Gechwindigkei mi Hilfe einer endlichen Zeipanne nich mehr au. Ungleichförmige Bewegungen ändern im Allgemeinen zu jedem beliebigen Zeipunk ihren Gechwindigkeiberag. Somi mu bei der Definiion der Gechwindigkei der Übergang om endlichen Zeiinerall zum beliebig kleinen Zeiabchni d ( ) durchgeführ werden. Die enprich in der Mahemaik dem Übergang om Differenzenquoienen zum Differenzialquoienen. Dami erhalen wir eine allgemeingülige Definiion der Gechwindigkei : ( d ) lim d Der Grenzwer (lim lime ) de Differenzenquoienen liefer die Ableiung der Funkion () und omi die Seigung der Kure zu einem beimmen Zeipunk im --Diagramm. Die Gechwindigkei ( ) wird daher auch al Momenangechwindigkei bezeichne. & Zeiliche Veränderungen der Momenangechwindigkei werden, wie berei erwähn, durch Bechleunigungen erziel. Ganz analog zur Änderung der Srecke über der Zei kann man daher auch die Änderung der Gechwindigkei über der Zei berachen. a ( d & & & ) lim d Diee Analogie führ unmielbar zur Momenanbechleunigung eine Maenpunke. Die Momenanbechleunigung enprich alo zu jedem Zeipunk der. Ableiung der Gechwindigkei nach der Zei und omi auch der. Ableiung der Srecke nach der Zei! Für den Sonderfall der gleichmäßig bechleunigen Bewegung kann auch hier a de Differenzialquoienen der Differenzenquoien für beliebige Zeiineralle erwende werden: a gleichmäßi g

4 Paradebeipiel für eine gleichmäßig bechleunige Bewegung in der Naur i die Fallbechleunigung aufgrund der Graiaion. a gleichmäßig wird hier mi dem Orfakor g bezeichne. Für den Sonderfall der gleichmäßig bechleunigen Bewegung lä ich die o genanne Bewegunggleichung () au den berei gefundenen Zuammenhängen leich herleien. Wenn ich die Bechleunigung a durch den Differenzialquoienen der Gechwindigkei nach der Zei berechnen lä, o mu umgekehr die Gechwindigkei durch Summaion (Inegraion, Aufleien) der Bechleunigung a über einem beimmen Zeiinerall berechnen bar ein. In oller Analogie mu dieer formale Zuammenhang aber auch für die Berechnung der Srecke au der Gechwindigkei gelen. Die Inegraion (Aufleiung) i die Umkehrfunkion zur Differenziaion (Ableiung). Diee mahemaiche Operaion liefer die o genanne Sammfunkion zu einer abgeleieen Funkion. In unerem Zuammenhang alo: () au () und () au a()! So wie die Differenziaion graphich durch die Tangene (Seigung) an einer Kure zu einem gewien Zeipunk dargeell werden kann, o die Inegraion grafich al Fläche uner einer Kure aufgefa werden. Sind die zeilichen Grenzen für die Berechnung der Fläche bekann, prechen wir on einem beimmen Inegral und können die Fläche exak beimmen. Für die Gechwindigkei erhäl man nach der Inegraion: d ( ) ( ) a d a d a + Bei der Inegraion mu e eine Inegraionkonane ergänz werden, da die Ableiung einer Konanen zu Null wird. Eine konane Anfanggechwindigkei auch omi in der Ableiung (a()) nich mehr auf, mu aber ggf. nach der Inegraion al berückichig werden. d ( ) ( ) ( ) d ( a + a + + Weniger formal kann die Bewegunggleichung auch direk au dem --Diagramm abgeleie werden. Man erkenn, da die Fläche uner der Gechwindigkeikure bi zum Zeipunk gleich der Fläche uner der mileren Gechwindigkei ( )/ bi zum Zeipunk i. Die im Zeiinerall zurückgelege Srecke beräg alo: )d

5 mi a a Die oben berückichige Inegraionkonane i gleich Null, da für die Bewegung mi () are! Da --Diagramm einer gleichmäßig bechleunigen Bewegung (a kon.!) / m/ ( ) () a. ( )/ / 3. Überlagerung eindimenionale Bewegungen Die bechriebenen Zuammenhänge gelen auch für beliebig kompliziere Bewegungen in beliebig augewählen und augericheen Koordinaenyemen. Um mehrdimenionale Bewegungen bechreiben zu können, bedien man ich der Vekordarellung, die den Bewegunggrößen einen Berag und eine Richung zuordne. Dabei kann man aber durch geeignee Wahl de Koordinaenyem erreichen, da die Bewegunggrößen in Teilbewegungen in Richung der Koordinaenachen aufgeeil werden können. Diee Teilbewegungen beeinfluen ich gegeneiig nich, ondern überlagern ich ungeör. Dieer Zuammenhang wird al Superpoiionprinzip der Kinemaik bezeichne. Mi dieer Vorgehenweie können kompliziere Bewegungabläufe, wie z.b. Würfe, ehr einfach analyier werden.

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