Anhang. A1 Analytische Lösungen der erweiterten Anzahlbilanz

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1 117 Anhang A1 Analyiche Löungen der erweieren Anzahlbilanz Die Bilanzgleichungen der erweieren Anzahlvereilung owohl für die koninuierliche al auch für die dikoninuierliche Krialliaion (l..-34 und.-35) ind lineare parielle Differenialgleichungen (PDn) 1. Ordnung. Aufgrund de Terme B *f ind die PDn inhomogen. Die unabhängigen Variablen ind L, und. Zur Löung dieer PDn wird ein Charakeriikenverfahren verwende [iehe z.b. Mey 91, S. 367]. Eine Löung der Populaionbilanzen kann mi zwei Randbedingungen, f(l,, ) und f(l,, ), owie der Anfangbedingung im dikoninuierlichen Fall erfolgen. Die Anfangbedingung i mi f(l,, ) gegeben, d.h. e lieg eine klare, kriallfreie Löung vor. Impfkrialle werden in dieem Abchni nich berückichig. Für die ere Randbedingung gil daher f(l,, ), d.h. e gib keine Krialle, deren Wachum völlig zum Silland gekommen i. Im Modell werden nur Krialle mi L > berache. Für die zweie Randbedingung gil daher f(l,, ). Bei L L N werden permanen Keime mi einer Anzahlvereilung *f (L,) gebilde. Die Anzahlvereilung i definier al *f (L,) j(l) y(), wobei j(l) eine Dirac-Dela- Funkion d(l-l N ) mi den Eigenchafen A-1 bi A-3 [Jäh 95, S. 69] i. Die Dirac- Dela-Funkion i folgendermaßen definier: E gil: ì, x ¹ x d( x - x ) : í und î, x x ò d( x - x ) dx : 1 (A-1) - ò f (x) d (x - x ) dx : f (x) und (A-) - n d(x - x d i ) ( f (x)) å. (A-3) ' f (x ) i 1 i In leichung A-3 ind x i die Nullellen der Funkion f(x) und e gil f (x ) ¹. A1.1 Koninuierliche Krialliaion Im aionären Zuand erfolg keine Änderung der Prozeßparameer Überäigung und Temperaur. Da bedeue, daß owohl die häufige Wachumgechwindigkei al auch die individuellen Wachumgechwindigkeien der Krialle und die Keimbildungrae B konan ind. Mi A vereinfach ich leichung 3-6 zu f (L,) f (L,) B * f(l,). (A-4) L ' i

2 118 ANAN leichung A-4 i eine gewöhnliche inhomogene DL 1. Ordnung und kann durch Variaion der Konanen [Mey 91, S. 16] gelö werden. Durch Einezen der Vereilungfunkion * f (L,) y() j(l) und j(l) d(l-l N ) erhäl man zunäch f 1 f L B y() d(l - L N ). (A-5) Die allgemeine Löung der zugeordneen homogenen DL laue - L f h (L,) c e. (A-6) Für die volländige allgemeine Löung kann man den Anaz y(x) c(x) y h (x) wählen. Dabei gil für c(x) x 1 c (x) ò f ( x) dx c. (A-7) y ( x) E ergib ich x h - L f (L,) c(l,)e mi L L N c B B (L,) e () (L LN )dl C e ò y d - y() C. (A-8) Für die Inegraionkonane in l. A-8 erhäl man mi der Randbedingung für f(l,, ) und dem oben erläueren Definiionbereich C. Aufgrund der Eigenchafen der Dirac-Dela-Funkion (l. A-1 bi A-3) gil für den eren Term in l. A-8 ein Definiionbereich L ³ L N. Für L < L N i dieer Term Null. Dami ergib ich für f(l,) folgende Löung B L-L - N f (L,) y()e. (A-9) In Abbildung A-1 i diee Löung al Funkion von L und für eine Verweilzei dargeell. Die Darellung der dazugehörenden Anzahldiche n owie eine Dikuion der Parameer und b erfolg im Abchni (iehe auch Abb. 3-5). A1. Dikoninuierliche Krialliaion Veränderliche Wachumgechwindigkei Für den Fall der veränderlichen Wachumgechwindigkei A ¹ wird bei dieer Berachung angenommen, daß die Änderung der häufigen Wachumgechwindigkei A konan i. Demzufolge änder ich die häufige Wachumgechwindigkei proporional zur Zei. E gil

3 A1 ANALYTISCE LÖSUNEN DER ERWEITERTEN ANZALBILANZ 119 Abb. A-1 Analyiche Löung der erweieren Populaionbilanz für die koninuierliche Beriebweie (l. A-9). Parameer: b 3, m/, B 1 1 # m -3-1, und L N 1µm () A. (A-1) Für die Änderung der individuellen Wachumgechwindigkei gil leichung 3-15: A(,) A / (). Die Keimbildungrae i für diee Berachung konan. Für die Populaionbilanz der dikoninuierlichen Beriebweie erhäl man mi leichung.-35: f (L,, ) f (L,, ) f (L,, ) A(, ) L A f (L,, ) () B *f (L,) (A-11) Die zugeordnee Rumpf-DL laue f f f A A f L. (A-1) Für leichung A-11 kann man da charakeriiche Differenialgleichungyem A & 1, L & und & A A (A-13)

4 1 ANAN aufellen. Dami lauen die Phaen-DLn: d L d & L & und d d & & A (A-14) mi den Löungen () ( A ) und (A-15) A L () ò () d L. (A-16) Au den Phaen-DLn A-15 und A-16 ergeben ich die Charakeriiken von A-1, läng derer die Löungen der Rumpf-DL konan ind. Die Charakeriiken L - - A z und h A (A-17) owie x werden al neue Koordinaen eingeführ, wodurch leichung A-11 auf eine gewöhnliche lineare DL reduzier werden kann. Die Anwendung von F ( z, h, x) f (L,, ) auf die PD A-11 führ zu F x A F - B x *f A. (A-18) leichung A-18 i eine gewöhnliche inhomogene DL 1. Ordnung und kann durch Variaion der Konanen gelö werden. Konane Wachumgechwindigkei Im folgenden wird eine Löung für den Spezialfall konane Wachumgechwindigkei geuch. Mi A vereinfach ich leichung A-11 zu f f L B * f. (A-19) Die Phaen-DL der Rumpf-DL der PD A-19 laue d L d L& &. (A-) Durch Anwendung der Koordinaen h L- und x auf l. A-19 erhäl man eine gewöhnliche lineare DL F B x * f (A-1)

5 A1 ANALYTISCE LÖSUNEN DER ERWEITERTEN ANZALBILANZ 11 Abb. A- Analyiche Löung der erweieren Populaionbilanz für die dikoninuierliche Beriebar (leichung A-3). Parameer: b 3, m/, A, B 1 1 # m -3-1, und L N 1µm mi der Vereilungfunkion * f (L,) y() j(l) y() j( h x). Die Längenvereilung j(hx) i hierbei wiederum eine Dirac-Dela-Funkion d ( h x - LN ). Die Löung der leichung A-1 erhäl man uner Verwendung der Eigenchafen der Dirac- Funkion (A-1 bi A-3) B x B ò*f( x)d x B y() ò j( h x)d x y() C. (A-) F leichung A- gil für h x - LN ³. Die Rückubiuion f (L,,) F( h, x ) liefer die allgemeine Löung der PD im Definiionbereich - (L - LN ) / ³. f (L,, ) B y() (A-3) Für die Inegraionkonane in l. A- ergib ich mi der Randbedingung f(l,,) zu C. In Abbildung A- i diee Löung al Funkion von L und für dargeell. Die öhenliniendarellung im uneren Teil von Abb. A- zeig deulich die renze de güligen Definiionbereiche bei -(L-L N )/. Zeiliche Enwicklung einer Kriallvereilung Im folgenden wird die zeiliche Enwicklung einer Kriallvereilung f(l,,) ohne Berückichigung der Keimbildung für die dikoninuierliche Beriebweie berache. ierfür i

6 1 ANAN die Änderung der häufigen Wachumgechwindigkei für da berachee Zeiinervall konan. Die Sarvereilung f(l,,) f (L,) N T *f (L,) ez ich au der Kriallgrößenvereilung j(l) und der Vereilung der Wachumgechwindigkei y() (l..-6) zuammen. Al Beipielvereilung der Kriallgröße wird eine au che Normalvereilung mi w 1 µm und L 5mm verwende. j(l) 1 w p e (L-L) - w (A-4) Der Verlauf der häufigen Wachumgechwindigkei in einen Zeiinervall mi A con i mi leichung A-1 fegeleg. Für die Anzahlvereilung gil die Bilanzgleichung A-11. Mi der Einführung der Variablen z und h (l. A-17) owie x und B gelang man analog leichung A-18 zu F A F x A x mi der Löung F F( x ). (A-5) ( x) Die Rückubiuion f (L,, ) F( z, h, x) liefer die Löung enlang der Charakeriiken in Abhängigkei de Parameer f (L,, ) A f (L - -, ), (A-6) A A wobei f die Sarvereilung für diee Berachung darell. Mi leichung.-31 erhäl man eine Verallgemeinerung für beliebige Wachumgechwindigkeien f f f. (A-7) () () In Abbildung A-3 i die zeiliche Enwicklung der Beipielvereilung II mi A (oben) dem zeilichen Verlauf für A con (unen) gegenübergeell. Für A bleib die Vereilung f(l,,) f (L,) unveränder und wird lediglich in Richung größerer Teilchendurchmeer enprechend der Wachumgechwindigkei verchoben. emäß l. A-6 bleib dabei die Vereilung enlang der Charakeriiken / und L- (mi A und con) konan. Diee Verchiebung von f (L,) bewirk eine analoge Verchiebung bei gleichzeiiger Aufweiung der Anzahlvereilung n(l) (vgl. Abb..-8, link). Im Fall A ¹ und A con verchieb ich die erweiere Anzahlvereilung jedoch auch parallel zur -Koordinae. In Abbildung A-3 unen i deulich da verzögere Wachum bei einer negaiven Wachumänderung von A m - zu erkennen. Dabei ändern ich auch die Funkionwere der Vereilung f(l,,) enprechend leichung A-7. Diee Wirkung der inkenden häufige Wachumgechwindigkei () führ zum Anwachen der Vereilungdiche in den kleineren echwindigkeiklaen

7 A1 ANALYTISCE LÖSUNEN DER ERWEITERTEN ANZALBILANZ 13 Abb. A-3 Beipielvereilung II (vgl. auch Abb. 3-6): Verlauf der zweidimenionalen Anzahldiche log(f [# m -1 (m/) -1 m -3 ]). In der oberen Bildfolge i die häufige Wachumgechwindigkei konan (A ). Zur Verdeulichung der Verchiebung und Sauchung der Vereilung für A < i die Ordinae logarihmich (milere Bildfolge) bzw. linear (unere Bildfolge) geeil dargeell. (Parameer: b1, N S 1 1 # m -3 ) (Abb. A-3 unen). Ingeam bewirk die Enwicklung von f (L,) eine verzögere Verchiebung und Aufweiung der Anzahlvereilung n(l) (vgl. Abb. 3-6, rech).

8 14 ANAN A Momene der zweidimenionalen Anzahlvereilung Die Bechreibung der Anzahlvereilungfunkion miel Momenen baier auf der Mehode nach ulber und Kaz für zwei inerne Koordinaen [ul 64, S. 566]. Die Keimbildung wird für die im folgenden dikuieren Beziehungen nich berückichig. Zunäch wird die Vereilung f(l,,) mi der Anzahl der Teilchen normier. Man erhäl *f(l,,). Da Momen m i j einer zweidimenionalen Vereilung i definier al m ij i L òò j *f(l,,) dld (A-8) Die Momene m i der eindimenionalen, normieren Anzahlvereilung *n(l,) ergeben ich au den Momenen m i j : i i L*f(L,,) dld òò ò m L*n(L,) dl m i i (A-9) Beondere Bedeuung für die Charakeriierung von Anzahlvereilungen beizen da ere Momen (Mielwer L m 1 m 1 ) owie da zweie zenrale Momen der Kriallgrößenvereilung (Varianz L m m 1 m m 1 ). Die Anwendung der Definiiongleichung A-8 auf die Populaionbilanz eine dikoninuierlich beriebenen Krialliaor (l. 3-18) mi B führ zu òò i jé *f L ê ë *f L *f A A ù * f d L d () ú û i, j,1,... (A-3) Die einzelnen Terme der linken Seie ergeben folgende Audrücke i L òò j é * f ê ë ù ú û mi d L d j, (A-31) i jé *fù L ê dld -imi-1j 1 L ú owie (A-3) òò ë û i òò jé *f A ù A L *f dld j êa - m () ú ë û () i j (A-33) mi A/ () A (l. 3-15). Für den Fall einer veränderlichen Wachumgechwindigkei mi A con gil für () leichung A-1 (analog Abchni A1.). Da o enandene Differenialgleichungyem für die Bechreibung der zeilichen Enwicklung

9 A MOMENTE DER ZWEIDIMENSIONALEN ANZALVERTEILUN 15 Tabelle A-1 Zeiliche Enwicklung der Momene für die dikoninuierlich beriebene Krialliaion Momen mi j Populaionbilanz m i j / Anfangbedingung m i j ( ) m 1 m1 m1 L m 1 A m 1 A m m 1 1 L L m 11 m m A A m A m 11 A L L der eren und zweien Momene i in Tabelle A-1 zuammengefaß. Mi den Anfangbedingungen in Spale 3 erhäl man folgende Löungen: A L () L () m 1 () ( A ) (A-34) (A-35) L () L A L 3 A A 4 L 4 (A-36) L () L A L A L (A-37)

10 16 ANAN () A A (A-38) Für den Spezialfall A erhäl man für L () bzw. L () au leichung A-34 bzw. A-35 L() L und (A-39) L L L ( ). (A-4)

11 A3 SIMULATIONSSCEMATA 17 A3 Simulaionchemaa A3.1 Digiale Bildverarbeiung Schleife über alle Meßpunke Mielung über alle Bilder eine Meßpunke BILD# Schleife über alle Bilder eine Meßpunke (Meßbereich I und II) Bildverarbeiung und Objekerkennung BILD#1 (Abb. 3.3-) Subrakion BILD# Inverieren Duplizieren Umwandlung in Binärbild Separierung der Objeke: Binary Morphology - Cloe BILD# Subrakion BILD# BILD#3 Umwandlung in Binärbild und Separierung der Objeke: Waerhedding BILD#4 Klaifizierung der Objeke: rößenvereilung eine Bilde (iehe Abb ) Maenbilanz Vereinigung von Meßbereich I und II eine Meßpunke Normierung der Anzahlvereilung (iehe Abb ) Augabe der Vereilungen

12 18 ANAN A3. Parameeropimierung Opimierungalgorihmu SIMPLEX Berechnung neuer Opimierungparameer Veruchar? enerierung von Simulaioneilchen für Impfkrialle nein Berechnung von. Lieg eine minimale Wachumoder Auflöunggechwindigkei vor? ja Schleife über alle Simulaioneilchen Berechnung von Teilchengröße und Wachumgechwindigkei > ja nein Keimbildung: enerierung von Simulaioneilchen nein Augabe? ja Berechnung der Vereilungen f(l,,) und n(l,) Berechnung de Zeichrie. I da Veruchende erreich? nein ja Berechnung de Opimierungkrierium nein Abbruch der Opimierung? ja

13 A4 VERSUCSEREBNISSE 19 A4 Veruchergebnie.6 Meung der Anzahlvereilung Impfkriallzugabe 8 7 Überäigung [-] Temperaur [ C] Veruchzei [min] Überäigung [-].6.4. Meung der Anzahlvereilung Impfkriallzugabe Temperaur [ C] Veruchzei [min] Abb. A-4 Verlauf von Überäigung und Temperaur Experimen #1 (oben) und Experimen # (unen)

14 13 ANAN Überäigung [-].4. Meung der Anzahlvereilung Impfkriallzugabe Temperaur [ C]. 4 6 Veruchzei [min] Überäigung [-].4. Meung der Anzahlvereilung Impfkriallzugabe Temperaur [ C] Veruchzei [min] Abb. A-5 Verlauf von Überäigung und Temperaur Experimen #3 (oben) und Experimen #4 (unen)

15 A4 VERSUCSEREBNISSE 131 Meung der Anzahlvereilung Impfkriallzugabe.6 8 Überäigung [-] Veruchzei [min] Temperaur [ C] Abb. A-6 Verlauf von Überäigung und Temperaur Experimen #5

16 13 ANAN Abb. A-7 Experimen #1

17 A4 VERSUCSEREBNISSE 133 Abb. A-8 Experimen #

18 134 ANAN Abb. A-9 Experimen #3

19 A4 VERSUCSEREBNISSE 135 Abb. A-1 Experimen #4

20 136 ANAN Abb. A-11 Experimen #5: bi 7 min

21 A4 VERSUCSEREBNISSE 137 Abb. A-1 Experimen #5: 7 bi 13 min