3.3 Moving-Average-Prozesse (MA-Modelle)

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1 . Moving-Average-Prozesse MA-Modelle Definiion: in sochasischer Prozess heiß Moving-Average-Prozess der Ordnng [MA-Prozess], wenn er die Form θ θ i i... θ i oder B mi ha. is dabei ein reiner Zfallsprozess Whie-Noise-Prozess. ٱ wird als Abweichng vom Prozessmielwer µ berache, so dass = gil. Allg. B... B B... is der Mielwer des MA- Prozesses.

2 Anmerkngen: -Inerpreaion: Der beobachee Wer is ein gewogenes Miel as den gegenwärigen nd vergangenen Schocks -τ, τ =,,...,, die nich mieinander korrelier sind. - Im Fall = heiß ein nendlicher Moving-Average-Prozess [MA ]. - MA-Prozesse sind Spezialfälle des allg. linearen Prozesses, wobei ψ τ ein absol smmierbarer Filer endliche Smme der abs. Gewiche is. igenschaf eines MA-Prozesses: ψ τ = τ< kasaler Filer. - MA-Prozess ergib sich drch Filern eines reinen Zfallprozesses mi dem Filer, -θ,..., -θ. - Anwendng in Ökonomerie: Ökonom. Variable beeinflss von einer Reihe random shocks wie Sreiks, Regierngsmaßnahmen, Knapphei an wichigen Maerial ec. ffeke in afeinanderfolgenden Perioden mi immer geringerem Asmaß.

3 Spezielle MA-Prozesse - MA - Prozess B B Varianz von : Var Aokovarianzf. ACVF: τ = : Cov,

4 τ = : Cov,, was generell gil Aokorrelaionsf. ACF: /

5 Abb. : ACFs MA -Modelle mi θ =-,5. θ =,5 / 4 a,5 /,5,5 /,5 5 / 4 b,5 /,5,4,4,5, ,5 -,5 - a = -,5 b =,5 MA Prozess: MA Prozess:,5,5 -

6 Parielle Aokorrelaionsfnkion PACF MA: wegen Al lg. i i 4 Bem.: Die parielle Aokorrelaionsfnkion MA-Prozesse verhäl sich ähnlich wie die Aokorrelaionsfnkion eines AR-Prozesses. Für θ < is sie alernierend nd θ > sreb sie mi exponeniell abnehmender Rae im negaiven Bereich gegen.

7 - MA-Prozess B B B Varianz von : Var Aokovarianzf. ACVF: τ = : Cov,

8 τ = : γ τ = τ Aokorrelaionsf. ACF: ρ τ = γ τ / γ , Cov / /

9 Abb. : ACFs MA-Modelle a,5,5,5 /,5,5,75 /,5,5 /,5,5,5 /,5,5 b,5,,5,5 /,5,5 /,5,5,75 /,5,5 / /,5 / / / / / /,5 / / -,5 a,5,5 -,5 b,5,,5,5

10 c,5,,5,5,5 /,5,5/,5,5/,5 6 d,5,5,5 /,5,5 /,5,5 /,5 6 / / / / / / 6 / / / / / -,5 c,5,,5,5 / -,5 d,5,5

11 Parielle Aokorrelaionsfnkion PACF Die parielle Aokorrelaionsfnkion eines MA-Prozesses läss sich nich mehr in einfacher Form als Fnkion der MA-Parameer θ nd θ darsellen Drbin-Levinson- Algorihms. Charakerisisches Polynom: z z... z Verlaf der PACF: - Reelle Wrzeln des charakerisischen Polynoms: PACF verläf monoon oder alernierend exponeniell gegen - Komplexe Wrzeln des charakerisichen Polynoms: PACF verläf in Form einer gedämpfen Sinsschwingng

12 Saionariä Wie man as nd den ACFs γ τ leich erkenn, sind keine Resrikionen bzgl. der θ i z sezen, m die Saionariä eines MA-Prozesses z sichern. Inveribiliä Inverierbarkei s läss sich zeigen, dass as den ACFs γ τ nich eindeig af einen zgrnde liegenden MA-Prozess geschlossen werden kann. So haben z.b. die beiden MA-Prozesse a a / nd b b / / / /, / / / a idenische ACFs. Box nd Jenkins 97 haben daher das Krierim der Inverierbarkei eingeführ, das vor allem ach von Bedeng is, wenn in der Praxis as der geschäzen ACF af die Modellparameer geschlossen werden soll. Die Inveribiliäsbedingng sicher, dass es einen eindeigen MA-Prozess eine gegebene ACF gib.

13 MA-Prozesse erhäl man drch Filraion von Whie-Noise-Prozessen mi linearen, endlichen Filern [ = θ B ]. Für die Inverierbarkei des Prozesses is nn enscheidend, ob sich der Prozess mgekehr drch Filraion von, also = θ - B, erhalen läss. Wie schon allgemein asgeführ, sind dabei nr absol smmierbare nd kasale Filer von Ineresse. in MA-Prozess heiß inverierbar, wenn alle Nllsellen des charakerisischen Polynoms z i i z i aßerhalb des inheiskreises liegen. ner dieser Bedingng gil = θ - B, wobei B ci i i B ein kasaler Filer mi absol smmierbarer Koeffizienenfolge is.

14 Momene MA-Prozess allgemein: - rwarngswer von......, wegen alle - Varianz von Var... i i i i i i... i... i i i mi =

15 - Aokovarianz zw. nd +τ, τ Cov ; Fall a: τ > τ = +: = = =... = + = + = , da in den s immer s gil. = + Man kann leich sehen, dass nsprechendes = +, +,... gil, so dass allgemein = > gil.

16 Fall b: < = : = = = = = - =: ii i = + = = + = = + = i i i 4...

17 allgemein: ACVF: ACF: ii i i i i i i i i i / i i Inerpreaion: As der ACF erkenn man, dass bei einem MA-Prozess Lags > verschwinde von Relevanz bei der Idenifizierng von ARMA- bzw. ARIMA-Prozessen.

18 Inveribiliäsbedingngen: Bei einer Verlezng der Inveribiliäsbedingngen is der ARMA-Prozess nich definier. Die Inver.bed. garanieren aßerdem die indeigkei bei der Idenifikaion des soch. Prozesses as der Aokorrelaionsfnkion. MA-Prozess: - < < MA-Prozess: - < < + < - <