Formfunktionen (Interpolation): Bedeutung und praktischer Einsatz

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1 Formfnktionen (Interpolation): Bedetng nd praktischer Einsatz Dr.-Ing. Martin Zimmermann Lehrsthl für Konstrktionslehre nd CAD Universität Bayreth

2 Einleitng, Problem nd Motivation Knoten Steifigkeit Elemente Beschreibngsform über das einzelne Element????? Ziel: Erkenntnis des Verhaltens eines kleinsten nteilbaren Teilchens (Elementes) in der FEM. - Elemente über Knoten - Knoten über Koordinaten Und wie fnktioniert es wirklich, was macht das Element zm Element? Dr.-Ing. Martin Zimmermann

3 Interpolation allgemein Pnkte Interpolierende A ( ( j ; ; j ;...; ;...; i ij ;...; ;...; k kj );( );...;( ; l ; ;...; l i ;...; ;...; il k ;...; );...; ) kl i j... k... l Dimension Anzahl Pnkte Afgabe: Interpolation von (l+)-pnkten des (k+)- dimensionalen Rames Als Interpolation kann die Erfassng einer Anzahl Pnkte drch eine analytisch beschreibbare Krve definiert werden, die deckngsgleich af diesen Pnkten liegt nd die damit die Pnkte abbildet oder repräsentiert. Dr.-Ing. Martin Zimmermann

4 Interpolationsmethoden nach Wirkng: Stückweise (linear) Geschlossen (kbisch) nach Fnktion: Polynominterpolation: Ansatz über Polynome wählen kbische Spline-Interpolation: spezielle Form für Polynome, Randbedingngen, lässt sich eindetig ab zwei Pnkten bilden logarithmische Interpolation: Bestimmng der Parameter einer logarithmischen Fnktion (fnktioniert nr stückweise zwischen zwei Pnkten) nach mathematischem Problem: linear nichtlinear Dr.-Ing. Martin Zimmermann 4

5 Polynominterpolation Qadratische Polynomfnktion Dr.-Ing. Martin Zimmermann 5

6 Kbische Spline-Interpolation Qelle: Rieg (Vorlesng: Ingeniermathematische Anwendngen) Dr.-Ing. Martin Zimmermann 6

7 Kbische Spline-Interpolation kbische Fnktion kbische Fnktion Dr.-Ing. Martin Zimmermann 7

8 Vergleich der Interpolationen - kbische Spline-Interpolation ist: - für beliebig viele Pnkte (Stützstellen) geeignet nd daher sehr fleibel - kbische Spline-Interpolation ist über die Knoten hinweg stetig in der Fnktion, der ersten Ableitng, der zweiten Ableitng - aber: komplee Berechnng - allg. Polynominterpolation: - Grad richtet sich nach Anzahl z interpolierender Pnkte - wird für FE-Rechnng verwendet Dr.-Ing. Martin Zimmermann 8

9 Lagrange-Polynome - spezielle Klasse an Polynomen - relevant für FE-Rechnng da: - für ein natürliches Koordinatensystem genormt, - hinsichtlich der Fnktionswerte an einer zgehörigen Stützstelle af genormt, - für ein isoparametrisches Elementkonzept verwendngsfähig. s=- z y P s= s=+ P Py = f(s(p)) Pz isoparametrisches Elementkonzept: Für die Forminterpolation eines Elementes werden die gleichen Interpolationsfnktionen, wie für die Verschiebngsinterpolation angesetzt. Diese sind drch eine Anzahl Parameter (Knotenkoordinaten) bestimmt. Dr.-Ing. Martin Zimmermann 9

10 Lagrange-Polynome Für eine Formfnktion, die entlang einer gegebenen natürlichen Koordinate mit i Knoten verlafen soll gilt: Die allgemeinen Regeln für Formfnktionen [entnommen as Rieg]. jeder Knoten i besitzt gena eine ihm zgehörige Formfnktion i die Formfnktion ist in dem ihr zgehörigen Knoten EIS, in allen anderen ULL Hinweis : Da eine allgemeine Polynominterpolation Anwendng finden mss gilt: Der Polynomgrad wird drch die Anzahl Knoten längs einer Koordinate bestimmt ( Knoten heißt -> linearer Ansatz, Knoten heißt -> qadratischer Ansatz ). Für ein Polynom n-ten Grades gilt mit den n reellen llstellen i die Regel: kbisches Polynom allgemein: y () i n Dr.-Ing. Martin Zimmermann

11 Lagrange-Polynome Für die in der FEM angewendeten Lagrange-Polynome gilt weiterhin, dass die Stützstellen (ach ll- oder Einsstellen) im Intervall der natürlichen Koordinate zwischen [-;] liegen nd gleichverteilt hinsichtlich der natürlichen Koordinate sind. Damit die Forderng erfüllt wird, dass die Fnktion in dem ihr zgehörigen Knoten EIS wird, mss der Polynomterm m den Betrag des Polynoms an der Stelle mit i=..n normiert werden: ach einer derartigen Vorschrift gebildete Polynome werden Lagrange-Polynome bezeichnet. y () i n i n Dr.-Ing. Martin Zimmermann

12 Beispiel eindimensionale Lagrange-Interpolation Für das Lagrange-Polynom 4. Ordnng ergibt sich der nten dargestellte Verlaf. y( 4).5 y( 4) y( 4) y( 4) y( 44) Dr.-Ing. Martin Zimmermann

13 Mehrdimensionale Interpolation mit Lagrange-Fnktionen Für flächige Formfnktionen ergeben sich Polynome drch einfache Mltiplikation der einzelnen Formfnktionen. Für die ebenen Lagrange-Polynome 4. Ordnng ergibt sich der oben dargestellte Verlaf für drei verschiednen Knoten. Dr.-Ing. Martin Zimmermann

14 Ebene Koordinateninterpolation (Schema) Formfnktionen für Scheibe mit qadratischen Ansatz Werte für Pnkte oben: Werte für Pnkte rechts: 4 = = = 4 = 5 = = = = 4 = 5 = = = = 4 = 5 = = = = 4 = 5 = = = = 4 = 5 = = = = 4 = 5 = Dr.-Ing. Martin Zimmermann 4

15 Ebene Koordinateninterpolation Die Interpolationsfnktionen werden nn gentzt m Geometrie nd Verschiebngen im Rahmen des isoparametrischen Elementansatzes z interpolieren. Daz soll ein qadratischer Flächenansatz betrachtet werden. Es gilt die Koordinateninterpolationsvorschrift: y r r P(r,r ) 7 6 = =y i i n k n k k h k h r,..., r t r,..., r t k k i i Dr.-Ing. Martin Zimmermann 5

16 Bedetng des Ansatzgrades TET4 - linear Bateilkontren Reines Etrsionsgitter (D Gitter in D Gitter mgewandelt) keine -/y Änderng über z Hier keine Etrsion möglich Viel bessere Abbildng der original Geometrieform Geometrieabbildng drch qadratischen miserabel! Elementansatz des Abbildng Heaeders drch linear (He) Elemente! TET - qadratisch Verbesserngsansatz ähnlich π Dr.-Ing. Martin Zimmermann 6

17 Verschiebngen Verschiebngen bei isoparametrischem Elementkonzept E r. y Pnktewolke über die natürlichen Koordinaten E Dr.-Ing. Martin Zimmermann 7

18 Dr.-Ing. Martin Zimmermann 8 Relevanz der Formfnktionen (,y)= Formfnktionen (lineare Scheibe) Am Beispiel der Verzerrngen ebener Verzerrngszstand (dreieckige Scheibe) BU LU v v v y y v v v r r v r r LU r r v r r y y v y y v ij y yy ), ( ), ( ), ( ), (

19 Relevanz der Formfnktionen W i V T dv C V B T C BdV U F BU BU Elementsteifigkeitsmatri K otwendigkeit der nmerischen Integration über die Formfnktionen zm Erhalt der Steifigkeitsmatri. Dr.-Ing. Martin Zimmermann 9

20 Integration (von Polynomen) Gass-Qadratr: - Ermöglicht die Integration einer Fnktion F(r) nmerisch mit Fehlern! - meist (ach hier) normiert af natürliches Intervall für r [-,] - Es werden Stützpnkte nd z diesen Pnkten Gewichtngsfaktoren herangezogen. - Besonderheit: - Bei dieser Art der Integration wird bei n Stützstellen an Stelle der Fnktion F(r) ein z F(r) gt passendes Polynom vom Grad n- integriert [K.J. Bathe, 99]. - D.h.: Liegt ein Polynom vom Grad n- vor, so wird dieses eakt integriert. - Gezeigt wrde, dass die Größen über einem Element drch Polynome repräsentiert werden. - daher Verwandtschaft zr FEM Unverzerrte regläre rechteckige, heaedrische Elemente lassen sich zmindest im Rahmen der linearen FEM recht gt mit einer annehmbaren Integrationsordnng integrieren. (Bsp.: qadratischer Heaeder: -5) F r dr F g r g g Dr.-Ing. Martin Zimmermann

21 Zsammenfassng - Formfnktionen sind in der FEA Polynome. - Es gibt Form- nd Verschiebngsinterpolationsfnktionen beide sind gleich bei der Anwendng eines isoparametrischen Elementkonzeptes. - Eine Strategie zr Interpolation von Elementen (das Innere der Elemente) wrde afgezeigt. - Damit nd mit einem Asblick af die Integrationsrotinen ist der Grndstein für die Elementableitng / Elemententwicklng gelegt. Dr.-Ing. Martin Zimmermann

22 Literatr [] Klas-Jürgen Bathe: Finite-Elemente-Methoden. Berlin: Springer; [] Josef Betten: Finite Elemente für Ingeniere,. Berlin: Springer; 997 [] Dietrich Braess: Finite Elemente. Berlin: Springer; 997 [4] O.C. Zienkiewicz & R.L. Taylor: The Finite Element Method. Vol.,. Oford: Btterworth Heinemann;... Dr.-Ing. Martin Zimmermann