Durch ebene Schnitte einer Drehkegelfläche induzierte Ortskurven
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- Elisabeth Buchholz
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1 Fakltät Mathematik nd Natrwissenschaften Fachrichtng Mathematik Institt für Geometrie Drch ebene Schnitte einer Drehkegelfläche indzierte Ortskrven 27. Fortbildngstagng für Geometrie Strobl, November 06 09, 2006 Marco Hamann
2 Einleitng Afgabe: Man ntersche den geometrischen Ort aller Brennpnkte von (nichtzerfallenden) Kegelschnitten, die drch ein Ebenenbüschel as einer Drehkegelfläche geschnitten werden. Der Einflss der Lage des Trägers des Ebenenbüschels in Bezg af die Drehkegelfläche ist z nterschen. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
3 Einleitng Afgabe: Man ntersche den geometrischen Ort aller Brennpnkte von (nichtzerfallenden) Kegelschnitten, die drch ein Ebenenbüschel as einer Drehkegelfläche geschnitten werden. Der Einflss der Lage des Trägers des Ebenenbüschels in Bezg af die Drehkegelfläche ist z nterschen. Prof. Oliver Niewiadomski, Hochschle für Künste Bremen Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
4 Gliederng Darstellngsgeometrische Erzegng nter Verwendng der Figr von DANDELIN, Kennzeichnng der Krven (im projektiv abgeschlossenen eklidischen Ram), Varianten ihrer Konstrktion, Bemerkenswerte Eigenschaften nd ihre Darstellng, Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
5 Perspektivität zwischen Kegelschnitten Zwei ebene Schnitte k, 1 k2 einer (Dreh-)Kegelfläche sind perspektiv bezüglich ihrer Erzegenden. S G S S Spitze der - (Träger des Bündels ) G S g g Erzegende der Kegelfläche (Bündelstrahl ) P 1 P 2 k 2 k 1 Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
6 Brennpnkte eines Kegelschnittes Die Brennpnkte der Kegelschnitte sind Begriffe der eklidischen Geometrie. P k 1. Planimetrische Definition der Kegelschnitte über ihre Brennpnkte (nd Leitlinie); z.b.: Gärtner-Konstrktion der Ellipse. E F 2. Die Brennpnkte lassen sich rämlich als Berührpnkte der DANDELIN- Kgeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deten. 3. Projektive Kennzeichnng: Die Brennpnkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpnkte der as den absolten Pnkten an ihn legbaren Tangenten. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
7 Brennpnkte eines Kegelschnittes Die Brennpnkte der Kegelschnitte sind Begriffe der eklidischen Geometrie. P k 1. Planimetrische Definition der Kegelschnitte über ihre Brennpnkte (nd Leitlinie); z.b.: Gärtner-Konstrktion der Ellipse. E F 2. Die Brennpnkte lassen sich rämlich als Berührpnkte der DANDELIN- Kgeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deten. 3. Projektive Kennzeichnng: Die Brennpnkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpnkte der as den absolten Pnkten an ihn legbaren Tangenten. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
8 Darstellngsgeometrische Verfahren Figr von DANDELIN Qelle: R: Bereis: Darstellende Geometrie. Bd. 1 Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
9 Darstellngsgeometrische Verfahren Konstrktion im Grnd Afriss Verfahren 1. Die Afrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an Φ liegende) Trägergerade darin projizierend ist. O. B. d. A. wird die Grndrissebene parallel zr Achse a von Φ gewählt. 2. Die Afrisse der Brennpnkte sind nter Verwendng der Figr von DANDELIN als Berührpnkte der Kgelmrisse mit der (projizierenden) Ebene ε konstrierbar. 3. Ihre Grndrisse lassen sich über die Konstrktion der Fallgeraden drch den Schnittpnkt T : = ε a bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene Π : = T a festlegen (wiederholtes Konstrieren der Normalebene). Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
10 Darstellngsgeometrische Verfahren Konstrktion im Grnd Afriss Verfahren 1. Die Afrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an Φ liegende) Trägergerade darin projizierend ist. O. B. d. A. wird die Grndrissebene parallel zr Achse a von Φ gewählt. 2. Die Afrisse der Brennpnkte sind nter Verwendng der Figr von DANDELIN als Berührpnkte der Kgelmrisse mit der (projizierenden) Ebene ε konstrierbar. 3. Ihre Grndrisse lassen sich über die Konstrktion der Fallgeraden drch den Schnittpnkt T : = ε a bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene Π : = T a festlegen (wiederholtes Konstrieren der Normalebene). Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
11 Darstellngsgeometrische Verfahren Konstrktion im Grnd Afriss Verfahren 1. Die Afrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an Φ liegende) Trägergerade darin projizierend ist. O. B. d. A. wird die Grndrissebene parallel zr Achse a von Φ gewählt. 2. Die Afrisse der Brennpnkte sind nter Verwendng der Figr von DANDELIN als Berührpnkte der Kgelmrisse mit der (projizierenden) Ebene ε konstrierbar. 3. Ihre Grndrisse lassen sich über die Konstrktion der Fallgeraden drch den Schnittpnkt T : = ε a bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene Π : = T a festlegen (wiederholtes Konstrieren der Normalebene). Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
12 Q F v S M E e 2 O N a P = s x 12 S M E P O e 1 Q a = v N Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November F
13 Q F 5 e 2 S M O v s N P E S 7 r x 12 5 M P E = v O Q e 1 w F N Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
14 Brennpnkte eines Kegelschnittes Die Brennpnkte der Kegelschnitte sind Begriffe der eklidischen Geometrie. P k 1. Planimetrische Definition der Kegelschnitte über ihre Brennpnkte (nd Leitlinie); z.b.: Gärtner-Konstrktion der Ellipse. E F 2. Die Brennpnkte lassen sich rämlich als Berührpnkte der DANDELIN- Kgeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deten. 3. Projektive Kennzeichnng: Die Brennpnkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpnkte der as den absolten Pnkten an ihn legbaren Tangenten. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
15 Brennpnkte eines Kegelschnittes Die Brennpnkte der Kegelschnitte sind Begriffe der eklidischen Geometrie. P k 1. Planimetrische Definition der Kegelschnitte über ihre Brennpnkte (nd Leitlinie); z.b.: Gärtner-Konstrktion der Ellipse. E F 2. Die Brennpnkte lassen sich rämlich als Berührpnkte der DANDELIN- Kgeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deten. 3. Projektive Kennzeichnng: Die Brennpnkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpnkte der as den absolten Pnkten an ihn legbaren Tangenten.! Beachte: Projektiver Abschlss nd komplexe Erweiterng notwendig. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
16 Brennpnkte eines Kegelschnittes I J Die zwei Paare von Tangenten an einen Kegelschnitt as den absolten Kreispnkten erzegen ein (vollständiges) Viereck mit den Gegeneckenpaaren nd ( I J),. ( E, E ), ( FF, ) F E U F Die Pnkte E, E, F nd F heißen Brennpnkte des Kegelschnittes. E Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
17 Brennpnkte eines Kegelschnittes I U J Eine Parabel berührt die neigentliche Gerade in U. In diesem Fall existiert gena ein eigentlicher Brennpnkt E. Die (neigentlichen) Pnkte E, F nd F fallen mit U, I nd J zsammen. E Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
18 Mehrdetige geometrische Verwandtschaften Eine [ nn, ]-detige Korrespondenz zwischen Grndgebilden liegt vor, wenn 1 - vermittelt drch eine algebraische Korrespondenzgleichng - jedem n 1 Element X des ersten Gebildes 1 Elemente X des zweiten Gebildes nd jedem as diesem n Elemente as jenem zgeordnet sind. (R. STURM: Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Bd. 1) Beispiel: 2,2 Die Korrespondenz k k 1 zwischen den Pnkten X k nd den Geraden X k (Tangenten an ). 1 1 k 1 X k k1 X 1 Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
19 Projektivgeometrische Erzegng der Krven I Perspektivität I J der P Pnktreihe vermöge des Geradenbüschels c G S c e S E F Korrespondenz 2,2 P zwischen der Pnktreihe nd dem c Tangentenbüschel G k k E J A Erzegnis resltierender projektiver Verwandtschaft in Gk ist Krve 4. Ordnng ω F Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
20 Projektivgeometrische Erzegng der Krven Eine irredzible Krve der Ordnng n kann nicht mehr als n 1 2 k n singläre Pnkte besitzen ( n > 2). (W. BURAU: Algebraische Krven nd Flächen. Bd. 1) I c e k S J E, F l 2 Die Krve 4. Ordnng zerfällt in eine Krve 2. Ordnng nd ein l 2 Geradenpaar über k 2 C. ω A E, F Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
21 Projektivgeometrische Erzegng der Krven F c S Es gelte zsätzlich s e S k ( e Erzegende). l 2 k E, E ω F A Die Krve berührt für die gewählten Lagen des Trägers des schneidenden Ebenenbüschels E den neigentlichen Kegelschnitt k der Drehkegelfläche doppelt. k 2 s s Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
22 Projektivgeometrische Erzegng der Krven c k 2 E F S Es gelte zsätzlich s a S ( A ) δ. F ( A ) δ l 2 k ω A Der neigentliche Pnkt der Achse a ist ein vierfach z zählender Pnkt A der Krve 4. Ordnng. Sie zerfällt in eine doppelt z zählende Gerade (absolte Polare z S ) nd ein Geradenpaar l über C. 2 k 2 Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
23 Projektivgeometrische Erzegng der Krven Folgerngen S Verbindet man für s a die (reelle) nichtzerfallende Krve 2. Ordnng pnktweise mit der Spitze S von Φ, so entsteht eine Kegelfläche 2. Ordnng. Diese ist Träger der Brennpnktkrve. ( ) Für s a ist k S zweifach z zählende Ebene. Die Brennpnktkrve ist dann eine ebene Krve. 2 k 2 k 2 Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
24 Projektivgeometrische Erzegng der Krven α α (Kreisschnitt-) Ebene ( α a), S Spr des Trägers ( s a), e Spr einer Ebene Ε des Büschels e f n n a = A Die Haptachsenregelfläche bildet für s a ein orthogonales Hyperboloid. Jede (Schichten-) Ebene α mit α a schneidet dieses in einem Kreis. S n s Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
25 Projektivgeometrische Erzegng der Krven Ergebnisse Für s / a nd s tangential an Φ entsteht die Brennpnktkrve als teilweiser Schnitt beider Flächen 2. Ordnng, die eine weitere Gerade gemeinsam haben. Die Brennpnktkrve ist daher eine rämliche Krve 3. Ordnng. Liegt s a nicht tangential an Φ, so ist die Brennpnktkrve im Allgemeinen als nichtzerfallende Schnittkrve zweier Flächen 2. Ordnng erzegbar, also von 4. Ordnng. Für s a nd s (nicht) tangential an Φ ist die Brennpnktkrve eine ebene Krve 3. (4.) Ordnng. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
26 Projektivgeometrische Erzegng der Krven Ergebnisse Für s / a nd s tangential an Φ entsteht die Brennpnktkrve als teilweiser Schnitt beider Flächen 2. Ordnng, die eine weitere Gerade gemeinsam haben. Die Brennpnktkrve ist daher eine rämliche Krve 3. Ordnng. Liegt s a nicht tangential an Φ, so ist die Brennpnktkrve im Allgemeinen als nichtzerfallende Schnittkrve zweier Flächen 2. Ordnng erzegbar, also von 4. Ordnng. Für s a nd s (nicht) tangential an Φ ist die Brennpnktkrve eine ebene Krve 3. (4.) Ordnng. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
27 Projektivgeometrische Erzegng der Krven Ergebnisse Für s / a nd s tangential an Φ entsteht die Brennpnktkrve als teilweiser Schnitt beider Flächen 2. Ordnng, die eine weitere Gerade gemeinsam haben. Die Brennpnktkrve ist daher eine rämliche Krve 3. Ordnng. Liegt s a nicht tangential an Φ, so ist die Brennpnktkrve im Allgemeinen als nichtzerfallende Schnittkrve zweier Flächen 2. Ordnng erzegbar, also von 4. Ordnng. Für s a nd s (nicht) tangential an Φ ist die Brennpnktkrve eine ebene Krve 3. (4.) Ordnng. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
28 Eigenschaften nd ihre Darstellng Eine rämliche Krve 3. Ordnng wird as allen ihren Pnkten drch Kegel 2. Ordnng projiziert. Beispiel Für s a sowie s tangential an Φ ist die Brennpnktkrve drch einen Zylinder 2. Ordnng projiziert, dessen Erzegende parallel zr Asymptotenrichtng sind. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
29 x 34 ( 3) B ( 4) B ( 4) F ( 4) S ( 3) P ( 3) A ( 3) E e x 23 ( 4) O ( 3) S ( 4) P ( 4) E ( 4) A F M O N S A = B E s P Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
30 Eigenschaften nd ihre Darstellng s a Für ist die as den Haptachsen gebildete Regelfläche eine Drehzylinderfläche. Die Brennpnktkrve ist Schnitt eines Kegels 2. Ordnng (Spitze S ) mit einer Drehzylinderfläche, von welcher eine Erzegende mit a zsammenfällt; sie ist von 4. Ordnng. e s M S S = M = a E E = v s a v Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
31 Eigenschaften nd ihre Darstellng E s Ist ein Parallelebenenbüschel (gena dann wenn neigentlicher Träger ist), so sind die ebenen Schnitte zeinander ähnlich nd in ähnlicher Lage. Die Brennpnktkrve ist ein sich in der Spitze S der Drehkegelfläche schneidendes Geradenpaar. s E S F e Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
32 Schlssbemerkngen Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach dem geometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittes asgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpnkt) in obiger Afgabenstellng interessant,... ebenso die Verwendng von Flächen zweiter Ordnng anstelle der Drehkegelfläche, Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlng innerhalb der projektiven, algebraischen nd darstellenden Geometrie. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
33 Schlssbemerkngen Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach dem geometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittes asgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpnkt) in obiger Afgabenstellng interessant,... ebenso die Verwendng von Flächen zweiter Ordnng anstelle der Drehkegelfläche, Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlng innerhalb der projektiven, algebraischen nd darstellenden Geometrie. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
34 Schlssbemerkngen Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach dem geometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittes asgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpnkt) in obiger Afgabenstellng interessant,... ebenso die Verwendng von Flächen zweiter Ordnng anstelle der Drehkegelfläche, Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlng innerhalb der projektiven, algebraischen nd darstellenden Geometrie. Marco Hamann 27. Fortbildngstagng für Geometrie, Strobl - Österreich, November
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