Ecken- und Kantenhöhen im Tetraeder

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1 Professionelle Arbeit Angenommen am G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder GUNTER WEISS HANS HAVLICEK Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Vršne i bridne visine tetraedra SAŽETAK k-visina nekog n-simpleksa siječe njegov k-strani i njoj nasprotn strani okomito Tetraedar T ima četiri vršne visine (k = 0) i tri bridne visine (k = 1) Visine oba tipa izvodnie s posebnih hiperboloida povezanih s tetraedrom T Članak obrad - je te hiperboloide na način nartne geometrije i daje sintetičke dokaze nekih dobro poznatih svojstava Pokazje se, na primjer, da ako se visine jednog tipa sijek jednoj točki da se tada i visine drgog tipa sijek jednoj točki te da te točke koinidiraj Kljčne riječi: tetraedar, hiperboloid visina, entralna projekija Vertex- and Edge-Altitdes of a Tetrahedron ABSTRACT A k-altitde of an n-simplex meets a k-fae and its opposite fae orthogonally A tetrahedron T possesses for vertexaltitdes (k = 0) and three edge-altitdes (k = 1) The altitdes of eah type are generators of speial hyperboloids onneted with T The paper treats these hyperboloids in terms of desriptive geometry and gives syntheti proofs for some well-known properties It trns ot, for example, that if the altitdes of one type interset in one point, then so do the others, and the points of intersetion oinide Key words: tetrahedron, hyperboloid of altitdes, entral projetion MSC 000: 51N05, 51N0, 51M04 1 Einführng Die Anregng von A Sliepčević afgreifend, elementargeometrishen Fragestellngen wieder mehr Beahtng z shenken, (vgl [1]), wird hier a ein elementares Problem der Ramgeometrie vorgestellt: die Bestimmng nd Analyse der Gemeinnormalen windshiefer Kantenpaare eines Tetraeders, also dessen Kantenhöhen nd der Ekenhöhen Ziel ist es einerseits, mit diesem Problemkreis jgendlihen Forshern shon in der Endphase ihres Shlnterrihts ein Trainingsgebiet bereitzstellen Andererseits werden mittels elementarer darstellendgeometrisher Methoden drhas ah Zgänge z den nähsten Etagen der Höheren Geometrie eröffnet Zm Höhenbegriff eines Tetraeders As der ebenen Elementargeometrie ist geläfig, dass die Höhen eines Dreieks kopnktal sind, (krz, jedes ebene Dreiek besitzt ein Orthozentrm O) Ebenso sind die Mittelsenkrehten der Dreieksseiten nd die Shwerlinien kopnktal (mit den Shnittpnkten C bzw G) Gena für gleihseitige Dreieke fallen diese drei Pnkte zsammen, sodass diese Dreieke eine Sonderrolle spielen Für alle anderen Dreieke sind O, C nd G vershieden nd kollinear mit der sogenannten Eler-Geraden e Eine erste, dimensionsmäßige Verallgemeinerng des Begriffs Dreiek ist der des Tetraeders bzw n-simplexes Ein Tetraeder T besitzt 4 Eken A 0,,, 6 Kanten a ij = A i A j, die als drei windshiefe Paare aftreten, sowie 4 Faettendreieke α l = A i A j A k Ein einen n-dimensionalen (eklidishen) Ram afspannender n-simplex S (n) besitzt dementsprehend (n + 1) Eken nd ( n+1 k+1) k-dimensionale Faetten De finition : Unter einer Höhengeraden (krz: Höhe ) h j1,,h jk von S (n) wollen wir das Gemeinlot des Faettenrames α j1,,α jk nd dessen komplementärer Faette verstehen Demnah besitzt ein Dreiek nr eine Art von Höhen, ein Tetraeder hingegen zwei Arten, von denen den Ekenhöhen h j seit G MONGE weitreihende Untershngen gewidmet wrden, (siehe [4], [6], [10], [15], [0]) Weniger Beahtng fanden die Kantenhöhen h ij von T Im Folgenden sollen beide Arten von Tetraederhöhen mit darstellend-geometrishen Mitteln behandelt werden 71

2 Die Ekenhöhen eines Tetraeders G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Bekanntlih gilt (vgl etwa [10]) der Satz 1: Für jedes Tetraeder T mit zwei bzw gena einem bzw keinem Paar orthogonaler Gegenkanten shneiden die vier Höhengeraden einander in gena einem Pnkt O bzw zweimal Höhengeraden in vershiedenen Pnkten O 1, O bzw gehören sie einem Regls af einem gleihseitigen Hyperboloid Ψ an A = h 4 4 h 1 h h M = n 4 4 Bemerkng 1: Für Tetraeder T mit zwei Paaren orthogonaler Gegenkanten ist ah das dritte Kantenpaar orthogonal Solhe Tetraeder heißen orthozentrish mit O als Höhenshnittpnkt Figr 1: Normalriss eines Tetraeders T af eine Faettenebene α 4 A Bemerkng : Der Mittelpnkt M des Regls Ψ bzw der Streke [O 1,O ] bzw der Pnkt O liegt zr Umsphärenmitte C bezüglih des Ekenshwerpnktes G spiegelbildlih Die Trägergerade e von C, G nd M heißt EULER-Gerade von T Der Pnkt M heißt der MONGE-Pnkt von T ; er verallgemeinert also den Höhenshnittpnkt eines Dreieks Bemerkng : Ein (bekannter) konstrktiv-geometrisher Beweis für die im allgemeinen Fall regloide Lage der vier Höhengeraden h i benützt einen Normalriss von T af eine Faettenebene, etwa af α 4, siehe Figr 1 Dann ist h 4 projizierend, (A 4 = h 4 ), nd h 1, h, h fallen in die mit dem Dreiekshöhenshnittpnkt M 4 kopnktalen Höhengeraden des Dreieks ( A ) (Der (nihtprojizierende) Normalriss einer Ebenennormalen ist nämlih stets normal z den Haptgeraden dieser Ebene, ein Sahverhalt, der als Satz vom Normalriss eines rehten Winkels bekannt ist) Damit existiert eine z h 4 parallele Treffgerade n 4 an h 1, h, h ; ihr Normalriss fällt in den Höhenshnittpnkt M 4 von ( A ) In der projektiven Erweiterng des Anshangsrames ist n 4 mithin eine Treffgerade aller vier Tetraederhöhen h i Z jeder der vier Faetten von T existiert also eine z dieser normale Treffgerade n i der Höhen h i Da vier niht-regloide, windshiefe Geraden höhstens zwei Treffgeraden besitzen können 1, folgt damit, dass die Höhen regloid liegen nd deshalb einer einzigen Qadrik Ψ angehören As der Existenz paralleler Erzegenden af Ψ folgt nmittelbar, dass Ψ eine Mittelpnktqadrik sein mss nd kein Paraboloid sein kann Diese Überlegngen lassen allerdings offen, dass Ψ ein gleihseitiges Hyperboloid ist, also eine einparametrige Shar von Tripeln paarweise orthogonaler Erzegenden besitzt Figr : C = C 4 1 G 4 G A1 A 4 1 M M 4 Die EULER-Geraden e, e 4 eines Tetraeders T nd seines Faettendreieks ( A ) Bemerkng 4: Da parallele Erzegenden einer Ringqadrik spiegelbildlih zm Mittelpnkt M liegen, ersheint der Normalriss M dieses Mittelpnktes als der Mittelpnkt der Streke [A 4,m 4], vgl Figr Der Riss C der Umkgelmitte C von T koinzidiert mit der Umkreismitte C 4 des Basisdreieks nd ist ein gemeinsamer Pnkt des Eler-Geradenbildes e = C M von T nd der Elergeraden e 4 := C 4 M 4 des Basisdreieks ( A ) Liegt A 4 niht af e 4, dann sind e nd e 4 vershieden Der Shwerpnkt G 4 von ( A ) ist dann vom Normalriss G des Shwerpnktes von T ebenfalls vershieden Insgesamt bilden die sehs Pnkte M, M 4, G, G 4, A 4 nd C die Eken eines vollständigen Vierseits nd af dessen Seiten merkwürdige Teilverhältnisse Im Einzelnen gilt: 1 Drei der vier windshiefen Geraden bestimmen gena einen Treffgeradenregls, also eine Ringqadrik Φ Eine Treffgerade aller vier Geraden gehört diesem Treffgeradenregls an nd geht drh einen Shnittpnkt von Φ mit der vierten gegebenen Geraden e A e 7

3 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder k ω TV(C,M,G ) = 1, TV(A 4,M 4,M ) = 1, TV(M 4,C,G 4 ) =, TV(A 4,G 4,G ) = k π ω Dieser Sahverhalt legt die Untershng von Pnkt- Konfigrationen nahe, deren Geraden asshließlih Pnktetripel mit ganzrationalem Teilverhältnis enthalten Bemerkng 5: Die Sprkrve k 4 der Trägerqadrik Ψ des Höhenregls in der Ebene α 4 enthält die Pnkte (,A,,A 4 ) nd k 4 ist wie jeder drh die Eken eines Dreieks nd dessen Höhenshnittpnkt gehende Kegelshnitt eine gleihseitige Hyperbel, Figr (Das drh die Pnkte (,A, ) nd M 4 bestimmte Kegelshnittbüshel indziert nämlih af der Ferngeraden seiner Ebene gena die von einer Rehtwinkel-Involtion indzierte absolte Involtion als DESARGUES-Involtion) Figr : h 1 A = h 4 4 h h M = n 4 4 Die Sprkrve k 4 des Höhenregls in der Faettenebene α 4 ist eine gleihseitige Hyperbel Af Ψ existieren somit z den Asymptoten von k 4 parallele Erzegenden, die gemeinsam mit der Erzegenden h 4 ein Tripel paarweise orthogonaler Erzegenden bilden Da alle Faettenebenen gleihberehtigt sind, liegen af Ψ vier solhe Tripel paarweise orthogonaler Erzegenden Für den synthetishen Nahweis, dass damit eine einparametrige stetige Shar solher Erzegendentripel existiert, ist es zwekmäßig, den Anshangsram drh die Fernebene ω projektiv abzshließen nd den Fernkegelshnitt k ω von Ψ z ntershen, Figr 4 A Figr 4: Der Fernkegelshnitt k ω von Ψ nd sein absolt-polarer Bildkegelshnitt k π ω als Kegelshnittpaar in PONCELETsher Shließngslage für ein- nd mbeshriebene Dreieke Die Orthogonalitätsstrktr des Anshangsrames indziert in ω eine elliptishe Polarität π, die sogenannte absolte Polarität (Im Zentralriss as einem Agpnkt A af eine Ebene α ersheint diese absolte Polarität π bekanntlih als Antipolarität π des Distanzkreises von A) Demgemäß bilden die Fernpnkte der in Rede stehenden Erzegendentripel Poldreieke in π Wie jede Polarität sind π nd k ω bereits drh zwei solhe Dreieke bestimmt Die Seiten dieser Dreieke sind Tangenten eines z k ω absolt polaren Kegelshnittes k π ω, sodass das Paar (k ω,k π ω ) gemäß einem poristishen Problem von PONCELET eine stetige Shar von k π ω m- nd k ω einbeshriebenen, Dreieken besitzt, die nn sämtlih ah Poldreieke in π sind Somit ist Ψ ein Hyperboloid mit einer stetigen Shar von Tripeln paarweise orthogonaler Erzegenden, also ein gleihseitiges Hyperboloid (Der Asymptotenkegel eines solhen Hyperboloides besitzt ebenfalls eine solhe Shar orthogonaler Dreibeine, vgl [19], [10]) Bemerkng 6: Der zm Höhenregls ergänzende Regls enthält neben den shon betrahteten Normalen n i drh die Höhenshnittpnkte der Faettendreieke von T noh weitere einfah z konstrierende Erzegenden: die drh die Eken A i legbaren Treffgeraden t i der Höhen h i Im Zentralriss as A 4 af (,A, ) ersheint Ψ als ein Pnktepaar, bestehend as dem Pnkt A 4 nd dem Shnittpnkt T 4 der Zentralrisse h i := A i Hi der Höhen h 1, h, h, vgl Figr 5 Dabei repräsentiert T 4 = T4 den als elliptishen Höhenshnittpnkt von (H1,H,H ) detbaren Zentralriss der Erzegenden t 4 drh den Agpnkt A 4 Die Erzegende t i entsteht als Shnitt der Verbindngsebenen A i h 4 nd A i h j Das Spr-Flhtsprpaar ersterer fällt in die Gerade A i A 4 das Spr-Flhtsprpaar der zweiten besteht as der Geraden A i A j nd der z ihr parallelen drh H j, siehe Figr 5 Damit fällt der Sprpnkt T i von t i in A i nd der Flhtpnkt in den Shnittpnkt T j der genannten Flhtspren 7

4 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder T 4 T 1 H H π H1 T T A = 4 H4 h h h 1 A Figr 5: Zentralprojektion des Tetraeders T as der Eke A 4 af (,A, ) von T Der Flhtpnkt von h 4 fällt in A 4 die übrigen Höhenflhtpnkte H j sind die Antipole der Seiten des Basisdreieks (,A, ) von T Die Dreieke (,A, ) nd (H1,H,H ) sind perspektiv; das Perspektivitätszentrm ist der (projizierende) Zentralriss der drh A 4 gehenden Erzegenden des ergänzenden Regls zm Höhenregls U II C 4 V y I M 4 F f C 1 A II C k I k y C k I x 1 y 1 x A x I Figr 6a: Der Mittelpnkt jeder gleihseitigen Hyperbel drh ein Dreiek nd dessen Höhenshnittpnkt liegt af dem Feerbah- Kreis dieses Pnktsystems 74 Figr 6b: Das z einer Sehne einer Hyperbel k gehörige asymptotenparallele Parallelogramm besitzt eine drh den Mittelpnkt von k gehende Diagonale

5 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Bemerkng 7: Die Sprkrve k 4 der Trägerqadrik Ψ des Höhenregls ist nah Bemerkng 5 eine gleihseitige Hyperbel drh das Vierek (,A,,M 4 ) nd den Pnkt A 4 vgl Figr Man beahte dabei den Hilfssatz : Die Mittelpnkte aller Kegelshnitte drh ein Dreiek nd dessen Höhenshnittpnkt liegen af dem FEUERBACH-Kreis des Dreieks Da in einem Pnktsystem bestehend as einem Dreiek nd dessen Höhenshnittpnkt jeder Pnkt Höhenshnittpnkt des Rest-Dreieks ist, nd jedes dieser Dreieke ein nd denselben FEUERBACH-Kreis f besitzt, sprehen wir im Folgenden vom FEUERBACH-Kreis des Pnktesystems Zm Beweis von Hilfssatz 1 projiziert man die vier Grndpnkte des Büshels as Fernpnkten U nd V orthogonaler Rihtngen Dabei repräsentieren U nd V die Asymptotenfernpnkte einer speziellen gleihseitigen Hyperbel k drh diese Grndpnkte, vgl Figr 6a nd Figr 6b Z einer Sehne [,A ] gehörige Projektionsstrahlen geben Anlass z einem Rehtek, vgl Figr 6b, dessen zweite Diagonale ein Drhmesser von k ist (Mit den Bezeihnngen as Figr 6b folgt dies nmittelbar as x 1 (y 1 + y)=(x 1 + x)y 1 = onst) Für orthogonale Sehnen sind die entstehenden Rehteke ähnlih nd m π/ gegeneinander verdreht Deren zweite Diagonalen sind daher rehtwinklig nd gehen drh die Sehnenmittelpnkte Der Thaleskreis über der Sehnenmittenstreke [C 1,C 4 ] ist aber gena der FEUERBACH- Kreis z dem as den vier Sehnenendpnkten bestehenden Pnktsystem (vgl hierz ah [1]) Der Shwerpnkt dieses Pnktsystems fällt übrigens in den Mittelpnkt F des FEUERBACH-Kreises 4 Die Kantenhöhen eines Tetraeders Im Gegensatz z den vier Ekenhöhen von T, die liniengeometrish abhängig sind nd z weiteren mit T verknüpften Gebilden in besonderen Relationen stehen, (siehe [4], a), sheinen die Gemeinnormalen der drei Gegenkantenpaare eines Tetraeders, also die Kantenhöhen h i4 nr wenige nennenswerten Eigenshaften z besitzen h 4 N h 4 N A 4 N1 N N 1 h 14 N 1 h 4 N h 14 N A h 4 N Figr 7: Konstrktion der Zentral- nd Grndrisse der Kantenhöhen eines Tetraeders 75

6 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Für die konstrktive Behandlng erweist sih ebenfalls die oben verwendete Zentralprojektion as der Tetraedereke A 4 af die Ebene α 4 der übrigen drei Eken als zwekmäßig Die Spr der Rihtebene ρ i des Kantenpaares (A i A 4,A j A k ) verläft drh A i parallel zr Kante A j A k nd fällt mit der Flhtspr von ρ i zsammen Demnah ist das Flhtpnktedreiek (N1,N,N ) der drei Kantenhöhen h i4 jenes Dreiek, welhes bezüglih der Antipolarität π des Distanzkreises von A 4 antipolar z dem Basisdreiek von T seitenparallel mshriebenen Dreiseits ist, Figr 7 Folglih fallen die Zentralrisse h i4 der Kantenhöhen in die Verbindngsgeraden A i Ni, welhe die Kante A ja k im Höhenfßpnkt N i shneidet Der Grndriss von h i4 ist dann parallel z A 4 N i nd shneidet den Grndriss der Gegenkante A 4 A i im Normalriss des Höhenfßpnktes N i Bemerkng 8: Offenbar bilden die Zentralrisse der Kantenhöhen im allgemeinen Fall ein Dreiek (vgl Figr 7), andernfalls müssten die Dreieke (N1,N,N ) nd ( A ) perspektiv sein Also sind die Kantenhöhen niht für jedes Tetraeder T kopnktal nd spannen einen Regls Φ af Zr Konstrktion des Mittelpnktes N von Φ gehen wir wie in Bemerkng vor: Wir konstrieren die z einer Kantenhöhe h i4 parallele Treffgerade i aller Kantenhöhen als Shnittgerade der Verbindngsebenen eines Höhenfernpnktes mit den beiden übrigen Höhen, vgl Figr 8 Die Sprkrve k von Φ enthält die drei Sprpnkte N i der Kantenhöhen sowie die Sprpnkte U i der z ihnen parallelen Treffgeraden i nd ist damit bestimmt Das Zentralbild k der Fernkrve k von Φ besitzt mit k die selben Fernpnkte nd ist drh diese nd drh die Flhtpnkte Ni der Kantenhöhen festgelegt h 4 N h 4 N A 4 N1 U N N 1 N 1 N U 1 h 4 N π h 14 U N A h 4 N Figr 8: Konstrktion des Mittelpnktes N des Kantenhöhenregls Ψ nter Benützng des Zentral- nd Grndrisses der Kantenhöhen nd der z diesen parallelen Treffgeraden i as dem ergänzenden Regls 76

7 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Bemerkng 9: Ah für die Kantenhöhen ist die Diskssion sinnvoll, nter welhen Bedingngen der von den drei Kantenhöhen gebildete Regls Φ asartet oder eine Sonderform bildet Wir ntershen im Folgenden den Fall shneidender Kantenhöhen Projiziert man ein Tetraeder T orthogonal af eine Rihtebene ρ zweier Kantenhöhen h 4, h 4, so mss T wegen des Satzes vom Normalriss eines rehten Winkels als (vollständiges) Parallelogramm T n =(A n 1,,An 4 ) ersheinen Die Kantenhöhenbilder h n 4, hn 4 sind gewisse Normalen der parallelen Seitenpaare von T n ; wir bezeihnen ihre af den Tetraederkanten liegenden Fßpnkte mit, bzw, Dann gilt, vgl Figr 9 Bedingng: Die Verbindng der Fßpnkte, af den von A asgehenden Kanten A, A A 4 trifft die Kante A 4 in einem Pnkt nd dieser gehört der Verbindngsgeraden der anderen Fßpnkte, gena dann an, wenn h 4 nd h 4 einander shneiden erfüllt nd legen wir die Rihtebene ρ drh den Pnkt, so fallen,,, mit ihren Normalprojektionen zsammen Somit gilt: Satz : Ein Tetraeder T besitzt gena dann zwei shneidende Kantenhöhen, wenn ihre Fßpnkte im Normalriss af die Rihtebene dieser Höhen ein Kreisvierek bilden (Diese Fßpnkte bilden dann dieses Kreisvierek) s A n n s Q q s A n 4 n M P A n 1 Q n n t t Q A n t R n h n 4 A n 1 n A n n A n Figr 9: Normalprojektion eines Tetraeders af eine Rihtebene zweier shneidenden Kantenhöhen Zr Realisierng dieser Bedingng fassen wir in Figr 10 das Kantenbild A n 1 An 4 als Perspektivitätsahse q zweier Parallelbüshel der Rihtbene ρ af, deren Rihtngen s nd t normal z h n 4 bzw z hn 4 sind Dann liegt Q := n n n n gena dann af q, wenn für die Büshelgeraden s Q bzw t Q gilt TV(s,s,s Q)=TV(t,t,t Q) Diese Bedingng kennzeihnet aber ah, dass die Dreieke (Q n n ) nd (Q n n ) ähnlih sind: Sie besitzen in Q gleihe Winkel nd der Höhenfßpnkt af der Q jeweils gegenüberliegenden Seite ( n, n ) bzw ( n, n ) bildet mit deren Endpnkten gleihes Teilverhältnis, vgl Figr 10 Daher stimmen ah die Winkel n n n nd n n n überein nd ist gleihbedetend damit, dass ( n, n, n, n ) ein Kreisvierek ist Ist die Bedingng n A n 4 h n 4 Figr 10: Normalprojektion eines Tetraeders af eine Rihtebene zweier shneidender Kantenhöhen Es interessiert die Lage der dritten Kantenhöhe im Fall eines shneidenden Kantenhöhenpaares Gibt man gemäß Satz die Normalrisse zweier Kantenhöhen h 4, h 4 af deren Rihtebene r drh den Pnkt zlässig vor, so sind die Normalrisse A n i der Tetraedereken A i bestimmt Gibt man dann noh den (orientierten) Distanzkreis A z i eines der Pnkte A i vor, so sind die (orientierten) Distanzkreise A z j der übrigen Eken A j mitbestimmt: zb sind A z 4 nd Az zentrish ähnlih, wobei das Ähnlihkeitszentrm ein Diagonalpnkt R des Fßpnktsviereks der Höhen h 4, h 4 ist Für die Zykelpaare A z, Az 4 bzw A z, Az 4 sind bzw die Ähnlihkeitszentren, vgl Figr 11 Damit kann die Tetraederkante A drh parallel vershoben werden Ihr Sprpnkt R nd der Sprpnkt Q von A 4 spannen die Flhtspr n der Rihtebene des dritten Kantenpaares von T af, wenn man wieder A 4 als Agpnkt einer Zentralprojektion af ρ affasst Der Antipol dieser Flhtspr bezüglih A z 4 ist somit der Flhtpnkt N1 der geshten Höhe h 14 die wiederm als Treffgerade as N 1 an A 4 nd A bestimmt wird, vgl Figr 11: Die Spr e nd die Flhtspr e der projizierenden Ebene N 1 (A 4 ) fallen in die Gerade QN1 ; die Ebene N 1 (A ) hat die Flhtspr f = RN 1 nd die daz parallele Spr f drh R, sodass sih der Sprpnkt N 1 von h 14 im Shnitt von e nd f findet Variiert die Distanz von A 4, Wir bentzen also zsätzlih zm Normalriss af die Rihtebene ρ noh eine Zyklographie genannte Abbildng der Rampnkte af ihre orientierten Distanzkreise Entsprehend heißt das zyklographishe Bild eines Rampnktes dessen Bildzykel nd als Abbildngszeiger verwenden wir z 77

8 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder P A z U U e= e f ~ R A n f h U n h n 4 A n 4 e G n A n 1 h n 14 Q N 1 1 n 1 n A z 4 h n 4 f n A n A z R N1 Figr 11: Konstrktion mögliher Tetraeder z gegebenem Paar shneidender Kantenhöhen Die dritte Höhe hat ihren Sprpnkt af einer gleihseitigen Hyperbel drh die Diagonalpnkte des Fßpnktviereks der shneidenden Höhen nd den Mittelpnkt des Umkreises dieses Fßpnktviereks so variiert der Sprpnkt N 1 der Höhe h 14 als Erzegnis projektiv gekoppelter Büshel m Q nd m R af einem Kegelshnitt Dieser enthält die Diagonalpnkte des Fßpnktsviereks (,,, ) nd den Mittelpnkt von dessen Umkreis Letzterer ist Höhenshnittpnkt des Diagonaldreieks; (vgl hierz ah [, Shmetterlingssatz ]), also ist der in Rede stehende Kegelshnitt eine gleihseitige Hyperbel h Da der Flhtpnkt N1 der Kantenhöhe h 14 af der z n normalen Geraden n drh A n 4 nd mit dem zgehörigen Sprpnkt projektiv gekoppelt variiert, wobei der gemeinsame Fernpnkt U von n nd der Hyperbel h dabei selbstentsprehend ist, drhläft h 1 ein Paraboloid Zsammenfassend gilt also Satz : Es gibt z vorgegebenem Paar von Kantenhöhen, deren Endpnkte ein Kreisvierek bilden, eine stetige Shar von Lösngstetraedern, die drh orthogonale perspektive Affinität aseinander hervorgehen Die dritte Kantenhöhe variiert dabei af einem Paraboloid, welhes von der Ebene der beiden gegebenen Höhen nah einer gleihseitigen Hyperbel geshnitten wird Bemerkng 10: Wir shließen nn eine Kennzeihnng derjenigen Tetraeder T an, deren drei Kantenhöhen einander in einem gemeinsamen Pnkt shneiden As der Shnittbedingng für je zwei Kantenhöhen gemäß Satz folgt, dass sämtlihe Höhenfßpnkte einer einzigen Kgel angehören müssen: Die Höhenfßpnkte liegen nie sämtlih komplanar, andernfalls die drei Kantenhöhen eine Rihtebene ρ besizen müssten, wobei sih die Gegenkantenpaare von T bei Normalprojektion af ρ in drei Paare paralleler Geraden projizieren Ein vollständiges Vierek kann aber höhstens Paare paralleler Gegenseiten haben Die Umkreise der vier Höhenfßpnkte von h 14, h 4 nd von h 14, h 4 haben gena die Höhenfßpnkte 1, 1vonh 14 gemeinsam, liegen also sämtlih af einer Kgel Im Normalriss af die Ebene ρ j = h i4 h k4 fällt der Mittelpnkt N dieser Kgel in den Mittelpnkt G n des jeweiligen Tetraeder-Normalrisses, also stimmt N mit dem Shwerpnkt G von T überein Diese im Agenblik konstrktive niht verwertbare Eigenshaft ergänzen wir drh eine weitere mit folgender, die Figr 11 weitgehend wiederholenden Konstrktion in Figr 1: Wählen wir den Sprpnkt N 1 von h 14 im In affinen Niht-FANO-Ebenen ist diese Assage falsh 78

9 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Shnittpnkt P der beiden anderen Höhen, so ergibt sih N1 als Shnitt von n mit e = e = Q P Nn ist drh N1 nd n als Paar Antipol/Antipolare der Distanzkreis A z 4 =: π von A 4 bestimmt nd es erweist sih (Q, R,N1 ) als Antipoldreiek von π Die Kanten A 4 nd A mit den bezüglih π konjgierten Flhtpnkten Q bzw R sind daher orthogonal! As analogen Überlegngen für die Rihtebenen ρ 1 = h 4 h 4 nd ρ = h 4 h 14 folgt nmittelbar, dass ah die anderen beiden Kantenpaare Flhtpnkte = A 4, bzw = A 4, besitzen, die bezüglih π konjgiert sind Somit besitzt T drei Paare orthogonaler Gegenkanten nd ist damit (bezüglih der Ekenhöhen) orthozentrish Umgekehrt besitzt jedes orthozentrishe Tetraeder ah kopnktale Kantenhöhen, wobei deren Shnittpnkt nd der Shnittpnkt der Ekenhöhen zsammenfällt Zsammenfassend gilt Satz 4: Ein Tetraeder T besitzt gena dann drei kopnktale Kantenhöhen, (es heißt dann kantenhöhen-orthozentrish ), wenn es ekenhöhen-orthozentrish ist, also drei Paare orthogonaler Gegenkanten besitzt Für ein solhes Tetraeder T fallen der Shnittpnkt der Kantenhöhen nd derjenige der Ekenhöhen zsammen, was die Bezeihnng orthozentrish für T rehtfertigt Die Kantenhöhenfßpnkte gehören sämtlih einer im Shwerpnkt von T zentrierten Kgel an P= N 1 f 1 n h n 14 n ~ R A n A1 A4 = h n 4 A n 4 G n Q A n 1 h n 4 1 n = A4 A n R f A z 4 n π A1 P π = p N1 Figr 1: Konstrktion eines Tetraeders mit kopnktalen Kantenhöhen 79

10 G Weiss, H Havliek: Eken- nd Kantenhöhen im Tetraeder Literatr [1] COUDERC, P; BALLICCIONI, A: Premier Livre d Tètraèdre, Gathier-Villars, Paris, 195 [] COURT, N A: On the theory of the tetrahedron, Bll Am Math So, 48 (194), [] COURT, N A: The biratio of the altitdes of a tetrahedron, Dke Math J, 1 (1946), 8-86 [4] COURT, N A: The tetrahedron and its altitdes, Sripta Math, 14 (1948), [5] COURT, N A: The semi-orthoentri tetrahedron, Am Math Mon, 60 (195), [6] COURT, N A: Modern Pre Solid Geometry, Chelsea, nd edition, New York, 1964 [7] GERBER, L: The altitdes of a simplex are assoiated, Math Mag, 46 (197), [8] FRITSCH, R: Höhenshnittpnkte für n- Simplizes, Elemente Math, 1 (1976), 1-8 [9] GRUENBERG, K W; WEIR, A J: Linear Geometry, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1977 [10] HAVLICEK, H; WEISS, G: The Altitdes of a Tetrahedron and Traeless Qadri Forms (eingereiht) [11] KOMERELL, K: Vorlesngen über Analytishe Geometrie des Rames, Koehler Amelang, Leipzig, 195 [1] LAPINE, M; LAPINE, M: Krivlja središta pramena konika,kog (1998), 5-40 [1] MANDAN, S R: Altitdes of a simplex in n-spae, J Ast Math So, (196), [14] MANDAN, S R: Uni- and demi-orthoentri simplexes II, J Indian Math So, n Ser, 6 (196), 5-11 [15] MANDAN, S R: Altitdes of a general n-simplex, J Ast Math So, 5 (1965), [16] MICULITA, M: On a property of the antientre of a tetrahedron, Gaz Mat, Br, 9 (1988), [17] ROSENFELD, BA; JAGLOM, IM: Mehrdimensionale Räme, In Alexandroff, P S and Markshwitsh, A I and Chintshin, A J (ed): Enzyklopädie der Elementarmathematik, Bd V, VEB Dt Verlag d Wissenshaften, Berlin, 1969 [18] SATYANARAYANA, K: The tetrahedron the feet of whose altitdes are oplanar, Math Std, 50 (198), [19] SEMPLE, JG; KNEEBONE, GT: Algebrai Projetive Geometry, Oxford University Press, Oxford, 1998 (Reprint) [0] SCHRÖTER, H: Theorie der Oberflähen zweiter Ordnng nd der Ramkrven dritter Ordnng als Erzegnisse projektivistisher Gebilde, BG Tebner, Leipzig, 1880 [1] SLIEPČEVIĆ, A: As dem Erdgeshoß der höheren Geometrie,KoG5 (000/01), 7 [] SLIEPČEVIĆ, A: Eine Anwendng der perspektiven Kollineation,KoG5 (000/01), [] SLIEPČEVIĆ, A: A geneneralisation of the btterfly theorem (im Drk) [4] THIEME, H: Zr Geometrie des Tetraeders, Z Math Phys, 7 (188), [5] WUNDERLICH, W: Ebene Kinematik, BI Hohshltashenbüher 447, 1970 [6] ZACHARIAS, M: Elementargeometrie nd elementare niht-eklidishe Geometrie in synthetisher Behandlng, In Meyer, WFr and Mohrmann, H: Enzyklopädie der Mathematishen Wissenshaften III 1, BG Tebner, Leipzig, Gnter Weiss Institte of Geometry Dresden University of Tehnology D-0106 Dresden tel: , fax: weiss@matht-dresdende URL: weiss/indexhtml Hans Havliek Institte of Geometry Vienna University of Tehnology Wiedner Haptstraße 8-10/11, A-1040 Wien tel: fax: havliek@geometrietwienaat URL: 80