Einmassenschwinger Teil I.2 Herleitung der Bewegungsgleichung 15

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1 Einassenshwinger Teil I.2 Herleitng der Bewegngsgleihng 15 2 Herleitng der Bewegngsgleihng 2.1 Angreifende Kraft p(t) Für diese Erläterngen wird als Beispiel die Deplatte it Stützen von Abb.1-2 betrahtet. Dort waren drh die seitlihen Verstrebngen die Bewegngsögliheiten eingeshränt worden, so dass nr eine Bewegngsögliheit nd dait ein Freiheitsgrad übrigblieb. Dieses Syste wird jetzt von der Seite in seiner Bewegngsebene angesehen, es ann so dargestellt werden wie in Abb.2-1 gezeigt. In diese Syste sind die vorher definierten Größen eingezeihnet. Dies ist die Vershiebng (t), die die Deplatte in horizontaler Rihtng asführen ann. Es ist der hier aßgebende Freiheitsgrad. Weiterhin ist die Masse der Deplatte it geennzeihnet. Die Masse der Stützen soll gegenüber der Masse der Deplatte vernahlässigt werden. Die Däpfngseinflüsse in der Realität sind as vielen Einflüssen zsaengesetzt, sie sind hier drh das Sybol des Däpfers it der Bezeihnng haraterisiert nd zwishen die Positionen des Systes eingezeihnet, zwishen denen die Vershiebng nd dait ah die daras abgeleitete Geshwindigeit stattfindet. Als Steifigeit sind hier die Stützen wirsa, wobei alle Stützen geeinsa z dieser Steifigeit beitragen = 1 2 ( t) 1 Abb. 2-1 Syste it eine Freiheitsgrad ( t) 2 Für die Bewegngsgleihng nehen wir jetzt an, dass eine Belastng des Systes drh die Kraft p(t) stattfindet. Diese Kraft ist von der Zeit abhängig nd ist die Ursahe für eine Vershiebng, die dann ebenfalls von der Zeit abhängt. Etwas verallgeeinert ann dieser Einassenshwinger sizziert werden wie in Abb.2-2 gezeigt. In dieser Sizze ist die Masse als rehteiger Klotz z sehen. Die Vershiebng in Horizontalrihtng ist die einzige Bewegngsögliheit, die drh die Rollen angedetet ist. Däpfer nd Feder greifen an der Masse nd an eine festen Rand an. Abb. 2-2 Idealisierter Einassenshwinger f S f D = = & f I = & Abb. 2-3 Dynaishes Gleihgewiht Nah de d'alebertshen Prinzip stehen für den in Bewegng befindlihen Körper sätlihe angreifenden Kräfte i dynaishen Gleihgewiht. Dies heißt in diese Beispiel: die statishen Kräfte (Federräfte) stehen it den zeitabhängigen Kräften (Trägheits- nd Däpfngsräfte sowie von aßen angreifende Kräfte) z jede Zeitpnt i Gleihgewiht.

2 16 Teil I.2 Herleitng der Bewegngsgleihng Einassenshwinger Man erhält it den Beziehngen (1.5), (1.6) nd (1.7) die Bewegngsgleihng, also die Differentialgleihng für die Bewegng (t): & & = p t (2.1) ( ) Dabei ist die Geshwindigeit it & als zeitlihe Ableitng der Vershiebng nd die Beshlenigng it & & als zeitlihe Ableitng der Geshwindigeit (nd dait als 2. zeitlihe Ableitng der Vershiebng) dargestellt. 2.2 Lagervershiebngen als Belastng Eine weitere öglihe dynaishe Belastng, die oft aftritt nd in vielen Fällen bei der Silation eine wihtige Rolle spielt, ist die zeitlih veränderlihe Bewegng der Aflagerpnte. U diese Bewegng saber trennen z önnen von den bisher erwähnten Bewegngen nd Vershiebngen der Masse, üssen wir ntersheiden zwishen der Totalvershiebng des Körpers, der Vershiebng der Aflagerpnte nd der relativen Vershiebng des Körpers z den Aflagern. In den folgenden Kapiteln werden daz folgende Bezeihnngen verwendet: : Totalvershiebng des Körpers g : Vershiebng der Aflagerpnte : Relative Vershiebng des Körpers z den Aflagern Diese Vershiebngen sind in Abb. 2-4 eingezeihnet für das Beispiel der Deplatte. Hier wird davon asgegangen, dass g die Vershiebng beider Aflagerpnte ist. Und weiterhin sind die Steifigeiten der Stützen lins nd rehts geeinsa wirsa = Da eine äßeren Kräfte angreifen, sind für das dynaishe Gleihgewiht des sih Abb. 2-4 bewegenden Körpers die Beiträge z berüsihtigen, die in Abb.2-5 dargestellt sind. Dait ergibt sih das Kräftegleihgewiht z f f f = 0 I D S g Lagerbewegng als Belastng f D f = & I = & In der Bewegngsgleihng ist für die Beshlenigng die Totalvershiebng zgrnde f s = f s1 f s 2 = 1 2 = z legen, während für die Däpfngsanteile nd die Abb. 2-5 Dynaishes Gleihgewiht Federraft die relative Vershiebng z verwenden ist. Dait ann die Bewegngsgleihng geshrieben werden als & & = 0 t Hier ann jetzt die Beziehng zwishen den Vershiebngen = t g eingesetzt werden, so dass sih die Bewegngsgleihng shreiben lässt als & & = & p (t ) (2.2) g = eff Die Beshlenigng des Untergrnds wirt also wie eine entgegengesetzt angreifende

3 Einassenshwinger Teil I.2 Herleitng der Bewegngsgleihng 17 äßere Belastng p eff (t ). Dait ann die Bewegngsgleihng ah für diesen Fall angewendet werden. 2.3 Die Differentialgleihng des Einassenshwingers Drh Zsaenfassen der Gleihngen (2.1) nd (2.2) erhält an die vollständige Differentialgleihng des Einassenshwingers & & = p(t ) & g (2.3) Hierin bedeten [] relative Vershiebng des Körpers gegenüber den Aflagerpnten ů [/s] relative Geshwindigeit des Körpers gegenüber den Aflagerpnten ü [/s] relative Beshlenigng des Körpers gegenüber den Aflagerpnten ü g [/s 2 ] Beshlenigng der Aflagerpnte [g] Masse des Körpers [Ns/] Däpfngsonstante des Systes [N/] elastishe Steifigeit des Systes p(t) [N] zeitlih veränderlihe, äßerlih angreifende Kraft Die Größen, ů, ü nd ü g sind ebenfalls über die Zeit veränderlih, der Index (t) wrde wegen der Übersihtliheit weggelassen. Die Einheiten in eigen Klaern [ ] sind die SI- Einheiten der Größen. Die eisten FEM-Prograe erwarten Eingaben in onsistenten Einheitensysteen. Anhand der oben genannten Gleihng (2.3) ann dies plasibel erlätert werden. Die Gleihng verbindet Kraftgrößen iteinander (jeder Sand wie Masse al Beshlenigng, Steifigeit al Vershiebng sw. stellt eine Kraft dar). Vo Anwender wird erwartet, dass jede physialishe Größe in einer geeigneten Einheit eingegeben nd verwendet wird, die Gleihng in der dargestellten For enthält eine Urehnngsfatoren für die Einheiten. Dait ist es die Entsheidng des Anwenders, * ob die Masse in [g] nd die Beshlenigng in [/s 2 ] eingegeben wird, so dass die Kräfte in [N] resltieren (dies sind SI-Einheiten, ein Syste, das onsistent ist). * Ebenso önnen aber ah die Längen in [] statt in [] verwendet werden. Dann ann die Bewegngsgleihng weiterhin sie wie hier dargestellt ohne weitere Fatoren verwendet werden, wenn die Masse in [10 3 g] nd die Beshlenigng in [/s 2 ], die Steifigeit in [N/] nd die Vershiebng in [] eingegeben werden, die Kräfte in [N] z erhalten. Ah dieses Syste [N, s,, 10 3 g] ist ein onsistentes Einheitensyste. Die FEM-Prograe - nd so ah das ANSYS/ED-Progra - sind i allgeeinen so asgeführt, dass sie die erforderlihen Berehnngsshritte ohne Fatoren für die Einheiten abarbeiten. Dait setzen sie onsistente Einheiten bei der Eingabe der Daten voras nd liefern Ergebnisdaten in de gewählten Einheitensyste. Der Grnd dafür ist, dass die Anwendngsvielfalt der Prograe so groß ist, dass eine Festlegng des Einheitensystes af eine oder ehrere Mögliheiten z viele Beshränngen it sih bringt, denn * bei einer Anwendng für Mirosystee sind Längen in μ nd Zeiten in se sinnvoll anzgeben, * während eine geophysialishe Berehnng der Kontinentvershiebng it Längen in nd Zeiten in a (Kilo-Jahren) arbeitet.

4 18 Teil I.2 Herleitng der Bewegngsgleihng Einassenshwinger Wenn ah diese Beispiele Extree i tehnishen Alltag darstellen, so zeigen sie doh, dass der Nahteil, dass der Anwender sih für ein Einheitensyste entsheiden ss, it de Vorteil einhergeht, dass die Freiheit für Anwendngen ntershiedlihster Art besteht. Z onsitenten Einheitensysteen ist in Band 1 dieser Reihe FEM für Pratier in Anhang C eine Übersiht gegeben nd Hinweise afgeführt, wie ein gewünshtes Einheitensyste af Konsistenz geprüft oder gegebenenfalls angepasst werden ann. 2.4 Einflss des Eigengewihts Zr Berüsihtigng des Eigengewihts wird das idealisierte Syste nah Abb.2-2 betrahtet. Zsätzlih zr Last p(t) ot noh das Eigengewiht G des Körpers hinz. Die Bewegngsgleihng latet nah Gleihng (2.3) it der Gesatvershiebng (vgl. Abb.2-6a) & & = p(t ) G (2.4) t t t Die Gesatvershiebng setzt sih zsaen as den Anteilen st - das ist die statishe Aslenng infolge G nd - die Aslenng infolge p(t) (vgl. Abb.2-6b) so dass wir einsetzen önnen = (2.5) t st Da die Aslenng st von der Zeit nabhängig ist, gilt & & = 0 st = st Dait erhält an as Gleihng (2.4) && & st = p(t ) G ( t) st Mit st = G vereinfaht sih die Gleihng z & & = p(t ) Diese Beziehng ist identish it der Gleihng (2.1), nr dass der Bezgspnt für die Bewegng die statishe Aslenng st gegenüber der rsprünglihen Lage vershoben ist. G Abb. 2-6a Asgangslage G Abb. 2-6b Statishe Gleihgewihtslage Das bedetet, dass für die Berehnng der dynaishen Beansprhng eines linearelastishen Einassenshwingers das Eigengewiht (niht die Eigenasse!) nwihtig ist. Wir haben hier vorasgesetzt, dass die Feder bzw. das Bateil, dessen Steifigeit hier verwendet wird, linear-elastish arbeitet. Sein Federngs-Verhalten (Steifigeit) ist dann nabhängig vo Federweg. Dann spielt es eine Rolle, ob die Feder in der Asgangslänge ohne Gewihtseinflss oder einer etwas anderen Länge it Gewihtseinflss bei der Shwingng itwirt. Und der Hinweis it der Eigenasse soll daran erinnern, dass das

5 Einassenshwinger Teil I.2 Herleitng der Bewegngsgleihng 19 Eigengewiht - also die Gewihtsraft - hier ntersht wrde: Masse, Erdbeshlenigng g Eigengewiht, Gewihtsraft nwihtig Die Masse spielt aber zsaen it der zeitlih veränderlihen Beshlenigng ü (in Rihtng der Vershiebng ) eine wihtige Rolle, dieser Einflss darf niht weggelassen werden: Masse, zeitlih veränderlihe Beshlenigng ü Trägheitsraft sehr wihtig Für die Gesatbeansprhng - also die Längng der Feder it der Steifigeit - ss aber die statishe Beansprhng infolge des Eigengewihts it den dynaishen Beansprhngen sperponiert werden. Dait setzt sih die Bewegng des Bateils as einer Anfangsvershiebng afgrnd des Eigengewihtes (entsprehend st = G / ) nd daz as einer Shwingng der dynaishen Bewegng zsaen (entsprehend der Lösng der Bewegngsgleihng).